高等数学D7_7常系数齐次线性微分方程

1、目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrye和它的导数只差常数因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解为xrxrCCy21ee21( r 为待定常数 ),xrre,函数为常数时因为所

2、以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,e12xrxy 因此原方程的通解为xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrp

3、r3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论

4、可推广到高阶常系数线性微分方程 .目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxCCy321ee例例2. 求解

5、初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为ttse)24(22C目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例3.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不难看出,

6、 原方程有特解)e, 132xxxx目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt02)(22222rr例例4. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt例例5.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为i,2,1ri4,3r则方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt内容小结内容小结)

7、,(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxrCCy21ee2121rr (2) 当时, 通解为xrxCCy1e)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaCCyee21作业作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第八节 目录 上页 下页 返回 结束 编辑ppt备用题备用题,2cos,e2,e321xyxyyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解