高等数学教学 第三节 函数的极限

1、, ) (xfy 对对一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质二、函数极限的性质三、小三、小 结结 2/24一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节第三节 函数的极限 0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx) 4(x) 5 (x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :3/24一、自变量趋向有限值时函数的极限一、自变量趋向有限值时函数的极限;)()(任任意意小小表表示示 AxfAxf .000的的过过程程表表示示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻邻域域的的去去心心点点

2、 x,0邻邻域域的的去去心心点点 x.0程程度度接接近近体体现现xx 问题问题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.4/24定定义义 Axfxx )(lim0.)(,0, 0, 00 Axfxxst恒恒有有时时1、定义：、定义：)( xfy5/242、几何解释、几何解释:AAA0 x0 x0 xxxyo.2,)(,0的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线线线图图形形完完全全落落在在以以直直函函数数域域时时邻邻的的去去心心在在当当 Ayxfyxx;) (. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与x x f注意：注意：.2有有关关与与

3、任任意意给给定定的的正正数数 .,越小越好越小越好后后找到一个找到一个显然显然 ).(,lim0为为常常数数证证明明CCCxx 6/24例例2Axf )(证证CC ,成成立立 , 0 任任给给0 .lim0CCxx , 0 任任取取,00时时当当 xx.lim00 xxxx 证证明明例例3,)(0 xxAxf为为了了证证, 只只要要取取0 ,00时时当当 xx0)(xxAxf .lim00 xxxx , 0 任任给给. 211lim21 xxx证证明明7/24例例4211)(2 xxAxf为为了了证证, 只只要要取取0 1x.lim00 xxxx 证证明明函数在点函数在点x=1处没有定义处没有

4、定义.,)( Axf要要使使,2112 xx就就有有. 211lim21 xxx.1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证证明明设设8/24(one-sided limit):例如例如,两两种种情情况况分分别别讨讨论论和和分分00 xx,0 xx 从从左左侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记记作作,0 xx 从从右右侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记记作作xo.2,)(,0的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线线线图图形形完完全全落落在在以以直直函函数数域域时时邻邻的的去去心心在在当当 Ayxfyxx1xy 112 xy.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当

5、当9/24左极限左极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当右极限右极限 000 :000 xxxxxxxxx注注意意.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作.)()(lim00AxfAxfxx 或或记记作作.)()()(lim:000AxfxfAxfxx 定定理理(left-hand limit)(right-hand limit)10/24.lim0不不存存在在验验证证xxxy111 xxxxxx 00limlim.2,)(,0的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线线线图图形形完完全全落落在在以以直直函函数数域域时时邻邻的的去去心心在在当当 Ayxfy

6、xx.)(lim0不不存存在在xfx左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,1)1(lim0 x例例5证证xxxxxx 00limlim11lim0 x).(lim,0, 10,1) (02xfxxxxxfx 求求设设11/24例例6 6两两个个单单侧侧极极限限为为是是函函数数的的分分段段点点,0 xo.2,)(,0的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线线线图图形形完完全全落落在在以以直直函函数数域域时时邻邻的的去去心心在在当当 Ayxfyxx1xy 112 xy.)(, 0, 000 Axfxxx恒恒有有时时使使当当解解)1(lim)(lim00 xxfxx ,1 ) 1( li

7、m) (lim200 xx fxx.1)(lim0 xfx故故) 1( lim) (lim200 xx fxx左右极限存在且相等左右极限存在且相等,12/24.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx问问 题题 : : 函函 数数)( xfy 在在 x的的 过过 程程 中中 , 对对 应应函函 数数 值值)( xf无无 限限 趋趋 近近 于于 确确 定定 值值 A.播放播放二、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向无穷大时函数的极限13/24;)()(任任意意小小表表示示 AxfAxf .的的过过程程表表示示 xXx. 0sin)(,无无限限接接近近于于无无限限增增大大时

8、时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:14/24定定义义 X .) (, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(lim:.10情情形形 x1、定义：、定义：15/24.) (, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当:.20情情形形 xAxfx )(lim.) (, 0, 0 Ax fXxX恒恒有有时时使使当当Axfx )(lim Axfx)(lim:定定理理2、另两种情形、另两种情形:.)(lim)(limAxfAxfxx 且且16/24xxysin 3、几何解释、几何解释: X X.2,) (,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线

9、直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当 Ayx f yXx XxA17/24. 0sinlim xxx证证明明 例例7xxxxsin0sin 为为了了证证x1 X1 , , 0 ,1 X取取时时恒恒有有则则当当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.) (,) (lim:的的图图形形的的水水平平渐渐近近线线是是函函数数则则直直线线如如果果定定义义xfycycxfx 定定 理理 若若 在在 某某 个个 过过 程程 下下 , ,)( xf有有 极极 限限 , , 则则 存存 在在过过 程程 的的 一一 个个 时时 刻刻 , , 在在 此此 时时 刻刻 以以 后后)(

10、 xf有有 界界 . .18/24三、函数极限的性质三、函数极限的性质1. （局部）（局部）有界性有界性).0)(0)(,)(,0),0(0,)(lim00 xfxfxUxAAAxfxx或或时时当当则则或或且且若若。 19/24).0( 0),0)( 0)(,)(, 0,)(lim00 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若。 3.3.定理定理( (局部保号性局部保号性) ) .)(),(,),(),(,)(.),(),(21000时时的的子子列列当当为为函函数数即即则则称称数数列列时时使使得得有有数数列列中中或或可可以以是是设设在在过过程程axxfxfxfxfxfaxnax

11、xxxaaxnnnn 推论推论20/24(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系).)(lim,)()(,)(limAxfaxxfxfAxfnnnax 则则有有时时的的一一个个子子列列当当是是数数列列若若定义定义定理定理21/24例如例如,1sinlim0 xxx , 11sinlim nnn, 11sinlim nnn11sin1lim22 nnnnn函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在限都存在, ,且相等且相等. .22/24xy1sin .1sinlim0不不存存在在证证明明xx

12、 例例8 ,1 nxn取取证：证：, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而23/24 214sinlim1sinlim nxnnn而而) 1( lim) (lim200 xx fxx1lim n.1sinlim0不不存存在在故故xx 二者不相等二者不相等,0 ;) (lim Anfn 24/24四、小结四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(,

13、 0)(lim AxfAxf恒恒有有从从此此时时刻刻以以后后时时刻刻业业作作(见下表见下表)用时用时2课时课时) 3)(1 (538 P n25/24过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 x x xNNn Nx Nx Nx )( xf Axf )(0 xx 00 xx,0邻邻域域的的去去心心点点 x 0 xx 0 xx 00 xx00 xx2-131习习题题P过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 Axf )(0 xx26/24)(, )(, . 6212 kaxkaxxkkn若若对对于于数数列列).( naxn证证明明：证证明明：, )(12 kaxk)(2 kaxk又又.,

14、0, 01211 axKkstKk有有.,0,0222 axKkstKk有有对对上上述述., 2,221上上两两个个不不等等式式均均成成立立取取NnstKKmaxN .成成立立即即 axn.limaxnn 故故.lim00 xxxx 27/24例例50)(xxAxf 证：证：,min00 xx 保保证证，故故可可取取0 00 xxxx .lim00 xxxx 证证明明,0 xx就就有有,2112 xx就就有有,00 xxx 00000. 0 x x xxxxx x 可可用用而而且且只只要要 .lim,0:000 xxxxx 时时当当证证明明34P xy . 1 28/24xay . 2xey

15、. 3xaylog.4 xy ln. 5 xyxycos. 7sin. 6 xyxycot. 9tan. 8 xyxycsc.11sec.10 xyxyarccos.13arcsin.12 xarcyxycot.15arctan.14 )(是是常常数数Rxy 29/241、幂函数幂函数oy0 x) 1 , 1 (2xy xy 1xy 1xy xy1 xy ) 1, 0( aaayx30/242、指数函数、指数函数xay xay)1( ) 1( a)1 ,0( xey ，特特别别地地1, 0(log aaxya31/243、对数函数、对数函数xyalog xya1log )0,1()1 ,0()

16、,时时，记记为为当当 e a xey xyln 32/24xy sin 4、三角函数、三角函数xysin Sine-正弦正弦函数正弦函数33/24xy cos xycos cosine-余弦余弦函数余弦函数34/24xy tan xytan xycot tangent-正切，切线正切函数正切函数35/24xy cot cotangent-余切余切函数余切函数36/24xxycos1sec xy sec secant-正割正割函数正割函数37/24xxysin1csc xy csc Cosecant-余割余割函数余割函数38/24xy arcsin 5、反三角函数、反三角函数arcsin是整体记

17、号xyarcsin 反反正正弦弦函函数数39/24xyarccos arccos是整体记号xy arccos 反反余余弦弦函函数数40/24xyarctan xy arctan 反反正正切切函函数数同上41/24xy cot 幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数对数函数,三角函数和反三角函数和反三角函数统称为三角函数统称为基本初等函数基本初等函数.arcxy cot 反反余余切切函函数数同上试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？xy cot 反反余余切切函

18、函数数42/24思考题思考题 )(lim0 xfx43/24思考题解答思考题解答, 5)5 (lim20 xx )(lim0 xfx左极限存在左极限存在, 01sinlim0 xxx )(lim0 xfx右极限存在右极限存在,)(lim0 xfx )(lim0 xfx.01. 01_131222 yzxzxxyx，必必有有时时，只只要要取取，问问当当时时，、当当不存在不存在.44/24.001. 0420_4212 yxxyx，必必有有只只要要时时，取取，问问当当时时，、当当 证证明明：二二、用用函函数数极极限限的的定定义义0sinlim221241lim1221 xxxxxx、一、填空题一、

19、填空题:.) (:0极极限限各各自自存存在在并并且且相相等等必必要要条条件件是是左左极极限限、右右时时极极限限存存在在的的充充分分当当函函数数三三、试试证证xxx f 练练 习习 题题45/24?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 一一、1 1、0 0. .0 00 00 02 2； 2 2、397. .四四、不不存存在在. .46/24练习题答案练习题答案47/24.sin时时的的变变化化趋趋势势当当观观察察函函数数 xxx问问 题题 : : 函函 数数)( xfy 在在 x的的 过过 程程 中中 , 对对 应应函函 数数 值值)( xf无无 限限

20、趋趋 近近 于于 确确 定定 值值 A.一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限48/24问问 题题 : : 函函 数数)( xfy 在在 x的的 过过 程程 中中 , 对对 应应函函 数数 值值)( xf无无 限限 趋趋 近近 于于 确确 定定 值值 A.一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限49/24问问 题题 : : 函函 数数)( xfy 在在 x的的 过过 程程 中中 , 对对 应应函函 数数 值值)( xf无无 限限 趋趋 近近 于于 确确 定定 值值 A.一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限50/24问问 题题 : : 函函 数数)( xfy 在在 x的的 过过 程程 中中 , 对对 应应函函 数数 值值)( xf无无 限