原理突破型的发明较多,50年代以后,技术组合型的发明

1、1 廿世纪廿世纪5050年代前后，发明创造的性质和年代前后，发明创造的性质和方式发生了较大的变化。方式发生了较大的变化。5050年代以前，原理年代以前，原理突破型的发明较多，突破型的发明较多，5050年代以后，技术组合年代以后，技术组合型的发明比例明显增加，现代技术开发中，后型的发明比例明显增加，现代技术开发中，后者已经占到近者已经占到近70%.70%.例如，彩电的发明，涉及例如，彩电的发明，涉及200200多种材料、技术和工艺，没有一样是当时多种材料、技术和工艺，没有一样是当时现开发的。就是说，彩电完全是当时已有发明现开发的。就是说，彩电完全是当时已有发明的组合。的组合。 所以说，组合是一种

2、重要的发明创造技法。所以说，组合是一种重要的发明创造技法。2 )()()()( )()()()(xuduufCxFdxxxfxuCuFduuf 可可导导，则则，设设)cos(31sin311Cuudu把把3x当作当作u,“d”后后面凑成面凑成u1 1. .基本公式（基本公式（P237P237定理定理1 1）2 2. .凑微分凑微分调整系数调整系数xdx3sin例例：求求( )Cxxxdxdx3cos3133sin313sin解：解：补补充充例例题题：()()CaaxdadxaCexdedxexxxxxxln21221,41441222444 xxdCxdxx33sin3cos33sin3Cba

3、xabaxdbaxadxbax655)(61)()(1)(调整系数时，只管调整系数时，只管a不管不管b. d(b)=0()CxxdxdxxCxxdxdxx)12tan(21)12()12(sec21)12(sec)23cos(3123)23sin(31)23sin(22补充例题补充例题()()CxxCxxxdxxdxdxxxdxx11ln211ln1ln21111111211111211124xdxCexdedxedxxexxxx2322322323222261 )23(312121例例：说明：说明：a ）凑，是一种逆向思维活动，一般构成教学上的难点，凑，是一种逆向思维活动，一般构成教学上的难

4、点，解决方法是使思维活动程序化。解决方法是使思维活动程序化。b ）看被积函数由哪几个因式组成。看被积函数由哪几个因式组成。c ）把容易积分的因式先积分，积分结果放在微分号把容易积分的因式先积分，积分结果放在微分号“d” ”的后面。如果有常数，则直接放在积分号前面。的后面。如果有常数，则直接放在积分号前面。d ）把把“d ” ”后面的表达式作为后面的表达式作为u, ,看能否积分。看能否积分。e ）继续使用其它积分方法。继续使用其它积分方法。Cedxedxexxxx22221212例例：5()Cx23243221Cx ln32ln31dxxx24求求补充例补充例1 1：22421dxx)4(421

5、22xdx dxxx24解：解： )tan1(cos2xxdxdxxx )tan1(1cos12xxdtan1)(tan xxdtan1)tan1( )tan1(cos2xxdx求求补充例补充例2 2：)ln32(xxdxdxxxln3211xxdln32)(lnxxdln32)ln32(31补充例补充例3 3)ln32(xxdx求：求：解：解：解：解：Cx tan1ln6Cxxxdxxdxxxdxtantan31)(tan)1(tansecsecsec32224Cxxxdxxdxxdxxxdxcoscos31)(cos)1(cos)(cos)cos1(sinsinsin32223补充例补充例

6、4 4：.sec4xdx求求解：解：补充例补充例5 5：.sin3xdx求求解：解：凡是凡是sinx、cosx的奇次幂，都可以采用这种的奇次幂，都可以采用这种分出分出一一次次因式、将剩余部分用平方关系变形的方法。因式、将剩余部分用平方关系变形的方法。)(tan)tan1tansecsectansectansecsectan12222222xdxxxdxxxxdxxxxdxxnmnmnmnm（凑凑微微分分。则则可可以以先先分分出出类类似似的的： 7Caxaxaxdaxadxxadxarcsin112222补充例补充例6 6：）（0arcsin22aCaxxadx证明证明证：证：()() ()0

7、1abaxdbaxfadxbaxf()() ()0 21222abaxdbaxfaxdxbaxf()() ()0 11abaxdbaxfadxxbaxf 11112xdxfdxxxf()() () lnln1lnxdxfdxxxf8()() ()0 1 xxxxedefdxeef()() () sinsincossinxdxfxdxxf()() () coscossincosxdxfxdxxf()()() () tantancos1tansectan22xdxfdxxxfxdxxf()()() () cotcotsin1cotcsccot22xdxfdxxxfxdxxf()() () secs

8、ectansecsecxdxfxdxxxf()() () arcsinarcsin11arcsin2xdxfdxxxf()() () arctanarctan11arctan2xdxfdxxxf9练习：练习： ( )( )( )( )( )( )dxedtttdxxxdxxxxdxxxdxxx116cos51413662312311123232()Cxxdx312313131131()Cxxdx1311131333()()Cxxxxdxx136ln1361361222()()11111111222222xdxxxdxxCttdtsin2cos2()1111111xxxxxxxedexdxeed

9、xeee10 xdxtan求求例例5解解 xdxtan dxxxcossin xdxcoscos1Cx coslndxxa221求求例例6解解dxxa221 )(1112axdaxaCaxaarctan1dxaxch求求例例7解解dxaxchaxdaxchaCaxashdxaxa22111课本例题：课本例题：Cxxdxsinlncot11dxax221求求例例9解解dxax221 dxaxax)(1dxaxaxa1121()Caxaxalnln21)11(21dxaxdxaxa 例例8解解)0(122 adxxa求求dxxa221dxaxa2111Cax arcsinaxdax 211Caxa

10、xaln2112dxxex3求求例例10解解dxxex3xdex32Cex332xdex3323xdxx52cossin求求例例11解解xdxx52cossinxdxxxcoscossin42()xdxxsinsin1sin222()xdxxxsinsinsin21sin422()xdxxxsinsinsin2sin642Cxxx753sin71sin52sin3113解解例例12xdx2cos求求xdx2cosdxx22cos1()xdxdx2cos21xxddx22cos2121Cxx2sin2121解解例例13xdx4cos求求Cxxx4sin41212sin2341xdx4cosdxx

11、222cos1()dxxx2cos2cos21412dxxx24cos12cos2141dxxx24cos2cos22341Cxxx4sin3212sin4183Cxx2sin4121: 被积函数是正弦或余弦的偶次幂被积函数是正弦或余弦的偶次幂, 用余弦半角公式用余弦半角公式降幂降幂. 14解解例例14 xdxcsc求求 xdxcsc dxxsin1 dxxx2cos2sin21 22cos2tan12xdxx 2tan2tan1xdxCx 2tanln2tanxxxsincos1 xxcotcsc 22cos2sin2cos2xdxxx 22cos2sin2cos2sin22xdxxxx 2

12、)2cot2(tanxdxx Cxx2sinln2coslnxdxcscCxxcotcscln15解解例例15.secxdx求求xdxsecdxxcos1dxx2sin1 )2(2csc xdxCxx2cot2cscln Cxxtansecln解解例例16.sec6xdx求求xdx6sec()xdxx222secsec()xdxtantan122Cxxx53tan51tan32tan()xdxxtantantan214216例例17解解 xdxx35sectan求求 xdxx35sectan xdxxxxsectansectan24( () ) xxdxsecsec1sec222( () )

13、xdxxxsecsecsec2sec246Cxxx 357sec31sec52sec71 xdxx2cos3cos求求例例18解解 xdxx2cos3cos dxxx)5cos(cos21Cxx 5sin101sin2117( )( )( )()( )()()dxxxdxxxdxxxxxxdxxxdxdxxxdxxcostan13cos2sin112sin2cos5sin3cos711sectan10tan9cos32sin8sin1172221034练习：练习： ()xdxxdxdxxxcoscos1secsin1sin1222()()2224cos3coscos3cossin2xxddxx

14、xx()()xdxxxddxxxxtantantantan1tantan2() ()dxxxxxxxsin2cos5sin2cos5sin5cos2()()xdxdxxxtan2tan12tancos1222()xdxdxxxxcoscoscoscossin2318( )( )() . 1dxefeCxFdxxfxx，则，则若若()()( ) 01. 22xfxxxf，则则若若( )( ) 1. 32dxxfxf().2. 410 xxdx求求()().lnln. 5dxxfxxf求求( )( ).,arcsin. 6xfdxCxdxxxf求求设设19)1(1211222xdxdxxx ?12

15、 dxx?122 dxxx( )( )( )( )dtttftxdxxf ( ( ) )( ( ) )并并设设且且是是单单调调的的、可可导导的的，并并设设, 0 ttx 定理定理2 )( )(ttf 具有原函数，则具有原函数，则?1 dxxx?1dxxx20例例19dxxa22解解22xa taa222sintacos则则设设,22sin ttax()0 22adxxa求求tdtatacoscostdta22cosCttatacossin2222tax22xa Caxaaxaaxa22222arcsin2Cxaxaxa22221arcsin2tdtadxcos axt sinaxtarcsin

16、xxat22cosCtata2sin422221例例20解解( () ) 0 22aaxdx求求 22axdx22ax 222tanata tasec 则则设设,22tan ttax secsec2dttata sectdt1tanseclnCtt122lnCaxaaxCaxx)ln(22122lnlnCaxaxtdtadx2sec tax22ax axt tanaaxt22sec 22例例21解解()0 22aaxdx求求22ax 222secata tatan ( )则则时时，设设,20sec ttaxaxi 22axdx tantansectatdttatdtsec()1tansecln

17、Ctttax22ax 122lnCaaxax()Caxx22lntdttadxtansec axt secaaxt22tan 23( )则则时，设时，设,uxaxii 22axdx()122lnCauu22audu()122lnCaxx1222lnCaaxx()Caxx22lnCaxxaxdx2222ln ( )( )得：得：由由iii1221lnCaxx2222, 0axxaxxax 24被积函数被积函数 三角代换三角代换 含含22xa taxsin22ax taxtan22ax taxsec()22xa ()22ax ()22ax 如求如求 )0()(222aaxdx解解令令,tantax

18、 则则tdtadx2sectdtaataaxdx22222222sec)tan(1)(dttata442secsectdta23cos125 dtta)2cos1(213Ctta )2sin21(213Cttta )cossin(213tax22ax axt tanaxtarctan Caxaxaxa )(arcsin2122322sinaxxt 22cosaxat 26?dxxx1解解令令, tx 1得得,tx21,tdtdx2dttttdxxx)2()1(12 dttt)(224Ctt 353252Cxx 2325)1(32)1(52问题：问题：27例例22 dxxx31求求解解令令, t

19、x 6则则,tx6.dttdx56dxxx31dtttt52361dttt163dttt11163tdttt 11162Ctttt )1ln(663223Cxxxx )1ln(663266328倒代换倒代换消去分母中的变量因子消去分母中的变量因子例例23解解dxxxa422求求dxxxa422dtttta2422111，令令tx1()dttta2122100tx时时，dxxxa422()()11212221222tadtaa()Cata2232231()Cxaxa3223223xdttdx21则则()tdtta21221Caxa 22322312900tx时时，dxxxa422() ()11212221222tadtaa()Cata2232231()Cxaxa3223223dxxxa422()Cxaxa3223223()tdtta21221Caxa 2232231301三角代换三角代换或或含含22xa tsinax 令令或或含含22ax taxtan令令或或含含22ax tsecax令令()22xa ()22ax ()22ax 2nbax 含含令令tbaxn去根号去根号的的最最小小公公倍倍数数）（令令、含含m,kxtx,x,xkm3243tbaxdcxbaxdcxnn 令令、含含 ,3第二类换元积分法常用代换：第二类换元积分法常用代换：