几种简单证明勾股定理的方法

1、图1几种简单证明勾股定理的方法拼图法、定理法据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。 早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来 测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合 的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学 的神奇和妙趣吧！一、拼图法证明（举例 12种）拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图2拼法。问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示 方法，你发现了什么？2 2 1分析图2: S正方形=（a+b） =

2、c + 4 x舟ab化简可得：a2+b2 = c2拼法二：做8个全等的直角三 角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c,再做三个边长分 别为a、b、c的正方形，把它们像左 图那样拼成两个正方形。从图上可以看到，这两个正方形 的边长都是a + b,所以面积相等.即整理得a2+b2 = c2拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b，斜边为c）按图3拼法。问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为 周 髀算经作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a2+b2=c2吗？分析图 3： S 正方形=c2 = （a-b） 2+ 4x 4 ab 化简可得：a2+b2 = c

3、2观察图2、图3与图4的关系，并用一句话表示你的观点。 图4为图2与图3面积之和。拼法四：用两个完全相同的直角三角形（直角边为a、b,斜边为c）按图5拼法。背景：在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛 顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就 是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德（Garfield ）.他发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在谈论着什么.由于 好奇心的驱使，伽菲尔德向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么.只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形.于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分

4、别为3和4,那么斜边长为多少呢？” 伽菲尔德答到：“是5呀.”小男孩又问道:“如果两条直角边分别为 5和7,那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加 思索地回答到：“那斜边的平方一定等于 5的平方加上7的平方.”小男孩又说道：“先生， 你能说出其中的道理吗？ ”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。于是伽菲尔德不再散步， 立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。问题：图5就是伽菲尔德总统的拼法，你知道他是如何验证的吗？你能用两种方法表示图5的面积吗？伽菲尔德总统是这样分析的：1 2S 梯形 ABCD =

5、21 1 1 2 S 梯形 ABCD =S ABE + Sa ECD+ S AED = 2 ab+ 2 ab+ 2 c 贝V有： 壬(a+b)2= * ab+2 ab+舟 c2化简可得：a2+b2 = c2比较图5与图2,你有什么发现?2之半。拼法五：用四个相同的直角三角形（直角边为a、b,斜边为c）,拼成图6,得边长分别为a、b、c正方形。问题：观察图6,你能发现边长分别为 a、b、c的正方形吗？你能 通验证到：a2+b2 = c2吗?分析：其实，图6可以转化为下面两图:图a的面积可表示为：a2+b2+2 x -1 ab图b的面积可表示为：c2+2x 2 ab 比较a、b两图，你发现了什么？

6、2 2 1 2 1a +b +2 x ab = c +2x ab化简可得：a2+b2 = c2ab2 ab2abAabBbaabbahoDbaC拼法六：设直角三角形两直 角边的长分别为a、b,斜边 的长为c.作边长是a+b的正 方形ABCD把正方形ABCD 划分成左图所示的几个部 分，则该正方形ABCD的面 积为(a+ b)2= a2 + b2+ 2ab; 再把正方形ABCD划分成右图所示的几个部分，则正方形ABCD 的面积为（a+ b） 2= c2+4 x 舟 ab由两正方形面积相等得a2 + b2 + 2ab= c2+4 x ab 整理得a2+b2 = c2拼法七：用四个相同的直角三角形

7、(直角边为a、 b,斜边为c)拼成图7。问题：你能把图7转化为图c吗？通过位置变换，你发现了什么？你能发现边长分别为a、b、c的正方形吗？能否验证到：a2+b2 = c2呢？分析：图7的面积可表示为：c2+4 x gab图c的面积可表示为：a2+b2+4 x 1 ab比较图c、图7,你发现了什么?图8a2+b2 = c2呢？你还有其它的拼法吗?化简可得：a2+b2 = c2拼法八、九、十、一、十二 ：制作一个五巧 板，如图&方法：先作一个直角三角形，直角边为 a、b, 斜边为c,以斜边为边长向内作正方形， 并把正方形 按图中实线分割为五个部分，这就是一个五巧板。问题：运用五巧板，拼出图

8、 d、图e、图f、图 g,并仔细观察、比较，你发现了什么？能否验证到：图f图e 、定理法证明（举例 3种）利用切割线定理证明在Rt ABC中，设直角边 BC = a, AC = b ,斜边AB =c.如图，以B为圆心a为半径作圆，交 AB及AB的延 长线分别于 D、E,贝U BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90 o,点C在O B上，所以AC是O B的切线.由切割线定 理，得2 2 2 2 2 2AC =AE AD = (AB + BE) (AB BD) =( c+ a) (c a)= c - a从而可得a+b = cBDacAba /利用托勒密定理证明在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b ,斜边AB = c（如图）.过点A作AD / CB,过点B作BD / CA,则ACBD为矩形，矩形 ACBD内接于一个圆.根据托勒密定理，圆内 接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有2 2 2AB DC = AD BC + AC BD 从而可得 a+b = c利用射影定理证明如图，在 Rt ABC中，设直角边 AC、BC的长度 分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD丄AB , 垂足是D.根据射影定理，得AC2= ad AB ,BC2= BD BA即 AC2 + BC2= AD AB + BD BA = A