考研数学线性代数基础讲义

1、 数学网络课堂系列线性代数数学线性代数基础讲义主讲：名师，博士，著名数学辅导，教育部“精品课程建设骨干教师”，畅销书高等数学 18 讲、数学题源探析经典 1000 题作者，高等教育入学统一数学参考书（大纲）编者之一，2007 年斯洛文尼亚全球可持续发展大会受邀（15 分钟主旨）。首创“题源教学法”，对数学的知识结构和体系有全新的解读，对数学题与复习思路有极强的把握和预测能力，让学生轻松高效夺取高分。欢迎使用目录第一讲 基础篇1第二讲篇4第三讲 应用篇90 数学网络课堂系列线性代数第一讲基础篇行列式与矩阵一、从行列式讲起1. 行列式的本质定义a1121a1222= a a- a a= S11 2

2、212 21aaa11 a21a12 a22行列式是由两个 2 维向量组成，其结果为以这两个向量为邻边的平行四边形的面积.a11a12 a22 a32a13 a23 a33三阶行列式 a21是由三个 3 维向量(a11, a12 , a13 ) ，(a21, a22 , a23 ) ，(a31, a32 , a33 ) 组a31成，其结果为以这三个向量为邻边的平行六面体的体积.a11 a21a12 a22a1n a2nD =A是由n 个 n 维向量组成，其结果为以这n 个向量为邻边的nnnan1an 2annn 维图形的n 维体积.2. 行列式的性质（1）如果行列式中某一行（列）元素，则行列式

3、等于零；（2）如果行列式中某两行（列）元素对应成比例，则行列式等于零；（3）（互换）互换行列式中某两行（列）元素的位置，行列式的值只改变正负号；（4）（倍乘）常数k 乘以行列式，即行列式的某行（列）元素分别乘以k ；（5）（倍加）将行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数k 后加到另一行(列)对应位置的元素上, 行列式的值不变；（6）（单行可拆（加）性）如果行列式中某行（列）的每个元素都是两个数的和，则这个行列式可以拆成两个行列式的和；（7）行列式与它的转置行列式相等, 即 D = DT .1 数学网络课堂系列线性代数3. 重要观点：行列式由向量组成（1）如果行列式不等于零，那么组成行列式的向量

4、全；（2）如果行列式等于零，那么组成行列式的向量中至少有一个多余.【注】二、三阶行列式的计算：a1121a1222= a a- a a ；11 2212 21aaa11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 - a13a22a31 - a12a21a33 - a23a32a11 .二、矩阵的本质是什么？1. 表面上，矩阵表达系统信息. r ( A) = k本质上，设矩阵 Amn ，满足：存在k 阶子式不为 0 ，2.任给(k +1) 阶子式全为 0，则秩 r( A) = k .存在k 阶子式不为 0 ，

5、 存在 k 个向量任给(k +1) 阶子式全为 0， 任给(k +1) 个向量中至少有一个多余 有且仅有k 个向量 r( A) = k .重要观点： a11 aa1222a1n aa= 2n 是由向量组成.21矩阵 Amn aaa m1mn m 2从行上看： m 个n 维行向量；从列上看： n 个m 维列向量.其本质为秩r( A) = 组成 A 的向量的个数.1）“台阶数=秩”2）化矩阵A 为行（最简）阶梯形矩阵若矩阵 A 满足：1）若有零行矩阵下方；2）从行上看，自左边起，出现连续零的个数自上而下严格单增.称为行阶梯形矩阵.若矩阵 A 还满足：3）位置元素为 1；4）正上方元素.称为行最简阶

6、梯形2 数学网络课堂系列线性代数矩阵.3）初等变换法互换、倍乘、倍加 570 【例 1】化矩阵 A = 490 为行最简阶梯形矩阵. 30 6125-1 03 -24 【例 2】化矩阵 A = 1 为行最简阶梯形矩阵.032 43 3 数学网络课堂系列线性代数第二讲篇向量组与方程组【综述】方程组求解 一个向量与一组向量的关系a11x1 + a12 x2 + a1n xn = b1 , a11 a12 a1n b1 a a b x + a x + a x = b ,2n = 2 21 122 22n n2n am1 x1 + am2 x2 + amn xn = bmnan = b am1 am2

7、 amn bm 重要观点：方程组的解就是描述一个向量与一组向量之间关系的表示系数.一、定性研究相关性问题（有没有多余向量）表示性问题（如何表示多余向量）代表性问题（极大线性无关组）等价性问题（两个向量组之间的关系）1. 相关性问题有a1,a2,as 中有没有多余的向量没有= 0, 0 a1,a2,as第 1 章行列式（局限于方形）a ,a ,a12s矩阵 r(a1,a2 ,as ) s,r(a ,a ,第 2 章,a ) = s12s第 3 章向量组sas 如果存在一组不全为 0 的数= 0成立，称s ，使得a1,a2,as 为线性相关.（多余）sas= 0 ，称a1,a2,as 为线= 0

8、成立，必须要求若s4 数学网络课堂系列线性代数性无关.（）第 4 章 方程组 x1 x ,a2 = 0 有非零解.（齐次）) (a ,a x 12s s x1 x ,a2 = 0 只有零解.)(a ,a x 12s s 【注】学会挖掘各充要条件之间的关系.【应用】第一组定理1）若向量组a1,a2,as 线性相关，则向量组a1,a2,as ,as+1 线性相关；若向量组a1,a2,as 线性相关，则向量组a1,a2,as-1 线性相关性不确定.2）若向量组a1,a2,as 线性无关，则向量组a1,a2,as ,as+1 线性相关性不确定；若向量组a1,a2,第二组定理,as 线性无关，则向量组a

9、1,a2,as-1 线性无关.aaa3）若向量组a ,a,a 线性相关，则向量组 b=1b =2， ，b=s1 g2 g s g ，线12s 1 2 s 性相关性不确定；若向量组 b1, b2, bs 线性相关，则向量组a1,a2,as 线性相关.5 数学网络课堂系列线性代数4）若向量组a1,a2,as 线性无关，则向量组 b1, b2, bs 线性无关；若向量组 b1, b2, bs 线性无关，则向量组a1,a2,as 线性相关性不确定.【总结】部分相关 整体相关；整体无关 部分无关；原来相关 缩短相关；原来无关延长无关.2. 表示性问题能b 能否由a ,a ,a 线性表示12s不能 a1,

10、a2,as , b= 0,第 1 章 行列式（反推均不成立）（局限于方形） a1,a2,as 0 r(a1,a2,as, b)=r(a1, a2, as)第 2 章 矩阵a ,a ,a , b) = r(a , a , a ) +1 r(12s12s第 3 章 向量组sas= b 成立，则称 b 可由 如果存在一组数s ，使得a1,a2,as 线性表示.sas= b 成立，则称 b 不可由不存在任何一组数s ，使得a1,a2,as 线性表示.第 4 章 方程组 x1 x ,a2 = b) (a ,a有解.（非齐次） x 12s s x1 x ,a2 = b)(a ,a无解. x 12s s 6

11、 数学网络课堂系列线性代数3. 代表性问题极大线性无关组定义：从向量组a1,a2,as 中取出向量组ai1,ai2 ,air (r s) ，若其满足1）线性无关；2）向量组a1,a2,as 中任一向量ai 均可由其表示.则称向量组ai1,ai2,air 为向量组a1,a2 ,as 的一个极大线性无关组.应用若 Ax = 0 有无穷多个，一般用基础来表示.重要观点： Ax = 0 的无穷多解的极大无关组 Ax = 0 的基础.注：基础的定义：设x1,x2Lxs ，若其满足：1） 是 Amn x = 0 的解；2） 线性无关；3） Ax = 0 的任一解均可由其表示；则称x1,x2Lxs 为 Ax

12、 = 0 的一个基础解系，其中 s = n - r( A) .4.等价性问题研究一组向量与一组向量之间的关系（在定量描述中讲解）设（I）a1,a2,L,as （II） b1, b2,L, bta1 = k11b1 + k12b2 +L + k1t bta= k b + k b +L + k b221 122 22t若 ，则称（I）可由（II）线性表示.LLas= ks1b1 + ks 2 b2 +L + kst bb1 = l11a1 + l12a2 +L + l1saSb= l a + l a +L + l a221 122 22 s S若 ，则称（II）可由（I）线性表示.LbtL= lt

13、1a1 + lt 2a2 +L + ltsaS二、定量描述1.解 Ax = 0 （齐次方程组）当 r( A) = n Ax = 0 只有 0 解；当 r( A) n Ax = 0 有非 0 解（无穷多解）则其求解步骤为：写出系数矩阵 A ，化 A 为行（最简）阶梯形矩阵，求出r( A) ；7 数学网络课堂系列线性代数按列找出一个秩为r( A) 的子矩阵，则剩余位置的变量即为自由变量；按照基础解系的定义反着走 全部解（通解） = k1x1 + k2x2 +L+ ksxs3 + 4x4 - 3x5 = 02+ 5x - 5x = 0345【例】求的全部解- 2x - x = 033453 + 6x

14、4 - 7x5 = 02.解 Ax = b （非齐次）若x 为 Ax = 0 的任一解，h* 为 Ax = b 的某一特解，则 Ax = 0, Ah* = b A(x +h*) = b ；故 Ax = b 的全部解= Ax = 0 的全部解+ Ax = b 的一个特解；即全部解（通解） = k x + k x +L+ k x +h* .1 12 2s s3 + x4 + x5 = a+ 6x = b【例】45，当a,b 为何值时，方程组有解，并求出全部解.3 + x4 - 3x5 = 03 + 3x4 - x5 = 235（等价性问题的内容见前面）8 数学网络课堂系列线性代数第三讲应用篇特征值

15、与二次型引例x2y2+= 1（1）给出 x + xy + y = 1，通过某正交变换，变成：22( 2 )222 3（2）二次型) = a x2 + a x2 + a x + 2a x x + 2a+ 2af (311 122 2312 1 2矩阵形式： f (x1, x2,，其中： x1 a11a12a13 a23 ;其中，只含平方项的二次型，称为二次型的标准形.x = x2 , A = a12a22 x aaa 3 132333 化二次型为标准形，也就是“化 A L ”成为关键：若存在可逆矩阵C ，使得C -1AC = B ，则称 A 与 B 相似.若存在可逆矩阵 D ，使得 D-1AD = L ，则称 A 相似于L .注：若存在非零向量xi ，使得 Axi向量.= lixi ，则称li 为矩阵 A 的特征值， xi 为li 对应的特征100【练习】若 A = 122 ，求 A 的特征值li 与对应的特征向量xi .1319 数学网络课堂系列线性代数若存在正交矩阵 P ，使得 P-1AP = L ，则称 A 相似于L .注：若矩阵 P 满足 PPT = E ，则称矩阵 P 为正交矩阵，且有 P-1 = PT .3 ) = x Ax = (Py) A(Py) = y P APy = y