高考一轮复习教案-函数的奇偶性与周期性精编版

1、最新资料推荐量新考纲第三节函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性结合具体函数，了解函数奇偶性与周期性的含义.抓主知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x) = f(x),那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(x) - - f(x),那么函数f(x)是奇函数关于原点对称易误提醒1 .判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对 称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2 .判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x,均有f(x) = f(x),而不能说存

2、在 xo使 f(一x0) = f(xo)、f( xo)=f(xo).3 .分段函数奇偶性判定时，利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在 整个定义域上的奇偶性是错误的.必记结论1 .函数奇偶性的几个重要结论：(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有 f(0)=0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|).(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即 f(x)=0, xCD,其中定义域 D是关 于原点对称的非空数集.(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性.2.有关对称性的结论：(1

3、)若函数y= f(x+a)为偶函数，则函数 y=f(x)关于x= a对称.若函数y=f(x+ a)为奇函数，则函数 y= f(x)关于点(a,0)对称.(2)若f(x)=f(2a x),则函数f(x)关于x= a对称.若f(x)+f(2a x) = 2b,则函数f(x)关于点(a, b)对称.自测练习1 .函数 f(x)= lg(x+ 1)+lg(x 1)的奇偶性是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数2 . (2015石家庄一模)设函数f(x)为偶函数，当xC (0, +8)时，f(x)=log2x,则f(-柩 =().1JA.2B.2C.2D.- 23.若函数f(x) =

4、 x2|x+a|为偶函数，则实数 a=.知识点二函数的周期性1 .周期函数对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数使得当x取定义域内的任何值时，都有 侬+ T)=f(x)，那么就称函数y=f(x)为周期函数，称 T为这个函数的周期.2 .最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫作f(x)的最小正周期.必记结论 定义式f(x+T) = f(x)对定义域内的x是恒成立的.若 f(x+a)= f(x+b),则函数f(x)的周期为T=|a-b|.若在定义域内满足1 一1f(x+ a) = -f(x), f(x+ a) = -f(x+a) = -7a>

5、0).则 f(x)为周期函fx fx数，且T = 2a为它的一个周期.对称性与周期的关系:(1)若函数f(x)的图象关于直线 x=a和直线x= b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a b|是它的一个周期.(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a b|是它 的一个周期.(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x= b对称，则函数 f(x)必为周期函数，4|a-b| 是它的一个周期.自测练习14.函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+ 2) = f,研考向考点-函数奇偶性的判断I电养噩题组训练判断下列函数的奇偶性.(1) f(

6、x)=1-x2 +/X2i; (2)f(x) = ,32x + g3;(3)f(x)=3x 3 x；4-x2(4心上尚。3x2+ x,(5)f(x)= ；2_x,x>0, x<0.»尊肆方法函数奇偶性的判定的三种常用方法1 .定义法：mF是奇函数 他不是梅廉敏.站能一)2 .图象法：面才关于旗点对酬附为奇南3.性质法:, /附为偶函数(1) 奇十奇 是奇,(2) “偶+偶”是偶,“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇W?”是偶;“偶一偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶引禺”是偶;(3) “奇偶”是奇，“奇W禺”是奇考点二函数的周期性信北黑舞典殿悟法O 设f(x)是定义在R上的奇函数，

7、且对任意实数x,恒有f(x + 2) = f(x).当xC 0,2 时，f(x)=2x- x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当xC 2,4时，求f(x)的解析式；(3)计算 f(0) + f(1)+f(2)+- + f(2 017).判断函数周期性的两个方法(1)定义法.(2)图象法.演炼冲关1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x>0,都有f(x+2) = 且当xC 0,2) fx时，f(x)=log2(x+ 1),则求 f( 2 015)+f(2 017)的值为.考点三函数奇偶性、周期性的应用B能总先高考对于函数性质的考查，一般不会单纯地考查某一个性质，而是对奇偶性

8、、周期性、 单调性的综合考查.归纳起来常见的命题探究角度有：1 .已知奇偶性求参数.2 .利用单调性、奇偶性求解不等式.3 .周期性与奇偶性综合.4 .单调性、奇偶性与周期性相结合.探究一已知奇偶性求参数1. (2015高考全国卷I )若函数f(x) = xln(x+/a+ x2)为偶函数，则 a=.探究二利用单调性、奇偶性求解不等式2. (2015高考全国卷H )设函数f(x)=ln(1 + |x|)-,则使得f(x)>f(2x1)成立的x的1 + x取值范围是()A. 3-, 1 I!B.(-3 ju (1 , +8)C. (- 3，3)D(8, Y)ug +8)探究三周期性与奇偶性

9、相结合3. (2015石家庄一模)已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若 f(1)<1, f(5) =2a32a3,则实数a的取值范围为()a+ 1A. (-1,4) B. (-2,0) C. (1,0)D. (-1,2)探究四单调性、奇偶性与周期性相结合4.已知定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x4) = f(x),且在区间0,2上是增函数，则()A. f(25)<f(11)<f(80)B. f(80)<f(11)<f(25)C. f(11)<f(80)<f(25)D. f(25)<f(80)<f(11)»现律方法函

10、数性质综合应用问题的三种常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象 的对称性.(2)周期性与奇偶性结合.此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换, 将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.(3)周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的 区间，然后利用奇偶性和单调性求解.2.构造法在函数奇偶性中的应用思想方法系列IIXIANG 卜ANGFA XLIi|fX+ 1 2+ sin x【典例】设函数f(x)=(的最大值为 M,最小值为m,则M + m=x十思路点拨直接求解函数的最大值和最小

11、值很复杂不可取，所以可考虑对函数整理化 简，构造奇函数，根据奇函数的最大值与最小值之和为零求解.方法点评在函数没有指明奇偶性或所给函数根本不具备奇偶性的情况下，通过观察函数的结构，发现其局部通过变式可构造出奇偶函数，这样就可以根据奇偶函数特有的性质解决问题.跟踪练习已知 f(x) = x5+ax3+bx 8,且 f(2)=10,则 f(2)等于()A. 26B. 18 C. 10D. 10国.跟踪检寤繇4A组考点能力演练1. (2015陕西一检)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0) = 0”是“函数f(x)为奇函数” 的()A.必要不充分条件C.充分不必要条件B.充要条件D.既不充分也不

12、必要条件1 x2 . (2015 唐山一模)已知函数 f(x) = -x+log2；-1十xA. 2B. 2C. 0D. 2log2-33 .设f(x)是定义在R上的周期为4x2- 2, - 2W xW 03 的函数,当 xC 2,1)时，f(x)=；lx, 0<x<1则 fg ,=()A. 0B. 11 C.2D. - 14.在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+ 3)=f(x),当 0<xw 1 时，f(x)=2x,则 f(2 015)=()_11A. - 2B. 2C. -2D.25 .设奇函数f(x)在(0, +8)上是增函数，且f(1)=0,则不等式xf(x)f

13、( x)<0的解集 为()A . x|1<x<0,或 x>1B . x|x<1,或 0Vx<1C. x|x< - 1 ,或 x>1D . x|- 1<x<0,或 0Vx<16 .已知f(x)是定义在 R上的偶函数，f(2)=1,且对任意的 xCR,都有f(x+3) = f(x), 贝U f(2 017) =.7 .函数f(x)= 0+1.+a兀奇函数，则 a=.x8 .已知函数f(x)在实数集R上具有下列性质：直线x=1是函数f(x)的一条对称轴；f(x+2) = f(x);当 1 Wx1<x2W3 时，f(x2)f(xi

14、)(x2 x1)<0,则 f(2 015), f(2 016), f(2 017)从大到小的顺序为 .x2+2x, x>0,9 .已知函数f(x) = 0 0, x=0,是奇函数.2x + mx, x<0求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1, a2上单调递增，求实数 a的取值范围.10 .函数y=f(x)(xw0)是奇函数，且当xC (0, +8)时是增函数，若f(1)=0,求不等式B组高考题型专练1. (2014高考新课标全国卷I)设函数f(x), g(x)的定义域都为 R,且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是A. f(x)g(x)是偶函数B.

15、|f(x)|g(x)是奇函数C. f(x)|g(x)|是奇函数D. |f(x)g(x)|是奇函数1 A./2. (2014 高考安徽卷)设函数 f(x)(xCR)满足 f(x+ m=f(x) + sin x.当 0Wx<Tt时,f(x)=0,B.13C.3.(2015高考广东卷)下列函数中,既不是奇函数，也不是偶函数的是()C.y=寸1 + x2_. 1B . y= x+xxD . y= x+ e4.(2015高考天津卷)已知定义在R上的函数f(x)= 2"m|1(m为实数)为偶函数.记a=f(log 0.53), b=f(log25),c=f(2m),则a, b, c的大小关

16、系为()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a5. (2015高考湖南卷)设函数 f(x)= ln(1 +x)- ln(1 -x),则 贻)是()A.奇函数，且在(0,1)上是增函数B.奇函数，且在(0,1)上是减函数C.偶函数，且在(0,1)上是增函数D.偶函数，且在(0,1)上是减函数答案：x+1>01.解析：由( 知x>1,定义域不关于原点对称，故f(x)为非奇非偶函数.x1>0答案：C-12 .解析：因为函数f(x)是偶函数，所以f(->/2)=f(72)= 109272 =2,故选B.答

17、案：B3 .解析：. f( x) =f(x)对于x C R恒成立，.|x+ a|=|x+a|对于xC R恒成立，两边平方整理得ax= 0对于xC R恒成立，故 a= 0.答案：0114.解：f(x+2)=;，-f(x+ 4)= - = f(x),华)f(x+2).11.f(5) = f(1)=- 5, .-.f(f(5) = f(-5)=f(3)=-=-. f 1 51答案：15考点一,x2-1>0, g 1解：(1)由 2>0 得*= ±，f(x)的定义域为 1,1.又 f(1)+f( 1)=0, f(1)-f(-1)=0,即 f(x) = if( x).f(x)既是奇

18、函数又是偶函数.一，31 (2)二,函数f(x)=V3-2x+ /2x3的定义域为 寸,不关于坐标原点对称，2函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(3) .f(x)的定义域为 R, f(-x)= 3 x- 3x= - (3x-3 x) = - f(x),所以f(x)为奇函数.4-x2>0,口 _ 一 一 r 一(4) ;由 S得一2WxW2 且 xw0.卜+ 3|- 3”，f(x)的定义域为2,0)U (0,2,.f(x)=4=j4m |x+ 3|-3 (x+3 尸3x ' f(x) = f(x) ,f(x)是奇函数.2 .(5)易知函数的定义域为(一8, 0)U(0, +8

19、),关于原点对称，又当 x>0时，f(x)=x +X,则当x<0时，一x>0,故 f( X)= X2 x= f(x);当 x<0 时，f(x)=x2x,贝U当 x>0 时，x<0 ,故f( x) = x2+x= f(x),故原函数是偶函数.M 解(1) f(x+ 2)=f(x),.-.f(x+4)=- f(x+2)=f(x).，f(x)是周期为4的周期函数.(2)当 xC 2,0时，一xC 0,2,由已知得f( x) = 2( x) (x)2= 2x x2.又 f(x)是奇函数，f(-x)= - f(x)= - 2x-x2 , f(x) = x2+ 2x.又

20、当 xC 2,4时，x-4 -2,0,.f(x-4) = (x- 4)2 + 2(x- 4).又f(x)是周期为4的周期函数，f(x) = f(x- 4) = (x- 4)2+ 2(x- 4) = x2- 6x+ 8.从而求得 x e 2,4时，f(x)= x2- 6x+ 8.(3)f(0) = 0, f(2)=0, f(1)=1, f(3) = 1.又f(x)是周期为4的周期函数，f(0) +f(1) + f(2) + f(3) = f(4) + f(5) + f(6) + f(7)=f(2 008) + f(2 009) + f(2 010) + f(2011)= f(2 012) + f

21、(2 013) + f(2 014) + f(2 015) = 0,.f(0) + f(1)+f(2)+-+f(2 017) = f(0) + f(1) = 0+ 1=1.1斛析：当 x>0 时，f(x+2) = -,f x.f(x+4)=f(x),即 4 是 f(x)(x> 0)的一个周期. f(2 017)=f(1) = log22=1,一一一 1,f(-2 015) = f(2 015) = f(3) =府=1, .f(2 015) + f(2 017)=0.答案：01.解析：由题意得 f(x) = xln(x+ *Va + x2) = f( x) = xln("V

22、a+ x2 x),所以 Ma+ x2+ x =答案：12.解析:函数 f(x)=ln(1 +1|xGf(-x)= f(x),故f(x)为偶函数,又当x (0, 十一18)时,f(x)=ln(1 +x)-2, f(x)是单倜递增的，故 f(x)>f(2x1)? f(|x|)>f(|2x- 1|),.|x|>|2x1十x11|,斛得"<x<1 ,故选A. 3答案：A3 .解析：f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数, .f(5) = f(5-6) = f(-1)=f(1),. f(1)<1, f(5) =2a3a+ 1 ''2a二3 &

23、lt;1，即 aT40，解得一1<a<4,故选 A. a十ia十i答案：A4 .解析:f(x)满足 f(x- 4) = f(x),f(x8)=f(x), .函数f(x)是以8为周期的周期函数，则 f( 25)=f(1), f(80) = f(0), f(11) = f(3).由f(x)是定义在 R上的奇函数，且满足 f(x4) = f(x),得f(11) = f(3) = f(1) = f(1). , f(x)在区间0,2上是增函数，f(x)在R上是奇函数，f(x)在区间 2,2上是增函数，.f(- 1)<f(0)<f(1),即 f(-25)<f(80)<f

24、(11).答案：D【典例】解析易知f(x)=1 +2x+ sin xx2+12x sin x设 g(x) = f(x) 1 = x2+1 ,则g(x)是奇函数.,f(x)的最大值为 M,最小值为 m,g(x)的最大值为 M 1,最小值为 m-1, . .M 1 + m 1=0). M + m= 2.答案2解析：由 f(x)= x5+ ax3 + bx 8 知 f(x) + 8 = x5 + ax3+ bx,令F(x)=f(x) + 8可知F(x)为奇函数，F(-x) + F(x) = 0.F(-2) + F(2)=0,故 f(-2)+8 + f(2) + 8=0.f(2) = - 26.答案：

25、A 21 .解析：f(x)在R上为奇函数？ f(0)=0; f(0)=0? /f(x)在R上为奇函数，如f(x)=x ,故选A.答案：A2 .解析：由题意知，f(x)1 = x+log212， f(-x)-1=x+ log，2 = x- log2r =-1 + x1 -x1+x(f(x) 1),所以 f(x) 1 为奇函数，则 fg ji+f 2 'r 1 = 0,所以 fgj+f1一 2 芹 2.答案：A3 .解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以fj| ;= f ；+3 ''厂(一2 ；= 4X 2)-2 =-1,故选D.答案：D4 .解析：由 f(x+ 3)

26、= f(x)得函数的周期为 3,所以 f(2 015)=f(672X 3- 1) = f(-1) = - f(1) =2,故选A.答案：A5 .解析：:奇函数 f(x)在(0, 十 °°)上是增函数，f(-x)= - f(x),xf(x)-f(-x)<0 , .1.xf(x)<0, 又 f(1)=0,/ 'f(-1)=0,/ 0:从而有函数f(x)的图象如图所示：|则有不等式xf(x)-f(-x)<0的解集为x| 1<x<0 或 0<x<1,选 D.答案：D6 .解析：由 f(x+3) = f(x)得函数 f(x)的周期 T

27、=3,则 f(2 017)=f(1) = f(-2),又 f(x)是定 义在R上的偶函数,所以f(2 017) = f(2)= 1.答案：17 .解析：由题意知，g(x)= (x+ 1)(x+ a)为偶函数，a=1.答案：18 .解析：由f(x+2)= f(x)得f(x+ 4) = f(x),即函数f(x)是周期为4的函数，由知f(x) 在1,3上是减函数.所以 f(2 015) = f(3), f(2 016) = f(0) = f(2), f(2 017) = f(1),所以 f(1)>f(2)> f(3), 即 f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)

28、.答案：f(2 017)>f(2 016)>f(2 015)9 .解：(1)设 x<0,则一x>0,所以 f( x) = ( x)2+ 2( x)= x2 2x.又f(x)为奇函数，所以f(-x) = - f(x),于是 x<0 时，f(x) = x2+2x= x2+ mx,所以 m= 2.(2)要使f(x)在-1, a2上单调递增，a 2> 1 1 )结合f(x)的图象知口一2"所以1<aW3,故实数a的取值范围是(1,3.10 .解:.y=f(x)是奇函数，f(-1)=-f(1)=0.又 y=f(x)在(0, + 8)上是增函数,1. y=f(x)在(一00, 0)上是增函数，口 H111+ 17.1- 17即 0<xg2尸1,解得 2<