黄金分割法,进退法,基础原理及经过流程图

1、*1黄金分割法的优化问题(1)黄金分割法基本思路：黄金分割法适用于a , b区间上的任何单股函数求极小值问题， 对函 数除要求“单谷”外不做其他要求，甚至可以不连续。因此，这种方 法的适应面非常广。黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的 试探方法，即在搜索区间a, b内适当插入两点al, a2,并计算其 函数值。al, a2将区间分成三段，应用函数的单谷性质，通过函数 值大小的比较，删去其中一段，是搜索区间得以缩小。然后再在保留 下来的区间上作同样的处理，如此迭代下去，是搜索区间无限缩小， 从而得到极小点的数值近似解。(2)黄金分割法的基本原理一维搜索是解函数极小值的方法之一，其解法思想为

2、沿某一已知方向 求目标函数的极小值点。一维搜索的解法很多，这里主要采用黄金分 割法(0.618法)。该方法用不变的区间缩短率 0.618代替斐波那契 法每次不同的缩短率，从而可以看成是斐波那契法的近似， 实现起来 比较容易，也易于人们所接受。rl=a+0,382(>-a) r2=a+0,618Cb-a) 如图班2户母4) 所以新区间为a ,于2以为新区间，继域求新的试点黄金分割法是用于一元函数f(x)在给定初始区间a,b内搜索极 小点* *的一种方法。它是优化计算中的经典算法，以算法简单、收 敛速度均匀、效果较好而著称，是许多优化算法的基础，但它只适用 于一维区间上的凸函数6,即只在单峰

3、区间内才能进行一维寻优，其 收敛效率较低。其基本原理是：依照“去劣存优”原则、对称原则、 以及等比收缩原则来逐步缩小搜索区间7。具体步骤是：在区间a,b 内取点：al , a2把a,b分为三段。如果f(a1)>f(a2),令 a=a1,a1=a2,a2=a+r*(b-a);如果 f(a1)<f(a2),令 b=a2,a2=a1,a1=b-r*(b-a), 如果 | (b-a)/b | 和 | (y1-y2)/y2| 都大于收敛精度e重新开始。因为a,b为单峰区间，这样每次可将搜索区间 缩小0.618倍或0.382倍，处理后的区间都将包含极小点的区间缩小， 然后在保留下来的区间上作同

4、样的处理，如此迭代下去，将使搜索区a,b逐步缩小，直到满足预先给定的精度时，即获得一维优化问题 的近似最优解。黄金分割法原理如图1所示，(3)程序流程如下:*4实验所编程序框图结束#include math.h#include «stdio.h»#define f(x) x*x+2*xdouble calc(double *a,double *b,double e,int *n) double x1,x2,s;if(fabs(*b-*a)<=e)s=f(*b+*a)/2);else x1=*b-0.618*(*b-*a);x2=*a+0.618*(*b-*a);if(

5、f(x1)>f(x2)*a=x1;else*b=x2;*n=*n+1;s=calc(a,b,e,n);return s;main() double s,a,b,e;int n=0;scanf("%lf %lf %lf",&a,&b,&e);s=calc(&a,&b,e,&n);printf("a=%lf,b=%lf,s=%lf,n=%dn",a,b,s,n);5程序运行结果如下图:2进退法（1）算法原理进退法是用来确定搜索区间（包含极小值点白区间）的算法，其理论依据是：f（x）为单谷函数（只有一个极值

6、点），且a,b为其极小值点的一个搜索区间，对于任意xla,b,如果f k fX2，则a, X2为极小值的搜索区间，如果fxifX2,则xi,b为极小值的搜索区间。因此，在给定初始点xo,及初始搜索步长h的情况下，首先以初始步长向前搜索一步，计算f x0 h。(1)如果 f x0f x0 h则可知搜索区间为%x0 h,其中%寺求，为确定 %后退一步计算f(x°h),为缩小系数，且01,直接找到合适的，使得f(xoh) f xo ,从而确定搜* .索区间xoh, xo h。(2)如果 f % f x0 h则可知搜索区间为xo,%,其中%寺求，为确定 前进一步计算f (xoh), 为、，a

7、一，、 a 4、一*放大系数，且 1 ,知道找到合适的，使得f % hf (xoh),从而确定搜索*.区间xo, %h。进退法求极值基本思想:对f(x)任选一个初始点xi及初始步长ho,通过比较这两点函数值的大 小，确定第三点位置，比较这三点的函数值大小，确定是否为“高一低-高”形态。 算法原理 1.试探搜索：选定初始点(a)(b)x1, x2= x 1+ ho,计算 y1=f(x1)，y2=f(x2)如y1>y2,转2向右前进；如 y1<y22.前进搜索加大步长 h=2 h ,广生新点 x3= x2+ 2h o ;*(a)如y2<y3,则函数在xi,x3内必有极小点，令 a

8、=xi,b= x3搜索区间为a, b;(b)如 y2>y3,令 xi=x2 , y产y2 ；x2=x3 , y2=y3 ； h=2h重新构造新点 x3=x2+h,y2<y3。图8.23.后退搜索令h = -ho，令x3=x 1产生新点x3= x 2+ h ；(a)如y2<y3,则函数在为a, b(b)如 y2>y3,y3=yi ； xi=x2 , yi=y2 ；xi, x3内必有极小点,x2=x3 , y2=y3 ； h=2h；a= x3, b= x i,搜索区间令 xi=x2 , yi=y2 ； x2=x3 , y2=y3 ； 重新构造新点x3=x2+h,并比较y2、

9、y3的大小， 搜索区间为a, b;h=2h直至ij y2<y3。令 a= xi, b= x 3,图8.3(2)算法步骤用进退法求一维无约束问题min f(x),x R的搜索区间(包含极小值点的区间)的基本算法步骤如下：(1) 给定初始点x(0),初始步长ho,令hho, x(i)x(0), k 0 ；(2) 令xxh,置k k 1；(3) 若f xf x，则转步骤(4),否则转步骤(5);(4)令 x(2)x x(1)x(4), f x(2)f x(1) , f x f x(4),令 h 2h,转步骤(2);(5) 若k 1 ,则转步骤(6)否则转步骤(7);(6)令h h, xx，f

10、x f x，转步骤(2)； 令xx，xx，xx，停止计算，极小值点包含于区间x(1),x(3)或x(3),x(1)(3)算法的MATLAB 实现在MATLAB中编程实现的进退函数为：min JT功能：用进退法求解一维函数的极值区间。调用格式：min x,max x min JT( f, x0, h0,eps)其中，f :目标函数；x0：初始点；h0：初始步长；eps :精度；minx：目标函数取包含极值的区间左端点； maxx：目标函数取包含极值的区间又端点。进退法的MATLAB 程序代码如下：function minx,maxx=minJT(f,x0,h0,eps)%目标函数：f;%初始点：x0;%初始步长：h0;%精度:eps;%目标函数取包含极值的区间左端点：minx;%目标函数取包含极值的区间又端点：maxx;format long;if nargin=3eps=1.0e-6;endx1=x0;k=0;h=h0;while 1x4=x1+h;%试探步k=k+1;f4=subs(f,findsym,x4);f1=subs(f,findsym,x1);