相似三角形教案

1、相似三角形【基础知识精讲】1理解相似三角形的意义，会利用定理判定两个三角形相似，并能掌握相似三角形与全等三角形的关系2进一步体会数学内容之间的内在联系，初步认识特殊与一般之间的辩证关系，提高学习数学的兴趣和自信心 【重点难点解析】相似三角形的概念及相似三角形的基本定理 【典型热点考题】例1 如图4-21，ABCD中，M是AD延长线上一点，BM交AC于点F，交DC于G，则下列结论中错误的是 （）图4-21AABMDGMBCGBDGMCABMCGBDAMFBAF点悟：用本节概念和定理直接判断解：应选D例2 如图4-22，已知MNBC，且与ABC的边CA、BA的延长线分别交于点M

2、、N，点P、Q分别在边AB、AC上，且APPBAQQC图4-22求证：APQANM证明： APPBAQQC， PQBC，又MNBC， MNPQ APQANM例3 写出下列各组相似三角形的对应边的比例式(1)如图4-23(1)，已知：ADEABC，且AD与AB是对应边(2)如图4-23(2)，已知：ABCAED，BAED图4-23点悟：要写出两个相似三角形的对应边的比例式，首先要确定两个相似三角形的对应边因为相似三角形是全等三角形的推广，所以要确定两个相似三角形的各组的对应边，可以参照确定全等三角形对应边的方法，从确定这两个相似三角形对应的顶点出发解：(1)已知ADEABC，且AD和AB是对应边

3、，它们所对的顶点E和C为对应顶点，而A是两三角形的公共顶点，BAC为公共角，所以两三角形另两组对应边为DE和BC，EA和CA，得(2)已知ABCAED，且ABCAED，A为公共顶点，另一对应顶点为D和C，三组对应边分别是AD和AC，AE和AB，DE和CB 得本题两类相似三角形的图形是相似三角形的基本图形第一类为平行线型平行线型是由两条平行线和其他直线配合构成的两个相似三角形，它的对应元素比较明显，对应边，对应角，对应顶点有同样的顺序性，对应边平行或重合基本图形有两种(图4-24)：图4-24第二类是相交线型这一类型的对应元素不十分明显，对应顺序也不一致，对应边相交它的基本图形，也有两种，一种是

4、有一个公共角，另一种是一组对顶角(图4-25)图4-25其他类型的相似形多可以分解成这两种基本类型或转化为这两种基本类型例4 如图4-26，已知：ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且ADCE，DE交AC于F求证：AB·DFBC·EF图4-26点悟：如果我们把条件和结论涉及的线段AD，CE，AB，DF，BC，EF在图中都描成红线，可以发现一个完全由红线构成的三角形，即DBE，还有一条线AC，是DBE的截线，分别截DBE的三边DB，BE，DE(或它们的延长线)于A，C，F这类问题添辅助线的方法至少有三种，即过红线三角形任一顶点作对边的平行线，并与该三角形的截线

5、或其延长线相交(如图4-27)，在每一种图形中，虽然只有一对平行线，但与这对平行线有关的基本图形都能找到两对，根据每一个基本图形都可以写出包含辅助线段在内的一个比例式图4-27以(2)为例，可以写出，又可以写出前两式均有BH，于是可得，及，所以，有又因为ADCE，于是有AB·DFBC·EF(证略)利用比例线段也可以证明两直线平行或两线段相等例5 如图4-28，已知：梯形ABCD中，ADBC，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE相交于G，CE和DF相交于H，求证：GHAD图4-28点悟：条件中的ADBC，给出了两个基本图形，而AEED，BFFC，又使从两个基本图形中给出的

6、比例式有一个公共的比值，从中可以得到所以GHAD证明： ADBC， ， AEED，BFFC， ， GHAD例6 如图4-29，已知：AD平分BAC，DEAC，EFBC，AB15cm，AF4cm求：BE和DE的长图4-29点悟：题设中的两对平行线起着不同的作用由DEAC，AD平分BAC，可以得到AEDE这样已知及欲求的线段BE，AE，AB，AF都在AB和AC这两条边上，利用EFBC，就可以得到相应的比例线段求得答案解： DEAC， 32，又AD平分BAC， 12， 13， EDAE EFBC，EDCF， EDCF为平行四边形， EDCFAE设AEx，则 CFx，BE15x EFBC， ，即， 解

7、得， DE6cm，BE9cm 例7 如图4-30，已知：在ABC中，AD和BE相交于G，BDDC31，AGGD求BGGE图4-30点悟：按照例4的分析，过点G作GMAC，根据平行线截得比例线段定理，得BGGEBMMC，于是只要求出BMMC的值即可解：作GMAC交BC于M，则 BGGEBMMC AGGD， ，即，即， BGGE71点拨：以上四例中，我们复习了线段成比例和平行线分线段成比例的有关知识 【易错例题分析】例1 已知：在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP3PC，Q是CD的中点求证：ADQQCP证明：在正方形ABCD中， Q是CD的中点， ， ， 又 BC2DQ， 在ADQ

8、和QCP中，CD90°， ADQQCP警示：证此类题应避免没有目标而乱推理的情况例2 一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两位同学的加工方法分别如图4-31(1)、(2)所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)解：由AB1.5米，平方米，得BC2米设甲加工的桌面边长为x米，DEAB，RtCDERtCBA， ，即解得 ，过点B作RtABC斜边AC上的高BH，交DE于P，交AC于H由AB1.5米，BC2米，平方米得AC2.5米，BH1.2米设乙加工的桌面边长

9、为y米， DEAC， RtBDERtBAC ，即解得，因为即xy，所以甲同学的加工方法符合要求警示：解此类要避免看不出相似直角三角形而无法解的情况，更要避免看不出对应线段造成的比值写错而形成的计算错误例3 如图4-32，AD是直角ABC斜边上的高，DEDF，且DE和DF分别交AB、AC于E、F求证：图4-32(2002年，安徽)正解： BAAC，ADBC， BBADBADDAC90°， BDAC又 EDDF， BDEEDAEDAADF90°， BDEADF， BDEADF ，即 警示：本例常见的错误是不证三角形相似，直接进行线段的比，这是规范的一种情况 【同步达纲

10、练习】一、选择题 1如图4-33，在ABC中，ABAC，AD是高，EFBC，则图中与ADC相似的三角形共有 （）A1个 B2个 C3个 D多于3个2某班在布置新年联欢晚会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图4-34在RtABC中，C90°，AC30cm，AB50cm，依次裁下宽为1cm的矩形纸条、若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是 （）A24 B25 C26 D27图4-33 图4-34二、填空题3如图4-35，AEDABC，其中1B，则AD_BC_AB图4-35 图4-364如图4-36，D、E、F分别是ABC的边

11、AB、BC、CA的中点，则图中与ABC相似的三角形共有_个，它们是_5阳光通过窗口照到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区，已知亮区到窗下的墙脚最远距离是8.7m，窗口高1.8m，那么窗口底边离地面的高等于_三、解答题6如图4-37，在ABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F求证：7已知：如图4-38，等腰ABC中，ABAC，BAC36°，AE是ABC的外角平分线，BF是ABC的平分线，BF的延长线交AE于E求证：(1)AFBFBC；(2)EFBFBCFC图4-37 图4-388四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F，ECAD求证：AC·BEAD·CE 参考答案【同步达纲练习】1C 2C3AC，ED，AE 44，ADF、DBE、FEC、EFD 5.4m6连结PC，先证明ABPACP，PBPC，再证明PCFPEC，PCPEPFPC，7(1)由已知