选修1-1第三章-导数及其应用导学案

1、沈丘三高高二数学导学案编写人：楚志勇审稿人：高二数学组§ 变化率问题【使用课时】：1课时【学习目标】：1.感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的 过程.体会数学的博大精深以及学习数学的意义；2.理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导致的数学模型提供丰富的背景.【学习重点儿 平均变化率的概念、函裁在某点处附近的平均变化率.【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程儿一、课前准备（预习教材月2月4,找出疑惑之处）问题1气球膨胀率我们都吹过气,球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径 增加越来越慢.从数学角度,如

2、何描述这种现象呢气球的体积V （单位：L）与半径r （单位："?）之间的函数关系是V（r） = 1加I如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）=在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L时，气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀率为当空气容量从%增加到七时，气球的平均膨胀率为问题2高台跳水，力在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度力（单位：m）与起趺后的时间 Tt （单位：s）存在函数关系万（亡）=+10.如何用运动员在某些时间段内的平 均速度v粗喀地描述其运动状态I在0.5这段时间里，v=I在1 W f « 2这段时间里，v =-;问题3平

3、均变化率 已知函数/'W，则变化率可用式子，此式称之为函数/'（x）从X到r .习惯上用Av表示/一 X1，即&=，可把Ax,看做是相对于占的一个“增量"，可用匹+加代替/，类似有&'*）=于 是,平均变化率可以表示为提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容沈丘三高高二数学导学案编写人：周方审稿人：高二数学组§导数的概念【使用课时】：1课时【学习目标】：1 ,掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义：2.会运用瞬时速度的定义，求物体在某一时刻的瞬时速度.【学习重点】：导数概念的形成，导数内涵的理

4、解【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程儿一、课前准备(预习教材月J月6,找出疑惑之处)复习1:气球的体积V与半径厂之间的关系是“丫)=：匹，求当空气容量V从0增加到1时，气球 的平均膨胀率.复习2:高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度人与起跳后的时间的关系为： /?(r) = -4.9r2+6.5r + 10.求在1±K2这段时间里，运动员的平均速度.二、新课导学学习探究探究任务一：瞬时速度问题1：我们把物体在某一时刻的速度称为,一般地，若物体的运动规律为S =/(f),则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到f +AT.这段时间内，当 时平均速度的极限，口 1- X即

5、 u = lim =a1。A/?(r) = -4.9r2 +6.5/ + 10rvO时，在2 +Ar,2这段时间内4>0时，在2,2 +Af这段时间内探究任务二：导数Ay问题2:瞬时速度是平均速度当Ar趋近于0时的Ar得导数的定义：函数)，=/(幻在尤=X。处的瞬时变化率是lim /- Z)一 )=lim 乂 ,我们称 J0ai)Atai>Av它为函数)，=f(x)在x = x。处的导数，记作广(%)或V'lj.即/。+ “)7(” *小注意：(1)函数应在点X。的附近有定义，否则导致不存在.(2)在定义导数的极限式中，Av趋近于0可正、可负、但不为0,而)，可以为0.(3

6、)包是函数)，=/(幻对自变量x在Ar范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线 Axy = /(x)上点(XoJ(Xo)及点(X。+ Aa/Qo+小)的割线斜率.(4)导数/(%) = lim是函数y = /(x)在点儿的处瞬时变化率，它反映上Av的函数)，=/(X)在点X。处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导致就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数 就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第xh 时，原油的温度(单位：°c)为/(x) = x2-7x + 15(0Wx&8),计

7、算第2h和第6h时，原油温度的 瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减：它的绝对值反映函数值变化的快慢. 例2 已知质点"按规律s=2f+3做直线运动(位移单位：cm,时间单位：s),(1)当t=2, "时，求. /(2)当t=2, "时，求.求质点附在t=2时的瞬时速度 小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量Aymo+Ar) -/(%):第二步：求平均变化率一=；Av Av第三步：取极限得导数/(而)=lim'.沈丘三高高二数学导学案编写人：楚士东审稿人：高二数学组§导数的几何意义【使用课时

8、】：1课时【学习目标】：通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数 的概念并会运用概念求导数.【学习重点】：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义.【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程儿一、课前准备（预习教材凡分，找出疑惑之处）1 .曲线的切线及切线的斜率（1）如图，当2®）（九= 1,2,3,4）沿着曲线/（X）趋近于点P（x° J（x。）时，即。0时,割线尸2 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线尸丁称 为.（2）割线PPn的斜率是勺="*） /（"）,当点匕沿着曲线无限接近点P时， 五7。rkn无限趋

9、近于切线PT的斜率k,即k =2 .导数的几何意义函数y = /（外在工=几处的导数等于在该点（工0，/（4）处的切线的斜率， 即广（X。）=.二、新课导学学习探究探究任务：导数的几何意义1 .曲线的切线及切线的斜率图(1)如图，当匕(x“ ,/(xn )(/7 = 1,2,3,4)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0,/(%)时，割线PP的变 化趋势是什么(2)如何定义曲线在点P处的切线割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率有什么关系切线尸丁的斜率攵为多少说明：当At f0时，割线P0的斜率，称为曲线在点尸处的切线,的斜率.这个概念：提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；切线斜率的本质一函数在x

10、 = /处的导数.(2)曲线在某点处的切线：1)与该点的位置有关；2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存 在，则在此点处无切线；3)曲线切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多.2 .导数的几何意义(1)函数y = /(x)在x = x0处的导数的几何意义是什么(2)将上述意义用数学式表达出来,(3)根据导数的几何意义如何求曲线在某点处的切线方程3 .导函数(1)由函数y = /(x)在x = x。处求导数的过程可以看到，当x = x。时，/'(%)是一个确定的数，那 么，当x变化时，r(x)便是x的一个函数，我们

11、叫它为了(1)的导函数.注：在不致发生混淆时，导函数也简称导致.(2)函数/3)在点处的导数/'(%)、导函数/'(外、导数之间的区别与联系是什么区别：联系：典型例题例1如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数/】“)= Y.9/+6.5/+ 10的图象,根据图象，请 描述、比较曲线J(f)在外,乙占附近的变化情况.例2如图，它表示人体血管中药物浓度c = /(f)(单位：琢/比)随时间，(单位:加用)变化的函数图 象.根据图象，估计,，时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到当堂检测1 .求双曲线,，=在点d.2）处的切线的斜率，并写出切线方程. x 22 .求），= /在点

12、x = l处的导数.X知识拓展导数的物理意义：如果把函数y = /（x）看做是物体的运动方程（也叫做位移公式，自变量X表示时间），那么导数/（%）表示运动物体在时刻起,的速度，即在勺的瞬时速度.即“小）=如/而运动物体的速度必）对时间f的导数，即/Q）=limS称为物体运动时的瞬时加速度. XT），学习小结函数），=/（X）在几处的导数的几何意义是曲线），=/（X）在P（X（）处切线的斜率.即右）= lim " ' +"）一"）,其切线方程为 Ax三、课后练习与提高1 .已知曲线 = 2/上一点，则点42,8）处的切线斜率为（）A. 4 B. 16 C.

13、8 D. 23 . /（X）在 x = x° 可导，则 lim &+川一（）力tohA.与与、/?都有关B.仅与与有关而与/?无关C.仅与/?有关而与儿无关D.与丁、力都无关4 .若函数/（X）在/处的导数存在，则它所对应的曲线在点（%,/（%）的切线方程为5 .已知函数），="对在x = %处的导数为11,则/（x0-Ar）-/（x0）- uni-ar Ax沈丘三高高二数学导学案编写人：楚志勇审稿人：高二数学组§几个常用函数导数【使用课时】：1课时【学习目标】：1,握四个公式，理解公式的证明过程：2.学会利用公式，求一些函数的导致；3理解变化率的概念，解

14、决一些物理上的简单问题【学习重点】：四种常见函数y = c、y = x,y = L的导数公式及应用 x【学习方法儿分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备(预习教材月：自2,找出疑惑之处)复习1：导数的几何意义是：曲线y = /(x)上点(x0,/(%)处的切线的斜率.因此，如果y = /(x)在点可导，则曲线y = /(x)在点(与，/(工0)处的切线方程为复习2：求函数y = /(x)的导数的一般方法：(1)求函数的改变量Ay =(2)求平均变化率包=Av (3)取极限.得导数y= r(x = lim =*一。Ax二、新课导学学习探究探究任务一：1 .利用导数定义求函数)，=/(

15、工)=。的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.2 .利用导数定义求函数y = /(x) = x的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.3 .利用导数定义求函数y = /(x) = V的导数，并试从几何角度和物理角度解释导数的意义.4 .利用导数定义求函数)，= /(x) = l的导数.x5 .利用导数定义求函数)，= «的导致.6 .你能从一般角度推广函数y = f（x） = xn（n e Q*）的导数吗探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数 =2%），= 3工），=4%的图象，并根据导数定义, 求它们的导数.（1）从图象上看，它们的导致分别表示什么（2）这三

16、个函数中，哪一个增加得最快哪一个增加得最慢（3）函数y =履/=0）增（减）的快慢与什么有关典型例题例 画出函数） =1的图象,根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（1,1）处的切线方程 x变式1:求出曲线在点（1,2）处的切线方程.变式2:求过曲线上点（1,1）且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.当堂检测练1.求曲线），=2/-1的斜率等于4的切线方程.练2.求函数y = f （x） = /x的导数学习小结1 . 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步 骤:, , .2 .利用导数求切线方程时，一定要判

17、断所给点是否为切点,一定要记住它们的求法是不同的.沈丘三高高二数学导学案编写人：周方 审稿人：高二数学组§基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【使用课时】：1课时【学习目标】：1 .熟练掌握基本初等函数的导数公式：2 .掌握导数的四则运算法则：3 .能利用给出的基本初等函数的导数公式租导数的四则运算法则求简单函数的导数 【学习重点】：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程儿一、课前准备（预习教材月3 %,找出疑惑之处）1 .基本初等函数的导数公式表函数导数V = Cy = /(x) = x"(t。)y = sin xy

18、= cosxy = fW =Ly = fW = exfM = logfl X/(x) = lnx2 .导致的运算法则导数运算法则1. /（A-）±（A）=2. fM-gM=3. 罔=Ln、）（2）推论：©*） =（常数与函数的积的导数，等于：）二、新课导学学习探究（完成课前准备）典型例题例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,物价（单位：元）与时间/ （单位：年）有如下函数关系 （。=0（1 + 5%），其中为，=0时的物价,假定某种商品的Pu=l,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）分析：商品的价格上涨的速度就是：变式训练1：如果上

19、式中某种商品的p0=5,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大 约是多少（精确到）例2日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净心到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为c（x）= 5284 （80<x<100）100-x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%（2） 98%分析：净化费用的瞬时变化率就是：比较上述运算结果，你有什么发现当堂检测1求下列函数的导数(2) y = 2ex(1) y = log2 x(3) y = 2x3-3x2-4(4) y = 3cosx-4sinx(2)Inx'=一x

20、2求下列函数的导数(1) y = xnx学习小结1 .由常数函数、取函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与 导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2 .对于函数束导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则,求导时，不但要重视求导法则的应用， 而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必 要的运算失误.派知识拓展1 复合函数的导数：设函数 = g(x)在点X处有导数；=g'(x),函数*在点*的对应点" 处有导数乂 =/(“),则复合函数y = f(g(*)在点X处也有导数,且)，=y;“

21、'x2.复合函数求导的基本步骤是：分解一求导一相乘一回代.三、课后练习与提高1 .函数)、= x +，的导数是()XA. 1-LB. 1-1C. 1 + -LD. 1 + 1厂X厂X2 .函数y = sinx(cosx + l)的导数是()A. cos2x-cosxB. cos2x + sinxC. cos2x + cosxD. cos2 a: + cosx3 . y = S2的导数是()XasinxD .八xsinx + cosxnxcosx + cosxA.-B. -sinxC. ； D.；X厂厂4 .已知函数/")在x = l处的导数为3,则/(X)的解析式可能为：A

22、于(x) = 2(x-l)B f(x) = 2(x -I)2C /(x) = (1)2+3(1) D f(x) = x-l5 .函数y = ax2 +1的图像与直线y = x相切，则。=A -B -C LD 18426 .设函数y = x"T( e N.)在点(1,1)处的切线与x轴的交点横坐标为”，则天勺.乙二A -B !C D 1nn+n+7 ,曲线y = x/+2x + l在点、(0,1)处的切线方程为8 .函数f(x) = 13-8x + &?,且,广(%) = 4,则与= 9 .曲线)，=色竺在点M(,0)处的切线方程为 x10 .在平面直角坐标系中，点P在曲线y

23、= d 10x + 3上，且在第二象限内，已知曲线在点P处的 切线的斜率为2,则P点的坐标为11 .已知函数/(幻=丁+"2+如+ ”的图像过点P (0,2),且在点处的切线方程为 6x-y + 7 = 0,求函数的解析式.12 .已知函数y = xlnx.(1)求这个函数的导致; (2)求这个函数在点x = l处的切线方程.沈丘三高高二数学导学案编写人：楚士东 审稿人：高二数学组§函数的单调性与导数【使用课时】：1课时【学习目标】：1 .正确理解利用导数判断函数的单调性的原理：2 .掌握利用导数判断函数单调性的方法.【学习重点先利用导致符号判断一个函数在其定义区间内的单调

24、性.【学习方法比 分组讨论学习法、探究式.【学习过程】：一、课前准备(预习教材岛83,找出疑惑之处)复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数外, X0,且当为VX2时，都有=,那么函数Hx)就是区间I上的 函复习 2： C'=; (Z)* =: (sinx)* =: (cosx)*=; (lnx)，=(logu x =; (ex)' =; («) =:二、新课导学学习探究探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线y = f(x)的切线的斜率就是函数y = f (x)的导数.从函数y = x2 -4x + 3的 图像来观察其关系

25、：y=f(x)=x- 4/3切线的斜率f(X)(2, +8)(一8, 2)在区间(2, +Q0)内，切线的斜率为函 数)= f(x)的值随着x的增大而 二，即y'>0时，函数y = /(x)在区间(2, +8)内为 函数；在区间(一8, 2)内，切线的斜率为,函数> = /(%)的值随着x的增大 而,即)/<0时，函数y= f(x)在区间(一8, 2)内为 函数.新知：一般地，设函数)，= /3)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y'>0, 那么函数y = /(x)在这个区间内的增函数：如果在这个区间内y'<0,那么函 数y = / (%

26、)在这个区间内的减函数.试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：(1) /(a) = x5+3x; (2)=(3) /(x) = sinx-x5x(0) ; (4) f(x) = 2f+3/- 24x + l .反思：用导数求函数单调区间的三个步骤:求函数(x)的导致/(x).令尸(x)>0解不等式，得x的范围就是递增区间.令f(x)<0解不等式，得x的范围就是递减区间.探究任务二：如果在某个区间内恒有ra)=o,那么函数f(x)有什么特性典型例题例1已知导函数的下列信息：当 lvxv4 时,fx) > 0 ：当 x>4,或jvv 1 时，f'(x)<

27、;0;当x = 4,或x = l时，r(x) = O ,试画出函数图象的大致形状.变式：函数v=/(x)的图象如图所示，试画出导函数r(x)图象的大致形状.例2如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请 分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.当堂检测,求证:函数f(x) = 2父一 6/ + 7在(0.2)内是减函数.学习小结用导数求函数单调区间的步骤：求函数Hx)的定义域：求函数尸(X)的导数，*).令/*)=0,求出全部驻点：驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内r。)的符号，由此确定了。)的单调区间 注意：列表时，要注意将定义

28、域的断点”要单独作为一列考虑.沈丘三高高二数学导学案编写人：楚志勇审稿人：高二数学组§函数的极值与导数 【使用课时】：1课时 【学习目标】：1 .理解极大值、极小值的概念：2 .能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值：3 .掌握求可导函数的极值的步嘛.【学习重点儿利用导数求函数的极值 【学习方法】：分组讨论学习法、探究式. 【学习过程】： 一、课前准备(预习教材83自6,找出疑惑之处)复习1:设函数y寸6X)在某个区间内有导数，如果在这个区间内y'>0,那么函数在这个 区间内为 函数；如果在这个区间内y'<0,那么函数y=f(x)在为这个区间内的

29、函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤:求函数r(x)的导数.广。).令解不等式,得*的范围就是递增区间.令 解不等式，得*的范围，就是递减区间.二、新课导学 学习探究 探究任务一： 问题1:如下图，函数y = /(a)在等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 y = /(x)在这些点的导数值是多少在这些点附近，y = /(x)的导数的符号有什么规律看出，函数y = f(x)在点x = a的函数值/(")比它在点x = a附近其它点的函数值都,() =_:且在点入=«附近的左侧/(X)_0,右侧。) 0.类似地，函数y = /(X)在点x = 的函数值/()比它在点刀

30、=附近其它点的函数值都,而且在点工=附近的左侧 f(x)0,右侧/(刈 0.新知：我们把点a叫做函数y= f(x)的极小值点，f (a)叫做函数y = .f(x)的极小值：点。叫做函数y = f(x) 的极大值点，/S)叫做函数)，= /")的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的, 刻画的是函数的. 试试：(1)函数的极值 (填是，不是)唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.函数的极值点一定出现在区间的(内，外)部，区间的端点(能，不能)成为极值点.反思：极值点与导数为。的点的关系-导数为0的点是否一定是极值点.

31、 比如：函数f(x) = d在户0处的导数为,但它 (是或不是)极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.典型例题例1求函数y = 4x + 4的极值.3变式1:已知函数/(x) = +cx在点处取得极大值5,其导函数y = 7'")的图象经过点 (1,0), (2,0),如图所示，求 儿的值(2)a, b, c的值.小结：求可导函数六分的极值的步骤：(1)确定函数的定义域：(2)求导致f (x)：求方程/(x)=0的根.(4)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f (*) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么Hx)在这个根处取得

32、极大值；如果左负右正，那 么Hx)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么Ax)在这个根处无极值.变式2:已知函数/-3/-9x + ll.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值：(3)画出它的大致图象.沈丘三高高二数学导学案编写人：周方审稿人：高二数学组§函数的最大（小）值与导数【使用课时】：1课时【学习目标儿1 .理解函数的最大值和最小值的概念：2 .掌握用导数求函数最值的方法和步骤.【学习重点】：利用导数求函数的最大值和最小值的方法.【学习方法】：分组讨论学习法、探究式.【学习过程】:一、课前准备（预习教材片丁88,找出疑惑之处）复习1

33、：若X。满足/（凡）=0,且在孔的两侧/（X）的导数异号，则X。是/（X）的极值点，/（X。） 是极值，并且如果/'（X）在X。两侧满足“左正右负”，则/是/W 的 点，/（%）是极值:如果广（X）在与两侧满足“左负右正”，则凡是f（x）的 点，/（/）是极 值.复习2：已知函数/*） = /+版2+（4=0）在入=±1时取得极值，且/=一1,（1）试求常数K 6、c的值；（2）试判断X = ±l时函数有极大值还是极小值，并说明理由. 二、新课导学 学习探究探究任务一：函数的最大（小）值问题：现察在闭区间,力上的函数/（X）的图象，你能找出它的极大（小）值吗最大值，

34、最小值呢在图2中，在闭区间上的极大值是,极小值是：最大值是,最小值是.新知：一般地，在闭区间,力上连续的函数/（X）在,力上必有最大值与最小值.最大值为, 最小值为.反思：1 .函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的.2 .函数/(X)在闭区间卜力上连续，是/(X)在闭区间a,“上有最大值与最小值的 条件3 .函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没 有.典型例题例1求函数f(x) = gx3 -4x + 4在0, 3上的最大值与最小值小结：求最值的步骤(1)求.f(x)的极值：(2)比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.Y + ax + b例2已知/(x) = log3 , xc(o,+8).是否存在实数以b,使f(x)同时满足下列两个X条件：(1) /(x)在(0,1)上是减函数，在L+OO)上是增函数：(2) /(X)的最小值是1;若存在，求出。、/?,若不存在，说明理由.变式：设二函数/(入)="3一2/+在区间一1.1上的最大值为1,最小值为一出，求函 322数的解析式.小结：本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆