第十一章无穷级数

1、第十一章无穷级数基本内容 (一)数项级数 1.数项级数的定义设数列则称是数项级数，其中称为一般项记称之为级数的前n项的部分和。称为级数的部分和序列若，则称收敛于和S，且记为；若不存在，则称级数发散，的和不存在2.级数收敛的必要条件若级数收敛，则；这意味着若，则必发散3.级数的性质设k是非零常数，,(1)(2)(3)在级数前面添（减）有限项，不改变级数的敛散性(4)收敛级数加括号后仍收敛*4.柯西收敛定理收敛的充分必要条件是：对任意，存在N，当n>N 时，对任意的自然数p都有成立（二）数项级数的收敛法1.正项级数的定义若级数满足，则称为正项级数显然，正级数收敛的充分必要

2、条件是正项级数的部分和数列有上界2.正项级数的收敛法(1)比较判别法若正项级数,满足条件 则有如下结论：()若级数收敛，则级数也收敛()若级数发散，则级数必发散（此内容可简记为：大的收敛，小的收敛；小的发散，大的发散）正项级数, 若成立 ()则级数与的敛散性一致极限判别法：正项级数，常数则()若则发散()若存在，则收敛在使用比较判别法时，下列三个级数经常被选为比较级数.，当时收敛；时发散，当时收敛；时发散，当时收敛；时发散(2)比值判别法正项级数且则时，级数收敛时，级数发散时，无法判断(3)根值判别法正项级数且则时，级数收敛时，级数发散时，无法判断(4)积分判别法设函数在区间上连续，且非负单减

3、，则级数与广义积分的敛散性一致 3.交错级数及收敛法(1)对任意级数若收敛，则级数必收敛，称为绝对收敛；若发散，而收敛，则称级数条件收敛(2)交错级数若则称级数或为交错级数若交错级数满足条件则交错级数收敛（三）幂级数1.幂级数的相关定义函数项级数对区间I上的函数列称是函数项无穷级数当时，数项级数收敛，则称时函数项级数的收敛点；若发散，则称是级数的发散点。函数项级数的收敛点的全体称为收敛域2.幂级数称如下形状的函数项级数：和为幂级数我们知道，幂级数存在一个收敛半径当时，绝对收敛,当时，发散的计算公式为：3.幂级数的运算(1)设则当时，(2)设则在上连续(3)设则成立下述结论：()()（四）函数展

4、成幂级数1.函数的直接展开法(1)函数的泰勒展开设在区间内具有任意阶导数，且则 (2)函数的麦克劳林级数展开设在区间内具有任意阶导数，且则 2.函数间接展开将一些已知的函数展开，通过求导，积分可得到其它一些函数的展开，这种方法称为间接展开法常用的幂级数有：（五）函数的幂级数展开的应用我们可通过函数的幂级数展开，将复杂的函数由一个多项式函数和一个余项来表示，然后进行数值上的近似计算（六）傅立叶级数1. 1.    三角级数、三角函数系的正交性 称是三角级数三角函数系在区间上正交，即其中任何两个不同的函数之积在区间上的积分是零2. 2.  

5、0; 周期为函数展开成傅立叶级数(1)设是周期为的周期函数，当时，称是的傅立叶级数(2)收敛定理设是周期为的函数，若它满足条件：在一个周期内连续或只有限个第一类间断点，并且至多只有有限个极值点，则的傅立叶级数收敛，并且当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于(3)函数的延拓设的定义域是满足收敛定理要求的条件，则可以根据构造出周期为的函数当时，当时，有（七）正弦级数，余弦级数1.正弦级数，余弦级数定理 周期为的奇函数可展开成只含有正弦项的傅立叶级数，称为正弦级数周期为的偶函数可展开成只含有余弦项的傅立叶级数，称为余弦级数2.函数的奇延拓、偶延拓设的定义域是，且满足收敛定理的条件，则

6、可通过在区间上构造出满足要求的函数可以是奇函数，也可是偶函数，然后应用上节延拓的思想，将变成，则在上，因此可以得到在上的傅立叶级数此级数要么是正弦级数，要么是余弦级数（八）周期为的周期函数的傅立叶级数1.周期为的的傅立叶级数若函数周期为，且满足收敛定理的条件，则其傅立级数为其中2.定义在的函数的傅立叶级数将作为一个周期，延拓为周期为的函数，则可得出在上的傅立叶级数3.定义在上的函数的傅立叶级数作变换将， 变换为然后延拓，展开，求出的傅立叶级数.代入反变换，即可求得的傅立叶级数练习题 11.1判断下列数项级数是否收敛：（1）解；，故发散（2）解，收敛（3）解，当，收敛；当，发散（4）解

7、，收敛（5）解，故收敛（6）解，故收敛（7）（积分判别法）解发散（8）解，故收敛（9）已知，收敛，是否收敛解故收敛(10)解，故收敛(11)解,发散；，收敛；时，发散综上所述，时，级数收敛；时，级数发散(12)（如何计算）解, 故收敛(13)解积分判别法，发散(14)（为已知数）解整数时，故发散；整数时，条件收敛(15)解，收敛；，发散；时，发散(16)（为常数）解, ，故时，即时级数收敛(17)解，故收敛(18)（为常数）解，且收敛故原级数收敛11.2求幂级数的收敛域和函数（1）解，时，级数收敛，故条件收敛；时，级数收敛，故条件收敛令，先求导，故（2）解，（3）解：，故（4）解时，级数发散；

8、时，级数条件收敛令先逐项求导，再求和积分所以11.3将函数展成麦克劳林级数（1）解，故，则，故（2）解（3）解11.4将下列函数展成傅利叶级数（1）（2）周期为的函数测验题（十一）1.判断下列级数的敛散性（1）解收敛，而收敛（2）解发散，而发散，（3）解收敛，而收敛（4）解收敛，而收敛所以原级数收敛（5）解收敛而收敛（6）解发散，而发散2.判断下列级数的敛散性，若收敛，试求其和（1）（）解收敛，故（2）解收敛，故（3）解收敛，故（4）解收敛，故3.判断级数的敛散性，其中为实数解故时，级数发散时，级数收敛4.判断级数是否收敛，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？（1）解时，级数绝对收敛；时，级数发散；时，级数条件收敛（2）解时，级数发散；时，级数绝对收敛；时，级数发散；时，级数条件收敛（3）解，故原级数条件收敛（4）解，而条件收敛5.若级数收敛，证明级数收敛证明收敛，收敛，故绝对收敛6.设为一单调有界函数，且，证明级数收敛证明不妨设，则而收敛，故收敛，即收敛7.求下列幂级数的收敛区间：（1）解，时，级数收敛；时，级数发散故收敛区间为（2）解当时级数均收敛故收敛区间为（3）解令得新级数此级数收敛区间为，故原级数收敛区间为8.求幂级数的和函数（1）（）解 =（2）（-11）解令，令，所以（3）（）解令，