全国高中数学联赛湖南预赛试题及答案A卷

1、2015 年湖南省高中数学竞赛(A 卷)(2015-06-27 )、选择题(每个 5 分，共 6 题) 1将选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去年 1 个最低分，7 个剩余分数的平均分为 91,现场无法辨认，在图中以 x 表示，则 7 个剩余分数的方D 口72.半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球，则小球半径 r 可能的最大值是A.一3_R B.6_RC. V R D. 5_RA.- RB.，.2 V33 6RC.-=R1. 3D.-23.已知数列an和bn对任意n*N，都有 anm，当 n时，数列an和bn的极限分别是 A 和 B，贝 UA.A BB.A BC.ABD

2、.A 和 B 的大小关系不确定4.对所有满足1 n m 5的 m,n,极坐标方程n表示的不同双曲线条数为1 CmcosA. 6 B. 9 C. 12 D. 155.使关于 x 的不等式 TP厂 X k 有解的实数 k 的最大值是A. 63 B. 3 C. 63 D. 6226.设 M | x y ,x,y Z，则对任意的整数 n,形如 4n,4n +1,4n+2,4n+3 的数中，不是 M 中的元素的数为A. 4nB. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3二、填空题(每个 8 分，共 6 题)7. 已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，则该三角形的周长为：_8.对任一实数序列

3、 A (1,2,3,.)，定义 A 为序列(21,32,43,.)，它的第门项是n1 n，假定序列( A)的所有项都是 1，且19920，贝卩1的值为：_11n丄 -i为纯虚数的最小正整数22.3做的 9 个分数的茎叶图有一个数据模糊,差为11636A.B.C. 36979.满足使 In=_10.将 1， 2，3，.，9 这 9 个数字填在如图所示的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每 列从上到下分别依次增大，当 3, 4 固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：的内切圆半径为 r,求证：R (2, 2) r.11.记集合TO,1,2,3,4,5，M 7 I r 74|aiT，j 1,2,3

4、,4，将M中的元素按从大到小顺序排列，则第 2015 年数是： _12. 设直线系 M :xcos (y 2)sin1(02 ),对于下列四个命题：1M 中所有直线均经过一个定点2存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上3对于任意整数 n(n 3)存在正 n 边形，其所有边均在M 中的直线上4M 中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是：(写出所有真命题的代号)三、解答题(共 4 题，满分 72 分)13.(本小题满分 16 分)如图所示，AB 为 RtAABC 的斜边，I 为其内心，若 IAB 的外接圆的半径为 R，Rt ABC14.（本小题满分 16 分）15.（本小题满分 2

5、0 分）1已知整数列an,bn满足 an1an1 ,bn1丄b ,对于正整数 n,定义函数2fn（x） x2anX bn，证明：若存在某个fk（X）有两个整数零点，则必有无穷多个人&）有两线和椭圆上不同于1的公共顶点,P、Q 分别为双曲A、B 的动点，且满足 APuuuBPuuir uiu(AQ BQ)( R,| 1)求证：（I）三点 0、P、Q 在同一直线上;（H）若直线 AP、BP、AQ、BQ 的斜率分别是 灯、k2、k3、k4，贝 V k 什 k2+k3+k4是定值。如图，A, B 为椭圆22y1（ab0） 和双曲线22y个整数零点。16.(本小题满分 20 分)已知a 0，函数

6、 f(x) In x a(x 1),g(x) ex。(I)经过原点分别作曲线 y f (x)和 y g(x)的切线 l1和 l2求证:(n)设 h(x) f (x 1)g(x)，当x 0时,h(x)1 恒成立, 试求实数 a 的聚会范围。已知两切线的斜率互为倒数,2015 年湖南省高中数学竞赛答案（A 卷）11.286240112.13.（卜卜JE徉仆1H 4期图所於KB A RtAABC的斜HM为捷内右BiRtAASC的內切圆半径为下求证訳m.止明建门也屮EABR土-时+gi_ A/2Jft Ht色冷忙中丫说14.童嘛（I ）03为O SrffAifiSCl A?4丽空泗.SflTQ兰咖丈尿

7、*”卢-1（不2 *曲75P =就葩、皑6卩卫:点处找 .(R说八D.八0兀-v *WH7-frwb0r?.in小2a?i yi 1 = （ n- Iji,:二命存応”18 fiXiKJtW 和5 了药八F：f那星炜再ILL u fitTILA 4f W局tk*） A （5件|i-. .mi一*.-1*ir寸;乂 5L二疋F，Ij 1 “ “| . muiL i “Ji- * i rw * i,J*亦丹（Q-m U Fg * |存制汁找电CB h4*kY ZL 1 -H 1 11 lir, i i*h7 I V1- JJ 1心 -5 T _l-2 1 1；1trllflfflC f： ，3 w 单 2 5 gp 1呻1也确砍牛HJj（書乩 I l-fl-f f * 串 | |-l| I | F* HM WP |4- r !S | | |I h 1J1由iFPWt枷的征在 珂阳闻龙野UF人iJlTlR牛越尹点.-： .=* E :16.ill*i i r i i In jrVQ|jGti心】LT 三时冋为*lr= t花帀厂却磚UL h i jrJ# *.）.i Ifri * *3 iff.lt *1 r 1机外在5Lh2订 V 取时翕kwx*（机站 鼻【肩tflst d而普IB电.葢上那HI h从豹n的IftFil fiS ft1HJ世切專朴WAW*#!-r-iI严弓Jfffc