高一培优资料第二次（函数及性质）

1、高一数学培优资料二1对实数a和b，定义运算“”： ab设函数f(x)(x22)(xx2)，xR.若函数yf(x)c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是()A(，2 B(，2C. D.解析当(x22)(xx2)1，即1x时，f(x)x22；当x22(xx2)1，即x1或x时，f(x)xx2，f(x)f(x)的图象如图所示，c2或1c.答案B2已知函数f(x)则满足不等式f(1x2)>f(2x)的x的取值范围是_解析由题意有或解得1<x<0或0x<1，所求x的取值范围为(1，1)答案(1，1)3设函数f(x)g(x)f(x)ax，x1,3，其中aR，记函数g(x

2、)的最大值与最小值的差为h(a)(1)求函数h(a)的解析式；(2)画出函数yh(x)的图象并指出h(x)的最小值解(1)由题意知g(x)当a<0时，函数g(x)是1,3上的增函数，此时g(x)maxg(3)23a，g(x)ming(1)1a，所以h(a)12a；当a>1时，函数g(x)是1,3上的减函数，此时g(x)ming(3)23a，g(x)maxg(1)1a，所以h(a)2a1；当0a1时，若x1,2，则g(x)1ax，有g(2)g(x)g(1)；若x(2,3，则g(x)(1a)x1，有g(2)<g(x)g(3)，因此g(x)ming(2)12a，而g(3)g(1)(

3、23a)(1a)12a，故当0a时，g(x)maxg(3)23a，有h(a)1a；当<a1时，g(x)maxg(1)1a，有h(a)a.综上所述，h(a)(2)画出yh(x)的图象，如图所示，数形结合可得h(x)minh.4. 设x0时，f(x)=2;x0时，f(x)=1，又规定：g(x)= (x0)，试写出y=g(x)的解析式，并画出其图象.解 当0x1时，x-10,x-20,g(x)= =1.当1x2时，x-10，x-20,g(x)= ;当x2时，x-10，x-20,g(x)= =2.故g(x)=其图象如图所示.5二次函数f(x)满足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(

4、x)的解析式；(2)在区间1,1上，函数yf(x)的图象恒在直线y2xm的上方，试确定实数m的取值范围解(1)由f(0)1，可设f(x)ax2bx1(a0)，故f(x1)f(x)a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2axab，由题意，得解得故f(x)x2x1.(2)由题意，得x2x1>2xm，即x23x1>m，对x1,1恒成立令g(x)x23x1，则问题可转化为g(x)min>m，又因为g(x)在1,1上递减， 所以g(x)ming(1)1，故m<1.6(14分)(2011·鞍山模拟)已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，若a，b1,1，ab

5、0时，有>0成立(1)判断f(x)在1,1上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f(x)<f()；(3)若f(x)m22am1对所有的a1,1恒成立，求实数m的取值范围解(1)任取x1，x21,1，且x1<x2，则x21,1，f(x)为奇函数，f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)·(x1x2)，由已知得>0，x1x2<0，f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)f(x)在1,1上单调递增(4分)(2)f(x)在1,1上单调递增，x<1.(9分)(3)f(1)1，f(x)在1,1上单调递增在1,1上，f(x)1.(10分)问

6、题转化为m22am11，即m22am0，对a1,1成立下面来求m的取值范围设g(a)2m·am20.若m0，则g(a)00，自然对a1,1恒成立若m0，则g(a)为a的一次函数，若g(a)0，对a1,1恒成立，必须g(1)0，且g(1)0，m2，或m2.m的取值范围是m0或|m|2.(14分)7(12分)已知f(x)x2ax3a，若x2,2时，f(x)0恒成立，求a的取值范围解设f(x)的最小值为g(a)，则只需g(a)0，由题意知，f(x)的对称轴为.(1)当<2，即a>4时，g(a)f(2)73a0，得a.又a>4，故此时的a不存在(4分)(2)当2,2，即4a

7、4时，g(a)f()3a0得6a2.又4a4，故4a2.(8分)(3)当>2，即a<4时，g(a)f(2)7a0得a7.又a<4，故7a<4.综上得所求a的取值范围是7a2.(12分) 8(2011·葫芦岛模拟)已知定义在R上的增函数f(x)，满足f(x)f(x)0，x1，x2，x3R，且x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，则f(x1)f(x2)f(x3)的值 ()A一定大于0B一定小于0 C等于0D正负都有可能Af(x)f(x)0，f(x)f(x)又x1x2>0，x2x3>0，x3x1>0，x1>x2，x2&g

8、t;x3，x3>x1.又f(x1)>f(x2)f(x2)，f(x2)>f(x3)f(x3)，f(x3)>f(x1)f(x1)，f(x1)f(x2)f(x3)>f(x2)f(x3)f(x1)f(x1)f(x2)f(x3)>0. 9(12分)求f(x)x22ax1在区间0,2上的最大值和最小值【答题模板】解f(x)(xa)21a2，对称轴为xa.当a<0时，由图可知，f(x)minf(0)1，f(x)maxf(2)34a.3分(2)当0a<1时，由图可知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(2)34a.6分(3)当1<a2时，由图可

9、知，f(x)minf(a)1a2，f(x)maxf(0)1.9分(4)当a>2时，由图可知，f(x)minf(2)34a，f(x)maxf(0)1.综上，(1)当a<0时，f(x)min1，f(x)max34a；(2)当0a<1时，f(x)min1a2，f(x)max34a；(3)当1<a2时，f(x)min1a2，f(x)max1；(4)当a>2时，f(x)min34a，f(x)max1.12分10函数yf(x)(x0)是奇函数，且当x(0，)时是增函数，若f(1)0，求不等式fx(x)<0的解集解题导引本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式解题的关键是

10、利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”在关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反解yf(x)为奇函数，且在(0，)上为增函数，yf(x)在(，0)上单调递增，且由f(1)0得f(1)0.若fx(x)<0f(1)，则即0<x(x)<1，解得<x<或<x<0.若fx(x)<0f(1)，则由x(x)<1，解得x.原不等式的解集是x|<x<或<x<011(2009·山东)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，若方程f(x)

11、m(m>0)，在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4_.解题导引解决此类抽象函数问题，根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质，画出函数的一部分简图，使抽象问题变得直观、形象，有利于问题的解决8解析因为定义在R上的奇函数，满足f(x4)f(x)，所以f(4x)f(x)因此，函数图象关于直线x2对称且f(0)0，由f(x4)f(x)知f(x8)f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数又因为f(x)在区间0,2上是增函数，所以f(x)在区间2,0上也是增函数，如图所示，那么方程f(x)m(m>0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x

12、1<x2<x3<x4.由对称性知x1x212，x3x44，所以x1x2x3x41248.12(2011·汕头模拟)已知f(x)是定义在6,6上的奇函数，且f(x)在0,3上是x的一次式，在3,6上是x的二次式，且当3x6时，f(x)f(5)3，f(6)2，求f(x)的表达式解由题意，当3x6时，设f(x)a(x5)23，f(6)2，2a(65)23.a1.f(x)(x5)23(3x6)(3分)f(3)(35)231.又f(x)为奇函数，f(0)0.一次函数图象过(0,0)，(3，1)两点f(x)x(0x3)(6分)当3x0时，x0,3，f(x)(x)x.又f(x)f

13、(x)，f(x)x.f(x)x(3x3)(9分)当6x3时，3x6，f(x)(x5)23(x5)23.又f(x)f(x)，f(x)(x5)23.f(x)13如果函数ya2x2ax1(a>0且a1)在区间1,1上的最大值是14，求a的值解题导引1.指数函数yax(a>0且a1)的图象与性质与a的取值有关，要特别注意区分a>1与0<a<1来研究2指数函数与二次函数复合而成的初等函数的性质可通过换元的方法转化为指数函数或二次函数的性质解设tax，则yf(t)t22t1(t1)22.(1)当a>1时，ta1，a，ymaxa22a114，解得a3，满足 a>1；

14、(2)当0<a<1时，ta，a1，ymax(a1)22a1114，解得a，满足0<a<1.故所求a的值为3或.14已知f(x)(axax)(a>0且a1)(1)判断f(x)的奇偶性；(2)讨论f(x)的单调性；(3)当x1,1时f(x)b恒成立，求b的取值范围【答题模板】解(1)函数定义域为R，关于原点对称又因为f(x)(axax)f(x)，所以f(x)为奇函数3分(2)当a>1时，a21>0，yax为增函数，yax为减函数，从而yaxax为增函数，所以f(x)为增函数5分当0<a<1时，a21<0，yax为减函数，yax为增函数，从

15、而yaxax为减函数，所以f(x)为增函数故当a>0，且a1时，f(x)在定义域内单调递增7分(3)由(2)知f(x)在R上是增函数，在区间1,1上为增函数，f(1)f(x)f(1)，f(x)minf(1)(a1a)·1.10分要使f(x)b在1,1上恒成立，则只需b1，故b的取值范围是(，112分【突破思维障碍】本例第(2)(3)问是难点，讨论f(x)的单调性对参数a如何分类，分类的标准和依据是思维障碍之一15已知函数y()|x1|.(1)作出函数的图象(简图)；(2)由图象指出其单调区间；(3)由图象指出当x取什么值时有最值，并求出最值解题导引在作函数图象时，首先要研究函数

16、与某一基本函数的关系，然后通过平移、对称或伸缩来完成解(1)方法一由函数解析式可得y()|x1|其图象由两部分组成：一部分是：y()x(x0)y()x1(x1)；另一部分是：y3x(x<0)y3x1(x<1)如图所示方法二由y()|x|可知函数是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y()x的图象，保留x0的部分，当x<0时，其图象是将y()x(x0)图象关于y轴对折，从而得出y()|x|的图象将y()|x|向左移动1个单位，即可得y()|x1|的图象，如图所示(2)由图象知函数在(，1上是增函数，在1，)上是减函数(3)由图象知当x1时，有最大值1，无最小值162011

17、83;衡阳模拟)已知定义域为R的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范围解(1)f(x)是定义域为R的奇函数，f(0)0，即0，解得b1，(2分)从而有f(x).又由f(1)f(1)知，解得a2.经检验a2适合题意，所求a、b的值分别为2、1.(4分)(2)由(1)知f(x).由上式易知f(x)在(，)上为减函数(6分)又因f(x)是奇函数，从而不等式f(t22t)<f(2t2k)f(2t2k)(8分)因为f(x)是减函数，由上式推得t22t>2t2k.即对一切tR有3t22tk>0.从而判别式412k<0，解得k<.(12分) 17(2010·北京丰台区期末)已知函数f(x)3x，f(a2)18，g(x)·3ax4x的定义域为0,1(1)求a的值(2)若函数g(x)在区间0,1上是单调递减函数，求实数的取值范围解方法一(1)由已知得3a2183a2alog32.(4分)(2)此时