第2章+导数与微分

1、第2章 导数与微分教学目的1理解导数和微分的概念、导数与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性与连续性之间的的关系； 2熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分；3了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的阶导数；4会求分段函数的导数；5会求隐函数和由参数方程确定的函数的导数，会求反函数的导数。教学重点1导数和微分的概念、导数与微分的关系；2导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；3基本初等函数的导数公式；4高阶导数；5隐函数和由参数方程确定的函数的导数。教学

2、难点1复合函数的求导法则；2分段函数的导数；3反函数的导数 4隐函数和由参数方程确定的导数。§1导数的概念一、 引例微积分的创立是为了处理17世纪社会生产实践和科学技术问题，其中非匀速直线运动的速度，曲线的切线等都可归结为一类特殊的极限导数。1直线运动的速度设某质点沿坐标轴上作非匀速运动，时刻t动点的坐标为s，s是t的函数：求动点在时刻t0的速度。考虑比值是动点在时间段（或）内的平均速度。如果时间较短，这个比值近似于动点在时刻t0的速度。如果时，平均速度的极限存在就把这个极限值称为动点在时刻t0的（瞬时）速度，即2切线的斜率如图所示，曲线在其上一点处的切线是割线当动点沿此曲线无限接近

3、于点时的极限位置。由于割线的斜率为如果当时的极限存在，则此极限就是切线的斜率，即二、导数的定义 上述两个问题，前一个是运动学的问题，后一个是几何学的问题，但是它们都可以归结为同一种类型的极限。定义1 设函数在点的某一邻域内有定义，若极限(1)存在，则称函数在点处可导，并称此极限为函数在点处的导数，记为，注：（1）如果(1)式极限不存在，则称在点处不可导。特别地，如果时，习惯上称在点处的导数为无穷大，写成。（2）令，则有(2)所以，导数就是增量之比的极限。这个增量之比称为函数关于自变量的平均变化率（又称差商），而导数则为函数在处的变化率。（3）如果（）存在，则称此极限为函数在点处的左导数（右导数

4、），记为（）左导数和右导数统称为单侧导数。结论：函数在点处可导的充分必要条件是和都存在且相等。（4）如果函数在区间I上每一点都可导（区间端点处仅考虑相应的单侧导数），就称函数在区间I上可导。这时，对于任一xÎI，都对应着的一个确定的导数值，这样构成的一个新的函数叫做函数的导函数。记为，或导函数也简称为导数。把（2）式中的换成，有 （3）例1 求（为常数）的导数。例2 求的导数。更一般地，有幂函数的导数例3 求的导数。解 由于 因此同理可求得 。例4 求的导数。解即 特别地，当时三、导数的几何意义函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率（如图）。因此，曲线在点处的切线方程为法线方程为()例

5、5 求曲线在点处的切线方程与法线方程。四、可导与连续的关系设函数在点处可导，则，故是当时的无穷小，因此所以函数在点处连续。结论 若函数在点可导，则在点连续。注：可导仅是函数在该点连续的充分条件，而不是必要条件。例6 函数在内连续，但在点处不可导。（图示）例7 函数在内连续，但在点处不可导。（图示）作业: 习题2-16;11;14；17.§2 求导法则一、 导数的四则运算如果函数和在点可导，则它们的和、差、积、商（分母为0的点除外）都在点可导，并且（1）；（2）；（3）（验证（2）注：法则（1）、（2）可推广到有限个可导函数的情形。如特别地，。例1 设，求。例2 设,求。例3 设,求。

6、同理可得 例4 设,求。同理可得 二、反函数的导数如果是的反函数，则即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。例5 求的导数，。例6 求的导数。三、复合函数的导数如果在点可导，在点可导,则复合函数在点可导，且或证 由于在点可导，因此存在，于是据极限与无穷小的关系有其中是时的无穷小。上式中，用乘上式两边，得当时,规定,这时因,用除上式两边,得于是由于在点可导,故在该点连续,于是当时,从而可以推得并且 所以 即 定理得证。注：复合函数的求导公式亦称为链式法则，对于由多个函数复合而得的复合函数，其导数公式可反复应用而得。例7 设,求。例8 设，求。例9 设，求。例10 设求。，例11 设，证明。四、 求

7、导公式基本初等函数的导数公式列出如下:（1）, （2） ,（3）, （4），（5）, （6），（7）, （8），（9）, （10），（11）， （12），（13）, （14）（15）, （16）。例12 设，求。例13 设可导，求。作业: 习题2-22(2)(10); 8(1)(3)(5)(7);10(1); 11(1)(2)(3)(6)(7)(8).§3 高阶导数定义 若在点可导，则称在点的导数为在点的二阶导数，记为，即同时称在点二阶可导。·若在区间上每一点都二阶可导，则得到一个定义在上的函数，称为二阶导函数，简称为二阶导数，记为，或一般地，可由的阶导函数定义的阶导函数（

8、简称为阶导数）。·二阶以及二阶以上的导数都称为高阶导数，函数在点处的阶导数记为，或相应地，阶导函数记为， 或这里亦可写作为，它是对相继进行次求导运算“”的结果。例1 设，求。例2 设，求(0)。例3 求正弦和余弦函数的阶导数。例4 设，求。显然，如果，有直到阶的导数，则，而，约定， 比较：一般地，由二项式定理，猜想上式可以用数学归纳法得到，称为莱布尼茨公式。例5 设，求。作业: 习题2-31(1)(9);8(2)(3); 9(3).§4 隐函数和参数方程所确定的函数的导数一、隐函数的导数前面我们遇到的函数有一个共同的特点：因变量由自变量明显地表示出来，我们称用这种方式表达的

9、函数为显函数。有许多函数的表达方式却不是这样，如方程表示一个函数，因为当变量在内取值时，变量有唯一确定的值与之对应。这样的函数我们称之为隐函数。一般地，如果变量和满足一个方程，在一定条件下，当取某区间内的任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的值存在，那么就说方程在该区间内确定了一个隐函数。下面我们通过实例给出直接由方程求它所确定的隐函数的导数的一种方法。例1求由方程所确定的隐函数的导数。解法一（显化求导）解法二：将代入方程，得两边对求导。得所以 ·隐函数微分法：将代入方程，得恒等式（把看成的函数）两边对求导，然后解出，即是由方程确定的隐函数的导数。例2 求由方程所确定的隐函数在处的导

10、数。解 方程两边分别对求导，注意是的函数，所以将代入原方程，得。再将它们代入上式，得例3 求椭圆在点处的切线方程。例4 求由方程所确定的隐函数的二阶导数.解 方程两边分别对求导，得于是 上式两边再对求导，得 ·对数求导法：先在的两边取对数，然后再求出的导数。例5 设，求。例6 设，求。二、由参数方程所确定的函数的导数如果函数由参数方程给出，则在一定的条件下注：（1）条件是指存在反函数，可导，且。公式推导：函数可以看成是由函数，组成的复合函数根据复合函数的求导法则与反函数的求导法则，就有（2）如果，二阶可导，则例7 求椭圆在相应的点处的切线方程。解 当时，椭圆上的相应点的坐标是：， 曲

11、线在点的切线斜率为：所以椭圆在点处的切线方程化简后得 例8 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻的运动速度的大小和方向解 速度的水平分量为 铅直分量为 所以抛射体运动速度的大小再求速度的方向，也就是轨迹的切线方向。设是切线的倾角，根据导数的几何意义所以，在抛射体刚射出（即）时当时这时，运动方向是水平的，即抛物体达到最高点。例9 求摆线所确定函数的二阶导数。作业: 习题2-4 1(1)(4);2; 4(2); 5(2); 7(2); 8(2).§5 函数的微分一、微分的定义例1 正方形金属薄片受温度的影响，它的边长由的变为，相应地面积的增量为由两部分组成：第一部分为(即图中阴

12、影部分的面积)是的线性部分，第二部分是比高阶的无穷小。 所以当很小时，误差是比高阶的无穷小。定义 设函数在点的某邻域内有定义，当给自变量一个增量，如果相应地函数增量能表示成其中是与无关的常数，则称函数在点可微，并称为在点的微分，记为或即 注：是函数。结论 函数在点可微的充要条件是函数在点可导，此时。（证 ）注：（1）如果函数在区间上每一点都可微，则称为上的可微函数。在上任一点处的微分记为或，即它不仅依赖于，而且也依赖于。例2 求在处，当时的微分。（2）称为的线性主部。（3）特别当时，有，故自变量的微分就等于自变量的增量。于是函数的微分常记为所以 导数也常称为微商。二、微分的几何意义对于某一个，

13、曲线上有一个确定点与之对应，当自变量有微小增量时，就对应于曲线上另一点。从图可知:，过点作曲线的切线，它的倾角为，则，即 。：当由变到时，曲线在点处切线上的纵坐标的相应增量。当很小时，比小得多。因此在点的邻近，我们可以用切线来近似代替曲线段。三、初等函数的微分公式与微分运算法则1由与基本初等函数的导数公式，可得相应的微分公式。2函数和、差、积、商的微分法则；。3复合函数的微分运算法则其中。由于，所以上式也可写作这与以为自变量的函数的微分在形式上完全相同。这个性质通常称为一阶微分形式的不变性。例3 求（1）；（2）；（3）例4 在下列等式左端的括号中填上适当的函数，使等式成立。（1）；（2）。四

14、、微分在近似运算中的应用当，很小时，有所以 或 如果与都容易计算，那么可利用上面两式来近似计算或。特别取，有 常用近似公式（较小） （1）； （2）；（3）； （4）；（5）。例5 有一批半径为的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为。估计每只球需用铜多少（铜的密度是）？例6 （1）计算的近似值；（2）计算的近似值。作业: 习题2-53(4)(7)(8)(9); 4; 8(1).小结一、本章基本内容 （一）基本概念与结论1导数的概念（1）。（2）几何意义：表示曲线在点处切线的斜率。（3）如果函数的导数存在，则称为的二阶导数：，。可类似定义阶导数。2微分的概念（1）如果，其中是与无关的常数，则称在点可微，而称为的微分。微分就是函数增量的线性近似。（2）几何意义：给定自变量增量，就是曲线切线上点的纵坐标的相应增量。3可导、可微与连续之间的关系（1）可导可微，此时。（2）可导连续，反之不然。在点连续，但不可导，从几何上看大致有两种情况（图示）：尖点：如在点处；切线垂直于轴：如如在点处。4一阶微分形式的不变性不论是自变量还是中间变量，对函数都有。（二）计算1四则运算法则与链式法则；2基本初等函数的导数公式。3隐函数、参数方程确定的函数的导数（1）设是由确定的隐函数，求：方程两