第05章05节定积分的几何应用举例

1、第5节 定积分的几何应用举例（考点） 定积分的应用就是要用定积分计算某个量：可见，量分布在区间上。在实际应用时，要求我们把和找出来。，考虑是在上的分布。让有增量使。是在上的分布。因此，用积分计算量的步骤如下：（1） 找到的分布区间；（2） ，把在上的分布量计算成如下式子即（3）算出定积分 以上步骤称为定积分应用的微元法。5.1 平面图形的面积直角坐标系中连续曲线所围图形的面积。分布在区间上；，在区间部分的面积；所以 当时图5.1【例5.1】求由曲线，以及直线围成的图形面积解、面积分布在区间上；，在区间部分的面积；所以【例5.2】求由曲线，所围成图形的面积图5.2a图5.2b解1、解得交点。如果

2、用作自变量，面积分布在区间上；，当时，在区间部分的面积；当时，在区间部分的面积。表达式不一致，要用把图形割成两块计算。解2、如果用作自变量，面积分布在区间上。，在区间部分的面积。所以（从此例要学会：（1）当边界表达式不一致时，要作适当分割；（2）自变量选得好可使计算简单。）【例5.3】求椭圆所围成的图形的面积解、由对称性，其中为第一象限内的部分的面积。分布在区间上；，在区间部分的面积。所以（这个结果与中学所学一致。我们这里是用定积分做出来的，而中学是没有证明的估计。）极坐标系中.1极坐标在平面中取定一条有长度单位的射线，称为极坐标轴。给了平面上一点，我们有数组，其中是与的夹角。是由点确定的。反

3、过来，如果给了数组，按上面规则，确定了一点。因此，可以用作点的坐标，称为点的极坐标。把直角坐标平面的作极坐标轴，则极坐标与直角坐标的关系如下极坐标系中的面积计算求曲线所围图形的面积。用作自变量，面积分布在区间上；，在区间部分的面积。所以如何求曲线所围图形的面积？有时候用极坐标计算面积比较简单。【例5.4】计算阿基米德螺线：（）从的一段弧与极轴所围成的图形的面积解、。由曲线的直角坐标方程写极坐标系方程（1）把代入等式得等式；（2）由等式解出。5.1 体积图5.3 旋转体的体积曲边梯形。（1）求绕轴旋转一周得的旋转体的体积；（1）求绕轴旋转一周得的旋转体的体积。 （1）分布在区间；，在区间的部分的

4、体积（半径为高为的圆柱体）；所以（转轴与积分变量一致。） （2）分布在区间；，在区间的部分的体积（一空心圆柱壳：底是周长宽高）；所以（转轴与积分变量不一致。）（这里所讲与P245有什么不一样？）图5.5【例5.5】计算由摆线，的一拱及轴所围成的图形(图5.4)分别绕轴，轴旋转而成的立体体积 图5.4解、或用y作自变量，图5.6a图5.6b【例5.6】设有一半径为的圆，圆心与一定直线的距离为（）求此圆绕直线旋转而成的圆环体的体积解、以为轴正半轴过圆心建立直角坐标系。大半圆方程，小半圆方程。【例5.7】求由曲线，轴和曲线在它极大值点处切线所围成的平面图形，绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积解1、用作

5、自变量。分布在区间上。解2、用作自变量。分布在区间上。 平行截面面积可计算的几何体的体积 设几何体在轴上的投影区间。，用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积可计算。则在上分布的体积。所以【例5.8】一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（如图5.7），计算该平面截圆柱体所得立体的体积解1、用作自变量。分布在区间上。，用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积，所以解2、用作自变量。分布在区间上。，用垂直于轴且过点的平面截所得截面的面积，所以101010图5.7a图5.7b5.3 平面曲线的弧长 在直角坐标系中设曲线段的方程为。弧长分布在上。，由于弧长微分，所以在区间上的分布。因此【例5

6、.9】求悬链线从到（）那一段的弧长解、弧长分布在上。所以 曲线用参数方程表示设曲线段的参数方程为。弧长分布在上。，由于弧长微分，所以在区间上的分布。因此【例5.10】求摆线，的一拱的长度（）解、弧长分布在上。所以 曲线用极坐标方程表示设曲线段的极坐标方程为。则曲线的参数方程是容易算得。因此【例5.11】心脏线的全长解、弧长分布在上。所以习题讲解P249 A类2求由下列各曲线所围成图形的面积：(1)解、，。（注意到的周期性。）3求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：(1) 与(2) 与解、（1）先画草图（看黑板）。解得。根据对称性，（2）先画草图（看黑板）。解得。根据对称性，11求曲线自的一段

7、弧长解、曲线。B类5设, 试求曲线与轴所围成图形的面积解、当时，当时，所以解得。10将曲线绕轴旋转得一旋转体，它在点与之间的体积记作，问等于何值时，能使？解、令即，解得。（上分布的体积与上分布的体积相等。）习题55A类1求由下列各曲线所围图形的面积：(1) ,*(2), 3)与(两部分都要计算)2求由下列各曲线所围成图形的面积：(1) (2) (3)3求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积：*(1) 与(2) 与4求摆线的第一拱与轴所围的面积()57题图由，,所围成的图形，分别绕轴和轴旋转，计算所得两个旋转体的体积*6计算底面是半径为的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立

8、体体积7立体的底是曲线, 所围的平面图形, 垂直于轴的平面与该立体的截面是以(如图)为直径的半圆，求此立体的体积8计算底面是半径为R的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积*9过坐标原点作曲线的切线，该切线与曲线及轴平面图形，(1) 求的面积；(2) 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积10求心形线及射线及所围成的图形绕极轴旋转所成旋转体的体积11计算曲线上相应于的一段弧的长度12求曲线自的一段弧长B类1用积分法证明球缺的体积为2在摆线，上求分摆线第一拱成的点的坐标3在半径为的球上钻一个半径为的圆孔，孔的轴为球体的一条直径，求剩余部分的体积*4求曲线所围成图形的面积5设, 试求曲线与轴所围成图形的面积6设曲线方程为()*(1) 把曲线，轴，轴和直线 ()所围平面图形绕轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积以及满足的值；(2) 在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的积最大，并求出该面积7设直线与抛物线所围成图形的面积为，它们与直线所围成的图形面积为，并且(1) 试确定的值，使达到最小值；(2) 求该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积*8设有一半径为的圆，圆心与一定直线的距离为()求此圆绕直线旋转而成的圆