抽象函数定义域的求法

1、抽象函数的定义域总结解题模板1已知f(X)的定义域，求复合函数 fg x的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为 xw a,b，求出fg(x)中a . g(x) : b的解x的范围，即为f g(x)的定义域。2已知复合函数fg x的定义域，求f(x)的定义域方法是：若fg x的定义域为a,b，则由a ： x ： b确定g(x)的范围即为f (x) 的定义域。3已知复合函数fg(x)的定义域，求fh(x)的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由fg x定义域求得f x的定

2、义域，再由f x的定义域求得fh x的定义域。4.已知f (x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例1已知函数f (x)的定义域为-1, 1,求f (3x -5)的定义域.分析：若f (x)的定义域为a < x < b，则在fg(x) 1中, a < g(x) < b ,从中解得x 的取值范围即为 f lg(x) 的定义域本题该函数是由u = 3x -5和f (u)构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于f (x)与f(u)是同一个函数，因此这里

3、是已知-1 < u w 5，即-1 w 3x -5 w 5，求x的取值范围.解： f (x)的定义域为 I -1,5 丨， - 1 w 3x - 5 w 5 , w x w 0 .33故函数f(3x-5)的定义域为 40 .IL3 3变式训练：若函数y二f (x)的定义域为 1 ,2，则f(log2x)的定义域为 。IL2分析：由函数y二f (x)的定义域为1 2可知:21log 2 x 二2。2解：依题意知：1log? x _ 2解之，得：.一2 _ x _42- f (log 2 x)的定义域为 上 | 2 _ x _ 4例2已知函数f(x2-2x2)的定义域为1.0,31,求函数f

4、 (x)的定义域.分析：若fg(x) 1的定义域为m< x < n，则由m < x < n确定的g(x)的范围即为f(x)的定义域这种情况下，f(x)的定义域即为复合函数f lg(x) 1的内函数的值域。2 2本题中令 u = x -2x 2，贝U f (x -2x 2 f (u),由于f (u)与f (x)是同一函数，因此 u的取值范围即为f (x)的定义域.2解：由 0 < x < 3，得 1 < x -2x 2 < 5 令 u = x2 - 2x 2，则 f (x2 - 2x 2) = f (u) , 1 < u < 5 .故f

5、 (x)的定义域为1,5 I变式训练：已知函数''，_；1：的定义域为1亠；-1，则''，：-'的定义域为 解：由J2,54，得亠所以-二：J故填-:例3.函数' '' 1 定义域是 V，则'-的定义域是()A. B. ' -1C. ' ；-D.-3, 7分析：已知-的定义域，求"I的定义域，可先由'I定义域求得:-的定义域，再由的定义域求得的定义域解：先求一的定义域11l 的定义域是 一 I: ; ; I ,即的定义域是一二1,再求的定义域J'二心_1)的定义域是2,故应选A变式

6、训练：已知函数f(2 x)的定义域是-1 , 1,求f(log 2x)的定义域.分析：先求2x的值域为M则log2X的值域也是M,再根据log2X的值域求定义域。解 /y=f(2 x)的定义域是-1 , 1,即-1 < xw 1, 2 < 2Xw 2.函数 y=f(log 2x)中 2 w log 2X w 2.即 log 2 2 w log 2X< log 24, 、2 w x w 4.故函数f(log 2X)的定义域为2 , 4例4若f (x)的定义域为-3, 5丨,求“X)二f (-x) f(2x 5)的定义域.分析：求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解

7、法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集._3 wx w 5解：由f (x)的定义域为1-3, 51 ,则(x)必有' 解得-4 w x w 0 .13 w 2x + 5 w 5,所以函数(x)的定义域为1-4 ,0 1.变式训练:已知函数二的定义域是，的定义域。分析：分别求f(x+a)与f(x-a)的定义域，再取交集。解：丁由已知,0 <z + a<1V-<02a < a <l + a<l 函数1的定义域是.八-1 2例5若函数f(x+1)的定义域为,2,求f(x)的定义域.2分析：已知f(x+1)的定义域为,2, x满足w xw 2,于是2 2

8、v x + 1 v 3,得到2.一 12f(x)的定义域，然后f(x )的定义域由f(x)的定义域可得.解：先求f(x)的定义域:由题意知-再求 fh(x)1< x< 2,2的定义域：1则一v x+ 1 v 3，即f(x)的定义域为22，3， 1 v x2 v 3,解得一23 v x v或2 v xv3 .2 2,2f(x )的定乂域是x| 3 v xv -或 v xv3 .2 2例6、某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为 x、y(单位：m)的矩形.上部是等腰直角三 角形要求框架围成的总面积 8亦问x、y分别为多少(精 确到0.001m)时用料最省？分析：应用题中

9、的定义域除了要使解析式有意义外，需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：(1) 面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；(2) 销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于0也不能大于题设中规定的值(有的题没有规定)；(3) 生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只能是自 然数，增长率要满足题设；1 2S三角形'S矩形二xy x 8 ,4(4)路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为由于 xy 0 ,于是-x2 : 8，即 x 4 2。又 x 0 ,.4x的取值范围是0：x：42。解：由题意得218-乞 8xy+ x2=8,

10、.y= 4= 4xx-(0<x<4、2).4已框架用料长度为l=2x+2y+2(x )=( - , 2 )x+ 164 . 6一4一2 .22x当(3 +、. 2 )x= 16 ,即x=8 4 . 2时等号成立.2x此时，x 2.343,y=2. 2 2.828.故当x为2.343m,y为2.828m时，用料最省.变式训练：13. （2007 北京理，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底 CD的端点在椭圆上.记CD=2x，梯形面积为S.（1）求面积S以x求面积S的最大值.解（1）依题意，以AB

11、的中点0为原点建立直角坐标系O-xy （如图），则点C的横坐标为x,点C的纵坐标y满足方程解得 y=2 一 r2 -X2 (0<x<r).S=1 (2x+2r) 2 . r2 x22=2(x+r) -. r2 -x2,其定义域为x|O<x<r.2222(2)记 f(x)=4(x+r) (r -x ),0<x<r,贝U f ' (x)=8(x+r)(r-2x).1 r令 f' (x)=0,得 x= r.因为当 0<x< 时，f' (x)>0;2 2r1当一<x<r时,f ' (x)<0，所以f

12、 ( r )是f(x)的最大值.22因此，当x=lr时，S也取得最大值，最大值为，（»夢2.即梯形面积S的最大值为 r2.2巩固训练（各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析）1. 设函数的定义域为11 ,贝U（1） 函数冷）的定义域为。（2） 函数扛五的定义域为。分析：做法与例题1相同解：(1)由已知有-、，解得:故的定义域为(2)由已知，得:二心；解得I ；故 - -' f的定义域为L'.2、 已知函数-''：的定义域为I->-,贝珥，；的定义域为。分析：做法与例题2相同。解：由,得.丨所以-二：二1，故填I'I3、 已知函数-''：的定义域为I 一 ,则y=f(3x-5)的定义域为分析：做法与例题3相同。解：由 J G,得.-|< I