高等数学D7_8常系数非齐次线性微分方程

1、常系数非齐次线性微分方程 第八节型)(e)(xPxfmxxxPxflxcos)(e)(型sin)(xxPn一、一、 第七章 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法)(exQx )()2(xQp )()(2xQqp)(exPmx一、一、 型)(e)(xPxfmx 为实数 ,)(xPm设特解为, )(e*xQyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(e*xQxQyx )

2、()(2)(e*2xQxQxQyx 代入原方程 , 得 )(xQ )()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为 m 次多项式 .)(xfyqypy (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(e*xQymxQ (x) 为 m 次待定系数多项式(2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmxQxye)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmxQxye)(*2小结小结 对方程,)2, 1, 0(e)(*kxQxyxmk此结论可推广到高

3、阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解例例1.1332 xyyy求方程的一个特解.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0例例2. xxyyy2e65 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxCCY3221ee设非齐次方程特解为xbxbxy210e)(*比较系数, 得120 b0210bb1,211

4、0bb因此特解为.e)1(*221xxxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxCCy3221ee.e)(2221xxx ,2二、二、型xxPxxPxfnlxsin)(cos)(e)(xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(第二步第二步 求出如下两个方程的特解xmxPyqypy)i(e)( yqypy分析思路:第一步第一步将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点xmxP)i(e)(第一步第一步利用欧拉公式将 f (x) 变形xxfe)(i2)(2)(xPxPnlx)i(ei2)(2)(xPxPnlx)i(e

5、xmxPxf)i(e)()(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(则令,maxlnm )(xPl2eeiixx)(xPni2eeiixx 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), xmkxQxy)i(1e)()(次多项式为mxQm故xmxPyqypy)i(111e)()()( 等式两边取共轭 :xmxPyqypy)i(111e)(1y这说明为方程 的特解 .xmxPyqypy)i(e)( xmxPyqypy)i(e)( 设则 有特解:第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :11*yyy

6、xkxexmxmQQiiee原方程 yqypy xxPxxPnlxsin)(cos)(exkxe)sini(cosxxQm)sini(cosxxQm xkxexRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式 .xmxP)i(e)(xmxP)i(e)(第四步第四步 分析的特点yxRxRxyyymmxksincose11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式 .11yyy本质上为实函数 ,11yy小小 结结:xxPxxPnlxsin)(cos)(e对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxRxRxymmxksincose*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k =

7、 0, 1), ilnm,max上述结论也可推广到高阶方程的情形.例例4. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,i2i代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根为对应齐次方程的通解为xCxCY3s

8、in3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyi32, 1r代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,3i)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根i,r所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)1(22rr即有根i, 04, 32, 1rrxxyyxsin3e)2()

9、4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxce)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:内容小结内容小结xmxPyqypye)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkxQxye)(*则设特解为sin)(cos)(e. 2xxPxxPyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkxye*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xxxxf2e2cos)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)