第01章 轴向拉伸与压缩

1、11 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例12 内力、截面法、内力、截面法、轴力及轴力图轴力及轴力图13 截面上的应力及强度条件截面上的应力及强度条件 第一章第一章 轴向拉伸和压缩（轴向拉伸和压缩（Axial Tension） 1-4 1-4 拉压杆的变形拉压杆的变形 弹性定律弹性定律1-5 1-5 拉压杆的弹性应变能拉压杆的弹性应变能1-6 1-6 拉压超静定问题及其处理方法拉压超静定问题及其处理方法1-7 1-7 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能11 轴向拉压的概念及实例轴向拉压的概念及实例轴向拉压的外力特点：轴向拉压的外力特点：外力的合力作用线与杆的轴线重合。

2、一、概念一、概念轴向拉压的变形特点：轴向拉压的变形特点：杆的变形主要是轴向伸缩，伴随横向 缩扩。轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向压缩，对应的力称为压力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。轴向拉伸，对应的力称为拉力。力学模型如图力学模型如图PPPP工工程程实实例例二、二、一、内力一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。力系的合成（附加内力）。12 内力内力 截面法截面法 轴力及轴力图轴力及轴力图二、截面法二、截面法 轴力轴力 内力的计算是

3、分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。1. 截面法的基本步骤：截面法的基本步骤： 截开截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。代替代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。平衡平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来 计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力 对所留部分而言是外力）。2. 轴力轴力轴向拉压杆的内力，用轴向拉压杆的内力，用N 表示。表示。例如： 截面法求N。 0 X0 NPNP APP简图APPPAN截开：截开：代替：代替：平衡：平衡：反映出轴力与截面位置变化关系，较直观

4、；确定出最大轴力的数值及其所在横截面的位置，即确定危险截面位置，为强度计算提供依据。三、三、 轴力图轴力图 N (x) 的图象表示。的图象表示。3. 轴力的正负规定轴力的正负规定: : N 与外法线同向,为正轴力(拉力)N与外法线反向,为负轴力(压力)N 0NNN 0NNNxP+意意义义例例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。解： 求OA段内力N1：设置截面如图ABCDPAPBPCPDOABCDPAPBPCPDN10 X01DCBAPPPPN 04851PPPPNPN21同理，求得AB、BC、CD段内力分别为： N2= 3PN3

5、= 5PN4= P轴力图如右图BCDPBPCPDN2CDPCPDN3DPDN4Nx2P3P5PP+轴力(图)的简便求法： 自左向右:轴力图的特点：突变值 = 集中载荷 遇到向左的P， 轴力N 增量为正；遇到向右的P ， 轴力N 增量为负。5kN8kN3kN+3kN5kN8kN解：x 坐标向右为正，坐标原点在 自由端。取左侧x 段为对象，内力N(x)为：qq LxO2021d)(kxxkxxNx2max21)(kLxN例例2 图示杆长为L，受分布力 q = kx 作用，方向如图，试画出 杆的轴力图。Lq(x)Nxxq(x)NxO22kL一、应力的概念一、应力的概念 13 截截面上的应力及强度条件

6、面上的应力及强度条件问题提出：问题提出：PPPP1. 内力大小不能衡量构件强度的大小。2. 强度：内力在截面分布集度应力； 材料承受荷载的能力。1. 定义：定义：由外力引起的内力。 工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开始。 P AM平均应力：平均应力：全应力（总应力）：全应力（总应力）：APpMAPAPpAMddlim02. 应力的表示：应力的表示：全应力分解为：全应力分解为：p M ANANAddlim0ATATAddlim0垂直于截面的应力称为垂直于截面的应力称为“正应力正应力” ( (Normal Stress

7、) )；位于截面内的应力称为位于截面内的应力称为“剪应力剪应力”( (Shearing Stress) )。 变形前1. 变形规律试验及平面假设：变形规律试验及平面假设：平面假设：平面假设：原为平面的横截面在变形后仍为平面。 纵向纤维变形相同。abcd受载后PP d ac b二、拉（压）杆横截面上的应力二、拉（压）杆横截面上的应力均匀材料、均匀变形，内力当然均匀分布。2. 拉伸应力：拉伸应力：N(x)PAxN)( 轴力引起的正应力 ： 在横截面上均布。危险截面：内力最大的面，截面尺寸最小的面。危险点：应力最大的点。3. 危险截面及最大工作应力：危险截面及最大工作应力：)()(max( maxx

8、AxN 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。4. 公式的应用条件：公式的应用条件：6. 应力集中（应力集中（Stress Concentration）：）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。5. Saint-Venant原理：原理： 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作用方式的影响。Saint-Venant原理与应力集中示意图(红色实线为变形前的线，红色虚线为红色实线变形后的形状。)变形示意图：abcPP应力分布示意图：7. 强度设计准则（强度设计准则（Strength Design）：）： )()(max( maxxAxN其中：-许用应力， max-危险点的最

9、大工作应力。设计截面尺寸：设计截面尺寸：maxminNA ; maxAN )N(fPi依强度准则可进行三种强度计算： 保证构件不发生强度破坏并有一定安全余量的条件准则。 max校核强度：校核强度：许可载荷：许可载荷： 例例3 已知一圆杆受拉力P =25 k N，直径 d =14mm，许用应力 =170MPa，试校核此杆是否满足强度要求。解： 轴力：N = P =25kNMPa1620140143102544232max.d PAN应力：强度校核： 170MPa162MPamax结论：此杆满足强度要求，能够正常工作。例例4 已知三铰屋架如图，承受竖向均布载荷，载荷的分布集度为：q =4.2kN/

10、m，屋架中的钢拉杆直径 d =16 mm，许用应力=170M Pa。 试校核刚拉杆的强度。钢拉杆4.2mq8.5m 整体平衡求支反力解：钢拉杆8.5mq4.2mRARBHAkN519 00 0.RmHXABA应力：强度校核与结论： MPa 170 MPa 131 max 此杆满足强度要求，是安全的。MPa1310160143103264d 4 232max .PAN 局部平衡求 轴力： qRAHARCHCNkN326 0.NmC 。 sin; /hL/NABDBBD例例5 简易起重机构如图，AC为刚性梁，吊车与吊起重物总重为P，为使 BD杆最轻，角 应为何值？ 已知 BD 杆的许用应力为。;B

11、DBDLAV 分析：xLhPABCDPxhNmBDA)ctg() sin( , 0coshPLNBD /NABD BD杆面积A：解： BD杆内力N( )： 取AC为研究对象，如图 YAXANBxLPABCYAXANBxLPABC 求VBD 的最小值：;2sin 2sinPL/AhALVBD2 45minoPLV,时三、拉三、拉(压压)杆斜截面上的应力杆斜截面上的应力设有一等直杆受拉力P作用。求：斜截面k-k上的应力。 PPkka解：采用截面法由平衡方程：Pa=P则：aaaAPp Aa：斜截面面积；Pa：斜截面上内力。由几何关系：aaaacos cosAAAA代入上式，得：aaaaacoscos

12、0APAPp斜截面上全应力：aacos0pPkkaPa aPPkka斜截面上全应力：aacos0pPkkaPa a分解：pa aaaa20coscos paaaaaa2sin2sincossin00p反映：通过构件上一点不同截面上应力变化情况。当a = 90时，0)(mina当a = 0,90时，0| mina当a = 0时， )(0maxa(横截面上存在最大正应力)当a = 45时，2|0maxa(45 斜截面上剪应力达到最大) a a a aa a2 2、单元体：、单元体：单元体构件内的点的代表物，是包围被研究点的 无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质a、平行面上，应力均布；

13、b、平行面上，应力相等。3 3、拉压杆内一点、拉压杆内一点M 的应力单元体的应力单元体: :1.1.一点的应力状态：一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点的各个截面 上的应力情况，称为这点的应力状态。补充：补充：PM aaaaacossin cos 020取分离体如图3， a 逆时针为正； a 绕研究对象顺时针转为正；由分离体平衡得：aaaa2sin 2 )2cos(1 2 :00或4 4、拉压杆斜截面上的应力、拉压杆斜截面上的应力 aax图3MPa7 .632 / 4 .1272 /0maxMPa5 .95)60cos1 (24 .127)2cos1 (20aaMPa2 .5560sin

14、24 .1272sin20aaMPa4 .127 1014. 3100004 20AP例例6 直径为d =1 cm 杆受拉力P =10 kN的作用，试求最大剪应力，并求与横截面夹角30的斜截面上的正应力和剪应力。解：拉压杆斜截面上的应力，直接由公式求之： 例例7 7图示拉杆沿mn由两部分胶合而成,受力P，设胶合面的许用拉应力为=100MPa ；许用剪应力为=50MPa ，并设杆的强度由胶合面控制,杆的横截面积为A= 4cm，试问:为使杆承受最大拉力,a角值应为多大?(规定: a在060度之间)。kN50,6 .26BBPa联立(1)、(2)得：PPmna解：) 1 ( cos2aaAP)2(

15、cossinaaaAPPa6030B kN2 .463/ 41050460sin/60/cos260APkN50maxP(1)、(2)式的曲线如图(2)，显然，B点左 侧由剪应力控制杆的强度，B点右侧由正应力控制杆的强度，当a=60时，由(2)式得 kN44.553/ 41060460sin/60/cos260,1APBkN44.55maxP解(1)、(2)曲线交点处：kN4 .54;3111BBPa?;MPa60maxP讨论：若Pa6030B1 1 1、杆的纵向总变形：、杆的纵向总变形： 3 3、平均线应变：、平均线应变：LLLLL1d 2 2、线应变：单位长度的线变形。、线应变：单位长度的

16、线变形。一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变LLL1d1 14 4 拉压杆的变形拉压杆的变形 弹性定律弹性定律abcdxL4 4、x点处的纵向线应变：点处的纵向线应变：xxxdlim 06 6、x点处的横向线应变：点处的横向线应变：5 5、杆的横向变形：、杆的横向变形：accaacacacPP d ac bxxdL1二、拉压杆的弹性定律二、拉压杆的弹性定律APLL dEANLEAPLLd1 1、等内力拉压杆的弹性定律、等内力拉压杆的弹性定律2 2、变内力拉压杆的弹性定律、变内力拉压杆的弹性定律)(d)()d(xEAxxNxLLxEAxxNxL)(d)( )d(dniiiiiAELNL1

17、d内力在内力在n段中分别为常量时段中分别为常量时“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PPN（x）xd xN(x)dxx 1)()(1)d(ExAxNEdxx3 3、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律 1:E即4 4、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数） :或三、是谁首先提出弹性定律三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。C1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中

18、弧线；求各杆的变形量Li ，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。例例6 小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2P1L2LC2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L2a1L2LBuBvB1LuB解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：aasinctg21LLvB060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例7 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。解：方法1：小变形放大图

19、法 1）求钢索内力：以ABCD为对象2) 钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXAmm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oL1 15 5 拉压杆的弹性应变能拉压杆的弹性应变能一一、弹性应变能：弹性应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存 与杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“U”表示。二、二、 拉压杆的应变

20、能计算：拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。) d)(d (xEAxNx xxNWUd)(21ddxEAxNUd2)(d2LxEAxNUd2)( 2niiiiiAELNU122内力为分段常量时N（x）xd xN(x)dxx三、三、 拉压杆的比能拉压杆的比能 u： 单位体积内的应变能。21dd)(21ddxAxxNVUuN（x）xd xN(x)dxxdxxxddN(x)N(x)xd)(xNkN55.113/PT解：方法2：能量法： （外力功等于变形能） （1）求钢索内力：以ABD为对象：060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTm例例7 设横梁ABCD为

21、刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。800400400CPAB60 60PABCDTTYAXAEALTPC222mm79. 0 36.76177206 . 155.11 22PEALTCMPa1511036.7655.119AT（2) 钢索的应力为：（3) C点位移为：800400400CPAB60 60能量法能量法：利用应变能的概念解决与结构物：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。称为能量法。1 16 6 拉压

22、超静定问题及其处理方法拉压超静定问题及其处理方法1、超静定问题、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法一、超静定问题及其处理方法2、超静定的处理方法、超静定的处理方法：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。例例8 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2、 L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A、 A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E、E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABDaa123解：、平衡方程:0sinsin21aaNNX0coscos321PNNNYaaPAaaN1N3N211111

23、AELNL 33333AELNL几何方程变形协调方程：物理方程弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:acos31LLacos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ; cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNaaaCABDaa123A11L2L3L平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的方法步骤：、超静定问题的方法步骤：例例9 9 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=1

24、60M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和补充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求结构的许可载荷： 方法1:角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP m

25、m8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若将钢的面积增大另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？ 若将木的面积变为若将木的面积变为25mm，又又怎样？怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:、几何方程解：、平衡方程:2、静不定问题存在装配应力静不定问题存在装配应力。0sinsin21aaNNX0coscos32

26、1NNNYaa13cos)(LLa二、装配应力二、装配应力预应力预应力1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。 如图，3号杆的尺寸误差为，求各杆的装配内力。ABC12ABC12DA13aaacos)(33331111AELNAELN、物理方程及补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得: / cos21cos33113211321AEAEAELNNaa / cos21cos23311331133AEAEAELNaaA1aaN1N2N3AA13L2L1L1 1、静定问题无温度应力。、静定问题无温度应力。三三 、装配温度、装配温度 如图，1、2号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由T1变到T2时,

27、求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为ai ; T= T2 -T1)ABC12CABD123A11L2L3L2 2、静不定问题存在温度应力。、静不定问题存在温度应力。CABD123A11L2L3L、几何方程解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321NNNYcos31LLiiiiiiiLTAELNLa、物理方程：PAaaN1N3N2CABD123A11L2L3L、补充方程aacos)(333333111111LTAELNLTAELN解平衡方程和补充方程，得: / cos21)cos(331132311121AEAETAENNaa / cos21cos)cos(2331132

28、31113AEAETAENaa aaaaN1N2例例10 如图，阶梯钢杆的上下两端在T1=5 时被固定,杆的上下两段的面积分别 =cm2 ， =cm2，当温度升至T2 =25时,求各杆的温度应力。 (线膨胀系数a =12.5 ； 弹性模量E=200GPa)C1106、几何方程：解：、平衡方程：021NNY0NTLLL、物理方程解平衡方程和补充方程，得:kN 3 .3321 NN、补充方程2211 ; 2EAaNEAaNLTaLNTa22112EANEANTa、温度应力MPa 7 .66111ANMPa 3 .33222AN1 17 7 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能一、试验条件及试验仪器一、试验条件及试验仪器1 1、试验条件：常温、试验条件：常温(20)(20)；静载（及其缓慢地加载）；静载（及其缓慢地加载）； 标准试件。标准试件。dh力学性能：材料在外力作用下表现的有关强度、变形方面的特性。2 2、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。、试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）。EEAPLL二、低碳钢试件的拉伸图二、低碳钢试件的拉伸图( (P- - L图图) )三、低碳钢试件的应力三