双曲线的渐近线和离心率

1、第34练双曲线的渐近线和离心率题型一双曲线的渐近线问题例1 (2013课标全国I )已知双曲线 C: X2-y2= 1(a>0, b>0)的离心率为二5 则C的渐近线a b2方程为()1 1A . y = ±x B. y =C. y= ±x D . y = ±x破题切入点根据双曲线的离心率求出a和b的比例关系，进而求出渐近线.答案 C解析 由 e= C=¥ 知，a = 2k, c=<3k(k R +),b 1由 b2= c2- a2= k2,知 b = k.所以：=即渐近线方程为y= $故选C.题型二双曲线的离心率问题例2已知0为坐标原

2、点，双曲线笃一y2= 1(a>0, b>0)的右焦点为F,以OF为直径作圆与a b双曲线的渐近线交于异于原点的两点A,B,若(A0+ AF) OF = 0，则双曲线的离心率 e为()A. 2 B. 3C. 2 D. .3 破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出 a, b间的关系.答案 C解析如图，设OF的中点为T,由(AO+AF)oF = 0 可知 AT丄OF,c c又A在以OF为直径的圆上， A 2, 2 ,又A在直线y= bx上，a- a = b, - e= ".,2题型三双曲线的渐近线与离心率综合问题例3 已知A(1,2), B(- 1,2)，动点P满足AP丄BP

3、.若双曲线 羊一令=1(a>0, b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值围是 破题切入点先由直接法确定点 P的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率 e的不等式进行求解.答案(1,2)解析 设P(x, y)，由题设条件，得动点 P 的轨迹为(x- 1)(x+ 1) + (y- 2) (y- 2)= 0,即x2+ (y- 2)2= 1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆.x2 y2b又双曲线了 器=1(a>0 , b>0)的渐近线方程为y = 导，即bx±ay= 0,由题意，可得:b2>1，

4、即眷1，c所以e= "<2,a又 e>1，故 1<e<2.总结提高 求解双曲线的离心率的关键是找出双曲线中a, c的关系，a, c关系的建立方法直接反映了试题的难易程度，最后在求得e之后注意e>1的条件，常用到数形结合.(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法由y亠马3 a aF=0?马乞a2b2= 0,所以可以把标准方程p-b2=1(a>0, b>0)中的 “1” 用 “0”替换即可得出渐近线方程双曲线的离心率是描述双曲线 “口”大小的一个数据,C - ae2- 1,当e逐渐增大时，b的值就逐渐增大，双曲线的"口”就逐渐增大

5、.1 已知双曲线|- y2= 1(a>0,b>0)以及双曲线ay2- b2=1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线粤-法1的离心率为(a2 b2A . 2或号 B. .6或乎C 2 或.3 D. .3或 6答案 A解析由题意，可知双曲线a2-b2y = 1的渐近线的倾斜角为30或60 °则b = f或3.A.2 已知双曲线 C: £= 1 （a>0, b>0）的左，右焦点分别为 F1, F2,过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H ,若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为（）A. 2答案B. .3 C. 2 D.解析取双曲线的渐近线b

6、ay = ?x,则过F2与渐近线垂直的直线方程为y= b（x c）,可解得可得的坐标为a2 ab7, -，则F2H的中点Mc ca2+ c2xx2 y2的坐标为 肓,fb，代入双曲线方程了-=1a2+ c2 24a2c2a2b24C2= 1，整理得 c2= 2a2,即可得e= C= . 2，故应选A.a3. （2014模拟）已知双曲线羊y2= 1(a>0,b>0）的两条渐近线均和圆C: x2 + y2 6x+ 5= 0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）x2代5D.x2 y2= 163答案 A解析双曲线名讣1的渐近线方程为y=±x.圆C的标准方程为（

7、x 3）2+ y2= 4,圆心为 C(3,0).又渐近线方程与圆 C相切,即直线bx ay= 0与圆C相切,说=2, 5b2=心又乍-令=1的右焦点 F2（a2 + b2, 0）为圆心 C（3,0）, - a2+ b2= 9 由得a2= 5, b2 = 4.双曲线的标准方程为4已知双曲线 琴一y2= 1(a>0, b>0)的左，右焦点分别为 F1( c,0), F2(c,0)，若双曲线上存在 点P使 旦 = c，则该双曲线的离心率的取值围是()sin/ PF 1F2 sinZ PF2F1A (1, .2+ 1) B (1, .3)C (3 ,)D ( 2+ 1 ,)答案 A解析根据

8、正弦定理得 也 =一,sin Z PF1F2 sinZ PF2F1a c由sinZ PF1F2= sinZ PF2F1,所以 |PF1|= e|PF2|.因为e>1,所以|PF1|>|PF2|,点p在双曲线的右支上.又 |PF1| |PF2|= e|PF2| |PF2|= |PF2|(e 1) =2a,2 a解得 |PF2|=.因为|PF2|>c a（不等式两边不能取等号，否则题中的分式中的分母为0,无意义）,2a2所以 >c a,即 >e 1,e 1e1即（e 1）2<2，解得 e< .2 + 1.又 e>1,所以 e （1,2 + 1）n5

9、（2014 ）已知F1 , F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且ZF1PF2 = 3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）C 3 D. 2答案 A解析 设 |PFi|= ri, |PF2|= r2(ri>r2),|FiF2|= 2c,椭圆长半轴长为ai,双曲线实半轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心率分别为ei, e2,由(2c)2= r2 + r2 212cos 3,得 4c2= r1+ r2 门r2.ri + r2= 2ai,ri = ai + a2,由得ri 2= 2a2,2= ai a2,i i ai + a2 ri 所以 ei+i= -c-= 土4r2r

10、2令 m=R= 22cr2+ r2 rir2十4匚2咚ri ri当：=2时，mmax=彊ri z3所以max=3,即±的最大值为433.ei e236. (2014 )已知a>b>0,椭圆C1的方程为羊+ £22=i,双曲线C2的方程为学-2= i ,Ci 与 C2的离心率之积为3y，则Cz的渐近线方程为（）B. ,2x±y= 0C. x±2y= 0 D . 2x±(= 0 答案 A解析由题意知ei= ；, ez= pCi C2CCei e2= a a又/ a2= b2 + c2,c2= a2 + b2,c2= a2- b2,c1c

11、2 a4- b4b 4孑=厂=1(a), 即 1- (a)4=3,解得，a 2解得bxy= 0, x± 2y= 0.2 21(a>b>0)与双曲线x2 y2= 1的离心率分别为 e1, e2,则e©的取值围为a b答案(0,1)解析可知e2= " b"-1b!a2 亠 a2,2 2 a + b _ e2= 2 = 1 + 刁, aab2所以 e + e2 = 2>2eiei? 0<ei©2<1.2 2 _28 .过双曲线x2匕=1 (a>0 , b>0)的左焦点F作圆x2 + y2= +的切线，切点为

12、E,延长FE交 a b4双曲线的右支于点 P,若E为PF的中点，则双曲线的离心率为答案解析设双曲线的右焦点为 F '，由于E为PF的中点，坐标原点 O为FF'的中点，所以EO /PF '，又EO丄PF，所以PF '丄PF，且|PF ' |= 2 X |= a,故|PF|= 3a,根据勾股定理得|FF ' = ,10a.所以双曲线的离心率为 書=亠典x2 y29 (2014 )设直线x- 3y+ m= 0(m 0)与双曲线 翻2= 1(a>0, b>0)的两条渐近线分别交于点 a bA, B.若点P(m,0)满足|PA|= |PB|，则

13、该双曲线的离心率是 答案于解析 双曲线X2-b2= 1的渐近线方程为y=x.a bab(3b a),3b aambm )(a + 3ba + 3b),a2m3b2m 、bmam得得9b2 a22'y= ax， 由ax 3y+ m = 0,by= ax，由a所以AB的中点C坐标为养a：x 3y+ m = 0,设直线 l: x 3y+ m= 0(m 0),因为|PA|= |PB|,所以PC丄I,所以kpc= 3,化简得a2= 4b2.在双曲线中，c2= a2 + b2= 5b2,所以e=-=孝a 22 210. (2013 )设Fl, F2是双曲线C：冬一占=1(a>0, b>

14、0)的两个焦点，P是C上一点，若|PFi| a b+ |PF2|= 6玄，且厶PF1F2的最小角为30 °则双曲线C的离心率为 .答案 .3解析不妨设|PF1|>|PF2|,则 |PF1| |PF2|= 2a,又|PF1|+ |PF2|= 6a,|PFi|= 4a, |PF2|= 2a.又在 PF1F2 中，/ PFiF2= 30°由正弦定理得， / PF2Fi= 90 °|FiF2|= 2 3a,双曲线C的离心率e=二書=3.2a yx2 v211. P(xo, yo)(xoz±a)是双曲线 E：孑詁=1(a>0, b>0)上一点,M

15、 , N分别是双曲线E的左,右顶点，直线PM , PN的斜率之积为15(1) 求双曲线的离心率；(2) 过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于 A, B两点，0为坐标原点,C为双曲线上一点，满足 OC = DA + OB，求 入的值.x2 y2(1)点P(xo, yo)(xoM ±a)在双曲线 孑子=1上,由题意又有xo a xo + a15,可得 a2 = 5b2, c2= a2+ b2= 6b2,r rC则e=a.305 .联立X2 5y2= 5 b2,得 4X2 10cx+ 35b2= 0.y= x c,设 A(X1,y1), b(x2,y2).5cX1 + X2=,则2

16、35b2X1X2=.4设 OC = (X3, y3),0C= OA + OBX3=入 X+ X2, 即y3=入 y+ y2.又C为双曲线上一点，即 x3- 5y3= 5b2,有(入 x+ X2)2 5(入 i+ y2)2= 5b2.化简得 *(X? 5y1)+ (x2 5y2)+ 2 ?(xix2 5yiy2)= 5b2.又A(xi, yi), B(x2, y2)在双曲线上，所以 x 5y1= 5b2, x2 5y2= 5b2.由(1)可知 c2= 6b2 ,由式又有 xix2 5yiy2= xiX2 5(xi c)(x2 c) = 4x1x2+ 5c(xi + x2) 5c = 10b .得

17、*+ 4 = 0,解得入=0或= 4.x2i2. (20i4 )如图，已知双曲线 C: x2 y2= i(a>0)的右焦点为F.点A, B分别在C的两条渐近 a线上，AF丄x轴，AB丄OB, BF / OA(O为坐标原点).(i)求双曲线C的方程；xox3过C上一点P(xo, yo)(yoz 0)的直线1:2 yoy= i与直线AF相交于点 M，与直线x=j相a2交于点N.证明：当点P在C上移动时，常1恒为定值，并求此定值.解(1)设 F(c,0),1直线OB方程为y= ax,a直线BF的方程为y = $x c),解得B(j肃).又直线OA的方程为y = Ax,aCc_小ca 2a 3则 A(c, /, kAB= = ac 23 1又因为AB丄OB，所以( ? = 1 , 解得a=答 9x0 224 442xo 3 23 3y2+ 3 xo 2 2. xo 因为P(xo, yo)是C上一点，贝y -