高等数学及其应用电子教案（第二版）（同济大学数学系）ch(6)

1、编辑ppt第六节第六节 函数的微分函数的微分编辑ppt本节要点本节要点一、微分的定义一、微分的定义二、微分的计算二、微分的计算三、微分的几何意义与函数的一次近似三、微分的几何意义与函数的一次近似编辑ppt一、微分的定义一、微分的定义 在本章第一节中我们知道在本章第一节中我们知道, 当自变量在当自变量在 处有增量处有增量0 x 时时, 相应地函数有增量相应地函数有增量 如果函数在该点可导如果函数在该点可导,x, y则有则有:00lim.xyfxx 由函数极限与无穷小的关系由函数极限与无穷小的关系, 增量比值可以写成增量比值可以写成0,yfxx编辑ppt其中其中 是是 时的无穷小时的无穷小, 由此

2、由此0 x 0,yfxx 上式又可以写成上式又可以写成0.yfxox （2.11）从上式中看到从上式中看到: 如果函数在该点可导如果函数在该点可导, 则因变量的增量则因变量的增量 可以写成两项之和可以写成两项之和, 一项是一项是 的线性函数的线性函数yx0,fxx另一项是另一项是 的高阶无穷小的高阶无穷小x.ox编辑ppt( )yf x0 xTdyy()ox） x0 xx 0()f x0()f xx NPQMxyo （2.11）式的几何事实可用下图来说明）式的几何事实可用下图来说明: 图中的曲线是函数图中的曲线是函数 图形图形. 对于曲线上某一对于曲线上某一 yf x固定点固定点00,xy当自

3、变量当自变量 有微小的增量时有微小的增量时, 对应曲线对应曲线x上的另一点上的另一点,N,MQx QNy 是曲是曲MTM线在线在 处的切线处的切线, 由此得由此得:0()d .QPfxxy ,QNQPPN编辑ppt且当且当 时时, 是是 的高阶无穷小的高阶无穷小, 因此当因此当0 x PNxx很小时很小时, （2.11）可以写成）可以写成0,yfxx 即当自变量在即当自变量在 处给出增量处给出增量 时时, 函数的增量函数的增量 可以可以0 xxy近似表示为近似表示为 的适当倍数的适当倍数, 由此引入下面概念由此引入下面概念.x编辑ppt定义定义2.1 设函数设函数( )yf x且在且在 处可导

4、处可导, 称称0 x 0fxx0 x在在 的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义, 为函数为函数 在点在点 yf x0 x相应于自变量的增量相应于自变量的增量 的的微分微分, 记为记为 即即xd , yd.yA x 由定义由定义,（2.11）可以表示为）可以表示为d.yy ox 编辑ppt 如果函数如果函数 在区间在区间 内每一点可微内每一点可微, 则称则称( )yf xI( )f x分就称为分就称为函数的微分函数的微分, 也记为也记为 由前公式得由前公式得:d , y通常把自变量通常把自变量 的的增量称为的的增量称为自变量的微分自变量的微分, 记为记为 xd , x上式两端除以自变量的微分上式

5、两端除以自变量的微分, 得得:( )f xI为区间内的为区间内的可微函数可微函数: 函数函数 在在 内的任意一点微内的任意一点微于是函数的微分可记为于是函数的微分可记为d( ).yfxx（2.12）d( )d .yfxx（2.13）编辑pptd( ).dyfxx因此因此, 导数又称为导数又称为微商微商.编辑ppt例例2.39 求函数求函数3yx当当2,0.02xx 时的微分时的微分.解解 因因 32d3,yxxxx 所以所以2220.020.0230.24.dxxxxyxx 编辑ppt例例2.40 求函数求函数ln 1yx在在 处的微分处的微分.1x 解解 因因111dln 1dd .2xxy

6、xxx1dln 1dd ,1yxxxx所以所以编辑ppt二、微分公式与运算法则二、微分公式与运算法则 从微分表达式（从微分表达式（2.13）得到下面的微分公式与相应的）得到下面的微分公式与相应的运算法则运算法则.编辑ppt1ddxxx1xxlnxxaaadln dxxaaa x1loglnaxxa1dlogdlnaxxxasincosxxdsincos dxx x2tansecxx2dtansecdxx x 导数公式导数公式微分公式微分公式编辑ppt21arcsin1xx21darcsind1xxx21arctan1xx21darctand1xxx编辑ppt 2.运算法则（表中运算法则（表中

7、）( ),( )uu x vv x 函数的和、积、商的求导法则函数的和、积、商的求导法则 函数的和、积、商的微分法则函数的和、积、商的微分法则uvuvdddu vuvuvu vuvddduvv uu v2uu vuvvv2ddduv uu vvv编辑ppt 设设 , 则复合函数则复合函数 的的( ),( )yf u ux( )yfx ,xyfxx所以复合函数的微分为所以复合函数的微分为 dd .yfxxx由于由于 故上式又可写成故上式又可写成: dd ,xxu dd .yf uu导数为导数为:编辑ppt ddyfuu总是正确的总是正确的, 这一性质称为这一性质称为微分形式不变性微分形式不变性.

8、比较两式比较两式, 可以看到无论可以看到无论 是中间变量或是直接变量是中间变量或是直接变量, 表表u达式达式编辑ppt例例2.41 利用微分形式的不变性利用微分形式的不变性, 求函数求函数sin 21yx解解 dd sin 21yx的微分的微分. cos 21 d 21xx2cos 21 d .xx编辑ppt三、微分的几何意义与函数的一次近似三、微分的几何意义与函数的一次近似 由微分的定义由微分的定义, 当函数当函数 在在 处可微时处可微时, 有有( )f x0 x0d,yfxx当当 时时, 00fx并且误差仅是并且误差仅是 的高阶无穷小的高阶无穷小. x0d ,yfxxoxy （2.14）（

9、2.14）又可写成）又可写成000.f xxf xfxx编辑ppt即即 000.f xxf xfxx （2.15）注意到注意到, 若记若记 则有则有0 xxx （2.16）式的左端就是曲线）式的左端就是曲线 的表达式的表达式; 而右端而右端( )yf x000( ).f xf xfxxx（2.16）000.f xfxxx00,xf x是是 的一次函数的一次函数, 它是曲线在点它是曲线在点 处切线的表处切线的表x达式达式, （2.16）表明）表明, 若函数可微分时若函数可微分时, 曲线曲线 yf x编辑ppt越小越小, 则近似程度就越高则近似程度就越高.在点在点 处附近的局部范围内可以用它在这点

10、处的切线处附近的局部范围内可以用它在这点处的切线M近似地替代近似地替代, 此为微分的几何意义此为微分的几何意义. 因此（因此（2.15）或（）或（2.16）通常称为函数）通常称为函数 的一的一( )yf x次近似或线性近似次近似或线性近似, 其近似误差是其近似误差是 的高阶无穷小的高阶无穷小. x0 xxx编辑ppt例例2.42 求求 1f xx在在 处的一次近似式处的一次近似式.1x 解解 在（在（2.15）中）中, 取取01,x 因因 21111,11,xffx 所以相应的一次近似式为所以相应的一次近似式为 11. xx 编辑ppt在（在（2.16）中）中, 若取若取00,x 则有则有 ( )00.f xffx（2.17）编辑ppt例例2.43 求求0 x ( )ln 1f xx解解 因因 (0)0,01,ff ln 10.xxx处的一次近似处的一次近似.在在 由（由（2.17）得）得编辑ppt当当 很小时很小时, 还可得到其它函数的一次近似式还可得到其它函数的一次近似式. 我们我们xe1,xx 把常用的几个函数的一次近似式列于下表把常用的几个函数的一次近似式列于下表:sin,xxtan,xx11,xx ln 1.xx编辑ppt解解 镀层的体积等于两个同心球体的体积之差镀层的体积等于两个同心球体的体积之差.