高等数学大学 10-习题

1、编辑ppt第十章第十章 微分方程微分方程 习题课习题课编辑ppt一、基本内容一、基本内容1 1、基本概念、基本概念微分方程微分方程凡含有未知函数的导数或微分的方程凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程叫微分方程微分方程的阶微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的最微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶高阶导数的阶数称为微分方程的阶微分方程的解微分方程的解代入微分方程能使方程成为恒等代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解式的函数称为微分方程的解 编辑ppt通解通解如果如果微分方程的解中含有任意常数，并且微分方程的解中含有任意常数，并且任意常数的个数与微分方程的

2、阶数相同，这样的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解解叫做微分方程的通解特解特解确定了通解中的任意常数以后得到的解，确定了通解中的任意常数以后得到的解，叫做微分方程的特解叫做微分方程的特解初始条件初始条件用来确定任意常数的条件用来确定任意常数的条件.初值问题初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题，求微分方程满足初始条件的解的问题，叫初值问题叫初值问题编辑pptdxxfdyyg)()( 形形如如(1) 可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程解法解法 dxxfdyyg)()(分离变量法分离变量法2 2、一阶微分方程的解法、一阶微分方程的解法)(xyfdxdy 形如形如

3、(2) 齐次方程齐次方程解法解法xyu 作变量代换作变量代换编辑ppt)(111cybxacbyaxfdxdy 形如形如齐次方程齐次方程,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常数）是待定的常数）否则为非齐次方程否则为非齐次方程(3) 可化为齐次的方程可化为齐次的方程解法解法化为齐次方程化为齐次方程编辑ppt)()(xQyxPdxdy 形形如如(4) 一阶线性微分方程一阶线性微分方程, 0)( xQ当当上方程称为齐次的上方程称为齐次的上方程称为非齐次的上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当齐次方程的通解为齐次方程的通解为.)( dxxPCey（使用分离变量法）（

4、使用分离变量法）解法解法编辑ppt非齐次微分方程的通解为非齐次微分方程的通解为 dxxPdxxPeCdxexQy)()()(（常数变易法）（常数变易法）0),(),( dyyxQdxyxP其中其中dyyxQdxyxPyxdu),(),(),( 形如形如(5) 全微分方程全微分方程编辑pptxQyP 全全微微分分方方程程注意：注意：解法解法应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关. yyxxdyyxQxdyxPyxu00),(),(),(0,),(),(000 xdyxPdyyxQxxyy .),(cyxu 用直接凑用直接凑全微分的方法全微分的方法.通解为通解为编辑ppt(6) 可化为全微分

5、方程可化为全微分方程).(xQyP 非全微分方程非全微分方程0),(),( dyyxQdxyxP形如形如 若若0),( yx 连连续续可可微微函函数数，且且可可使使方方程程0),(),(),(),( dyyxQyxdxyxPyx 成成为为全全微微分分方方程程.则则称称),(yx 为为方方程程的的积积分分因因子子.编辑ppt3 3、可降阶的高阶微分方程的解法、可降阶的高阶微分方程的解法解法解法),(xPy 令令特点特点. y不不显显含含未未知知函函数数),()2(yxfy 型型)()1()(xfyn 接连积分接连积分n次，得通解次，得通解 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).(,(xPx

6、fP ,Py 编辑ppt),y(Py 令特点特点.x不显含自变量不显含自变量),()3(yyfy 型型解法解法代入原方程代入原方程, 得得).,(PyfdydpP ,dydpPy 、线性微分方程解的结构、线性微分方程解的结构（1 1）二阶齐次方程解的结构）二阶齐次方程解的结构: :)1(0)()( yxQyxPy形形如如编辑ppt定定理理 1 1 如如果果函函数数)(1xy与与)(2xy是是方方程程( (1 1) )的的两两个个解解, ,那那末末2211yCyCy 也也是是( (1 1) )的的解解. .（21,CC是是常常数数）定定理理 2 2：如如果果)(1xy与与)(2xy是是方方程程(

7、 (1 1) )的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解, , 那那么么2211yCyCy 就就是是方方程程( (1 1) )的的通通解解. .（2 2）二阶非齐次线性方程的解的结构）二阶非齐次线性方程的解的结构: :)2()()()(xfyxQyxPy 形如形如编辑ppt定理定理 3 3 设设*y是是)2(的一个特解的一个特解, , Y是与是与(2)(2)对应对应的齐次方程的齐次方程(1)(1)的通解的通解, , 那么那么*yYy 是二阶是二阶非齐次线性微分方程非齐次线性微分方程(2)(2)的通解的通解. .定理定理 4 4 设非齐次方程设非齐次方程(2)(2)的右端的右端)(xf是几个函是

8、几个函数之和数之和, , 如如)()()()(21xfxfyxQyxPy 而而*1y与与*2y分别是方程分别是方程, , )()()(1xfyxQyxPy )()()(2xfyxQyxPy 的特解的特解, , 那么那么*2*1yy 就是原方程的特解就是原方程的特解. .编辑ppt、二阶常系数齐次线性方程解法、二阶常系数齐次线性方程解法)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 形形如如n阶常系数线性微分方程阶常系数线性微分方程0 qyypy二阶常系数齐次线性方程二阶常系数齐次线性方程)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程解法解法由常系数齐次线性方程的特征方程的根

9、确由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为定其通解的方法称为特征方程法特征方程法.编辑ppt02 qprr0 qyypy 特特征征根根的的情情况况 通通解解的的表表达达式式实实根根21rr 实实根根21rr 复复根根 ir 2, 1xrxreCeCy2121 xrexCCy2)(21 )sincos(21xCxCeyx 特征方程为特征方程为编辑ppt01)1(1)( yPyPyPynnnn特征方程为特征方程为0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的对应项通解中的对应项rk重重根根若若是是rxkkexCxCC)(1110 jk复复根根重重共共轭轭若若是是xkk

10、kkexxDxDDxxCxCC sin)(cos)(11101110推广：推广： 阶常系数齐次线性方程解法阶常系数齐次线性方程解法n编辑ppt、二阶常系数非齐次线性微分方程解法、二阶常系数非齐次线性微分方程解法)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程型型)()()1(xPexfmx 解法解法待定系数法待定系数法., )(xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 2,10k编辑ppt型型sin)(cos)()()2(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(xxRxxRexymmxk 设设次次多多项项式式，是是其其中中mxRxRm

11、m)(),()2()1( nlm,max .1;0是特征方程的单根时是特征方程的单根时不是特征方程的根时不是特征方程的根时 jjk编辑ppt二、例题二、例题.)cossin()sincos(dyxyxxyyxdxxyyxyxy 求求通通解解例例1 1解解原方程可化为原方程可化为),cossinsincos(xyxyxyxyxyxyxydxdy 编辑ppt,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得代入原方程得),cossinsincos(uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu 分离变量分离变量两边积分两边积分,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,

12、cos2xCxyxy 所求通解为所求通解为.cosCxyxy 编辑ppt. 0324223 dyyxydxyx求求通通解解例例2 2解解)2(3yxyyP ,64yx )3(422yxyxxQ ,64yx )0( y,xQyP 方程为全微分方程方程为全微分方程.编辑ppt(1) 利用原函数法求解利用原函数法求解:,2),(3yxxuyxu 则则设设原原函函数数为为),(),(32yyxyxu ,求导求导两边对两边对 y),(33142422yyxyxyyu ,1)(2yy 解解得得,1)(yy 故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx 编辑ppt(2) 利用分项组合法求解利用分项组合法求

13、解:原方程重新组合为原方程重新组合为, 0)1()(32 ydyxd即得即得, 01)32(2423 dyydyyxdxyx故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx 编辑ppt(3) 利用曲线积分求解利用曲线积分求解:dyyxydxyxyxyx422),()1 , 0(332),(uyyyxyx132121故方程的通解为故方程的通解为.1232Cyyx 编辑ppt.212yyy 求通解求通解例例3 3解解.x方方程程不不显显含含,dydPPyPy 令令代入方程，得代入方程，得,212yPdydPP ,112yCP 解解得得，, 11 yCP, 11 yCdxdy即即故方程的通解为故方程的

14、通解为.12211CxyCC 编辑ppt. 1)1()1(,2 yyexeyyyxx求求特特解解例例4 4解解特征方程特征方程, 0122 rr特征根特征根, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的特解为设原方程的特解为,)(2*xebaxxy ,2)3()(23*xebxxbaaxy 则则,2)46()6()(23*xebxbaxbaaxy 编辑ppt代入原方程比较系数得代入原方程比较系数得将将)( ,)( ,* yyy,21,61 ba原方程的一个特解为原方程的一个特解为,2623*xxexexy 故原方程的通解为故原方程的通解为.26)

15、(2321xxxexexexCCy , 1)1( y, 1)31(21 eCC,6)1()(3221xexxCCCy 编辑ppt, 1)1( y, 1)652(21 eCC,31121 eCC,651221 eCC由由解得解得 ,121,61221eCeC所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为.26)121(61223xxxexexexeey 编辑ppt).2cos(212xxyyy 求求解解方方程程例例5 5解解特征方程特征方程, 042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐方的通解为对应的齐方的通解为.2sin2cos21xCxCY 设原方程的特解为设原方程的特解为

16、.*2*1*yyy ,)1(*1baxy 设设,)(*1ay 则则, 0)(*1 y，得得代代入入xyy214 ，xbax2144 编辑ppt由由，04 b，214 a解得解得，0 b，81 a;81*1xy ),2sin2cos()2(*2xdxcxy 设设,2sin)2(2cos)2()(*2xcxdxdxcy 则则,2sin)44(2cos)44()(*2xdxcxcxdy ，得得代代入入xyy2cos214 编辑ppt故原方程的通解为故原方程的通解为.2sin81812sin2cos21xxxxCxCy ,2cos212sin42cos4xxcxd 由由，04 c，214 d即即，81

17、 d，0 c;2sin81*2xxy 编辑ppt.)(),(1)()(2此此方方程程的的通通解解（）的的表表达达式式；（），试试求求：的的齐齐次次方方程程有有一一特特解解为为，对对应应有有一一特特解解为为设设xfxpxxxfyxpy 例例6 6解解（）由题设可得：（）由题设可得： ),()1)(2, 02)(223xfxxpxxxp解此方程组，得解此方程组，得编辑ppt.3)(,1)(3xxfxx （）原方程为（）原方程为.313xyxy ，的的两两个个线线性性无无关关的的特特解解程程是是原原方方程程对对应应的的齐齐次次方方显显见见221, 1xyy 是是原原方方程程的的一一个个特特解解，又又

18、xy1* 由解的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为.1221xxCCy 编辑ppt间间链条滑过钉子需多少时链条滑过钉子需多少时下垂米，试问整个下垂米，试问整个边边的一边下垂米，另一的一边下垂米，另一上，运动开始时，链条上，运动开始时，链条一无摩擦的钉子一无摩擦的钉子一质量均匀的链条挂在一质量均匀的链条挂在解解例例7 7oxm8m10,米米链条下滑了链条下滑了经过时间经过时间设链条的线密度为设链条的线密度为xt 则由牛顿第二定律得则由牛顿第二定律得,)8()10(22gxgxdtxdm . 0)0(, 0)0(,99 xxgxgx即即编辑ppt解此方程得解此方程得, 1)(21)

19、(3131 tgtgeetx, 8, x即即整个链条滑过钉子整个链条滑过钉子代入上式得代入上式得)().809ln(3秒秒 gt编辑ppt例例8 设设 ( )f x具有二阶连续函数，且具有二阶连续函数，且 (0) 0, (0) 1ff 已知曲线积分已知曲线积分 2(6 ( )sin(5 ( )( )cosxLxef xydxf xf xydy 与积分路径无关，求与积分路径无关，求 ( )f x线积分与路径无关的条线积分与路径无关的条 解：因为曲线积分解：因为曲线积分 LPdx Qdy 与路径无关，所以根据曲与路径无关，所以根据曲PQyx ，得，得 分析：曲线积分分析：曲线积分 LPdx Qdy 与路径无关的充分必要条件是与路径无关的充分必要条件是PQyx 。故应首先分别求出。故应首先分别求出 和和 ， Py Qx 列出等式列出等式 PQyx 建立关于函数建立关于函数 ( )f x的微分方程，然后再根据初始条件求特解。的微分方程，然后再根据初始条件求特解。 编辑ppt2(5 ( )( )cos (6 ( )sin xf xf xyxef xyxy 可解得此