第二节换元积分法

1、第二节 换元积分法要求：掌握用第一、二换元积分法求不定积分。重点：第一、二换元积分法。难点：选择恰当的变量代换。作业：习题42（）问题提出： 利用不定积分的基本积分表及性质可以求出一些不定积分，但它毕竟是有限的，还有不少积分只靠上述方法是解决不了的，如、为了求出更多的不定积分，有必要研究求不定积分的其它方法，换元积分法是本节要介绍的一种方法.换元积分法其意思是用新变量去代换原变量，使原被积函数式变成一个比较简单的或积分表中已有的形式.它实质为复合函数求导运算的逆运算按引入新变量的方式分第一换元积分法和第二换元积分法.一、第一换元积分法复合函数的微分 已知函数，则复合函数，因此导数 ，微分 如

2、函数，令，得，导数 ，微分 ，上式两边积分得，.再如.这里我们的思想方法是与复合函数求导方法一样，引入中间变量来化简运算.定理1 设函数具有原函数，且可导，则函数是函数的原函数，即有换元公式. 这个公式称第一换元公式（或凑微分法）. 证明思路，上式两边求导，得.计算方法（1）分被积式为两部分和，且的原函数易求； （2）对该积分求出的原函数中的换为函数，即.如 ，要想掌握第一换元法要熟记几个常用的微分：， ，.下列分类举例：1直接引入新变量（乘个常数或除个常数即可）例1求不定积分.解.一般地 积分例2求不定积分.解 .例3求不定积分.解 .例4求不定积分.解.2通过代数变形后再引入新变量例5求不

3、定积分.解.即有公式=.例6求不定积分.解 .例7求不定积分.解即有公式利用上述公式计算不定积分.解.例8求不定积分.解 因为，所以 .即有公式.3利用三角公式变形的积分常用的三角公式 ， .例9求不定积分.解即有公式.同理得公式.例10求不定积分.解.即有公式利用互余关系可求不定积分.解.即有公式 .得到一些以后经常用到的需要记住的积分公式.（16）； （17）；（18）；（19）；（20）； （21）；（22）.例11求不定积分.解.例12求不定积分.解.对于被积函数是或时，均可利用公式，将被积函数降为一次方，再积分.例13求不定积分.解.对于被积函数是或时，将其化为或及或的一次方次，对于

4、（），利用公式，对于或，利用或，把被积函数化为只含的函数，再积分.例14求不定积分.解 .例15求不定积分.解.例16求不定积分.解.凡被积函数是与类函数相乘时，均可用公式与，变形后再积分.例17求不定积分.解凡被积函数为时，需用积化和差公式化为两项和后再积分.，.说明第一换元法在积分中常用，如何选择适当的变量代换，却没有一般的方法可循，这种方法的特点是凑微分.要掌握该方法，需要熟记一些函数的微分公式.如几个典型的凑微分法， ， ， ， ，.并善于根据这些公式，从被积式中凑出合适的微分因子.另外，还需熟悉一些典型的例子，并要多多练习，不断积累经验.二、第二换元法由第一换元法例题可以看出，它们的

5、主要思想是通过适当选择新变量，使原不定积分的被积式化为，而要容易求出原函数，使.由此得出不定积分，即.但用第一换元法可以解决的不定积分的类型仍受到限制，它既要求积分式适当分解为，又同时的原函数容易求，有些函数很难做到这一点.例如 不定积分. 解 求这个积分的主要困难是，所以令，则 .这就提示我们对一般不易用第一换元法求原函数的不定积分，能否用变量代换，使原积分的被积式，并且的原函数易求出，这就是我们要介绍的第二换元法.定理2 设是单调、可导函数，并且，又设具有原函数，则有换元公式.其中是的反函数.证明 设的原函数为，记，利用复合函数的求导法则及反函数的导数公式，得到.即是的原函数.所以有.下面

6、举例说明公式的应用.1三角代换例1计算不定积分.解 因为被积函数的定义域为，所以分区间讨论.（1）当时，设，则， 为了保证反函数的单值、单调性，限制.则，于是 （2）当时，令，那么，由上面讨论，得.综上所述，当及时，有公式.例2计算不定积分.解 设，则，则，所以 又因为，且，所以 由上两例可得公式 （23）、（24）.例3计算不定积分.解例4计算不定积分.解 设，.又因为，于是 .一般被积函数含有，因子，采用三角代换法.（1）当被积函数中含时，设；（2）当被积函数中含时，设；（3）当被积函数中含时，设.另外，还可用公式计算之.如.下面利用前面给出的24个公式计算下列各题.例5计算不定积分.解 例6计算不定积分.解 2