第10章梁与结构的位移计算

1、第第10章章 梁与结构的位移计算梁与结构的位移计算1工程中的变形问题工程中的变形问题2挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程3积分法求梁的挠度和转角积分法求梁的挠度和转角4叠加法求挠度和转角叠加法求挠度和转角5单位荷载法单位荷载法6图乘法图乘法7弹性体互等定理弹性体互等定理8结构的刚度校核结构的刚度校核1 工程中的变形问题工程中的变形问题1 工程中的变形问题工程中的变形问题1、梁的挠曲线：一条光滑、连续而平坦的曲线。 挠曲线方程xfy 2、梁横截面位移 （1）挠度y横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 （2）转角横截面绕中性轴所转的角位移。 3、挠度y和转角的关系：ydxdy4、挠度、转角的正负

2、号规定：()()： 逆时针为正、顺时针为负。 y：2挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程在纯弯曲情况下，梁轴线曲率的表达式为： zEIM1横 力 弯 曲1( )( )zM xxEI曲率公式： 223221( )1d ydxkxdydx平坦曲线： 1dxdy 221( )d yxdx2挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程22( )zd yM xdxEI3积分法计算梁的变形 22zM xd ydxEI 22d yEIyEIM xdx 积分一次，可得转角方程： ( )dyEIEIyEIM xdxCdx再积分一次，可得挠度方程： ( )EIyM xdx dxCxD式中：C、D积分常数 *积分常数由边界

3、条件、光滑连续条件确定。例题图示悬臂梁。B端受集中力P的作用。EI为常数，试求梁的最大的挠度和最大的转角。解：解：1、列弯矩方程：、列弯矩方程： M xPlPxlx02、列挠曲线近似微分方程：、列挠曲线近似微分方程： EIyM xPlPx 积分一次得：积分一次得：212EIyEIPl xP xC 再积分一次得：再积分一次得：231126EIyPl xP xC xD 3、确定积分常数：、确定积分常数：边界边界条件条件0, 0yx0, 0yx代入代入、式式 C=0D=02112Pl xP xEI 2311126yPl xP xEI 转角转角挠度挠度4、方程：方程：2max2BPlEI3max3BP

4、lfyyEIy例题图示简支梁，受均布荷载q作用，EI为常数，试求梁的最大挠度f和两端截面的转角。 324AqlEI 324BqlEI45384qlfEI 解：解：1、列弯矩方程：、列弯矩方程： 21122M xqlxqxlx 02、列挠曲线近似微分方程：、列挠曲线近似微分方程： 21122EIyM xqlxqx 积分一次得：积分一次得：231146EIyEIql xq xC 再积分一次得：再积分一次得：33111224EIyql xq xC x D 3、确定积分常数：、确定积分常数：边界边界条件条件0,0 xy,0 xl y23311114624ql xq xqlEI3431111122424

5、yql xq xqlxEI转角转角挠度挠度4、方程：方程：FAyFBy3124Cql0D 4叠加法计算梁的变形 理论依据 叠加原理： 总变形=分变形例题 已知简支梁受力如图示，q、l、EI均为已知。求C 截面的挠度yC ；B截面的转角B1）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32）查表得3种情形下C截面的挠度和B截面的转角。EIqlB24313216BqlEIEIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解yC1yC2yC33） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和 )(3841116483845444431EIqlEIq

6、lEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB例题已知EI为常数，试用叠加法求图示外伸梁截面C的挠度。 例题已知EI为常量，试用叠加法求图示悬臂梁C截面的挠度。 5单位荷载法单位荷载法结构的位移结构的位移 (Displacement of Structures)(Displacement of Structures)AAA位移位移转角位移转角位移线位移线位移AAxAyA点线位移点线位移A点水平位移点水平位移A点竖向位移点竖向位移A截面转角截面转角FAxAy功的概念：功的概念：F sWFcoss功功= =力乘以在力的方向上所发生的位移。力

7、乘以在力的方向上所发生的位移。力力力偶力偶广义力广义力线位移线位移角位移角位移广义位移广义位移一点的线位移一点的线位移两点的相对线位移两点的相对线位移一个截面转角一个截面转角两个截面相对转角两个截面相对转角5单位荷载法单位荷载法5单位荷载法单位荷载法一、外力功的计算一、外力功的计算 常力做功常力做功 变力做功变力做功 FW位移与静力荷载位移与静力荷载dyyFFyyFFy0012FWdWydyFydWF dy5单位荷载法单位荷载法一、外力功的计算一、外力功的计算 常力做功常力做功 变力做功变力做功 WF0012FWdWydyF力力力偶力偶广义力广义力线位移线位移角位移角位移广义位移广义位移一点的

8、线位移一点的线位移两点的相对线位移两点的相对线位移一个截面转角一个截面转角两个截面相对转角两个截面相对转角轴向拉伸轴向拉伸lFWN21扭转扭转TW21弯曲弯曲MW21剪切剪切uFWQ215单位荷载法单位荷载法二、线弹性杆的变形能二、线弹性杆的变形能 dxd( )M x( )( )M xdM x( )QFx( )QFx21( )( )22MxdVM x ddxEI2( )2llMxVdVdxEI微段的弯曲应变能微段的弯曲应变能 全梁的弯曲应变能则可积分上式得到全梁的弯曲应变能则可积分上式得到 ( )dxM xddxEI2( )2FFlMx dxVEIBA1F3F2FFC1yA3yAcy2yBAF

9、CFyBA1F3F2FC1y3ycy2y2( )2FilMxVdxEIFCVVVF y全2( )( )2FiFlMxMxdxEI22( )( )2( )( )2FiFFiFlMxMxMx MxdxEI( )( )FiFClMx MxF ydxEI( )( )FiClMx M xydxEI( )( )FFiClMxMxFFydxFEI( )( )FlMx M xdxEI 例：求刚架C点的竖向位移。x221qxFM221qlxxl1MABCllq( )224112200( )( )58llFCVxqxlqlM x MxqldxdxdxEIEIEIEI1F 例例:1)求求A点水平位移点水平位移2)求

10、求A截面转角截面转角3)求求AB两点相对水平位移两点相对水平位移4)求求AB两截面相对转角两截面相对转角1F 1M 1F 1M 步骤步骤:1）虚设一单位荷载）虚设一单位荷载(单独作图单独作图) 2）分别求出两种状态下的弯矩图）分别求出两种状态下的弯矩图 3）代入公式进行计算）代入公式进行计算30015()()6llFABMMFldxFx x dxFx l dxEIEIEI FABll2001(11)llFABMMFldxFxdxFxdxEIEIEI CD6 图乘法6 6 图乘法图乘法EIEIEIEI( )( )FlMx M xdxEI 梁和刚架：梁和刚架：一、问题的提出一、问题的提出ACB42

11、2001115()( )228llCyqlqxx dxqll dxEIEI 1F MMi=xtgyxMFdxxy0 x0注：注：y0=x0tg表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a）EI=常数；常数；b）直杆；）直杆；c）两个弯矩图）两个弯矩图 至少有一个是直线。至少有一个是直线。竖标竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积面积与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。二、图乘公式二、图乘公式FEIydxEIMM0wyEI01wxtg

12、EI01waBAFdxxMtgEI1adsEIMMF直杆直杆dxEIMMFCEIEI1dxMMFBAFdxxtgMEI1a是直线直线M三、三、几种常见图形的面积和形心的位置：几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线=hl/3二次抛物线二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点EIEI458CyqlEI1.根据拟求位移虚

13、设单位力。根据拟求位移虚设单位力。2.内力计算。内力计算。（1）荷载作用下弯矩图）荷载作用下弯矩图MF。（2）单位力作用下弯矩图。）单位力作用下弯矩图。3.图乘求位移。图乘求位移。1yl43311135()( )2648CCyyqlqllqllEIEIEIw 231122ABqllqlw 231 113 26BCqllqlw 234ylACB四、图乘法计算位移的一般步骤四、图乘法计算位移的一般步骤1F 例例1：求：求B端的转角。端的转角。1.1.根据拟求位移做单位力状态。根据拟求位移做单位力状态。2.2.内力计算。内力计算。（1 1）荷载作用下内力图）荷载作用下内力图MF。（2 2）单位力作用

14、下内力图。）单位力作用下内力图。3.3.图乘求位移。图乘求位移。解解: :211() 122CByPlPl lEIEIEIw ( )21(1 )22CByPlPllEIEIEIw( )。Fl/2l/2EIABm=11/2Fl/421 112 4216BPlPllEIEI ql2/2MMFMFF=1lMlqAB241 133 248ByqlqlllEIEI例例2：求梁：求梁B点转角位移。点转角位移。例例3：求梁：求梁B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4 当图乘法的适用条件不满足时的处理当图乘法的适用条件不满足时的处理a)曲杆或曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积）时，只能用积分法求位移；分法求

15、位移；b)当当EI分段为常数或分段为常数或 、 均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应分段图乘再叠加。FMM FFaaa例例4：求图示梁中点的挠度。：求图示梁中点的挠度。FaFaMFF=13a/4M3243122223 22223( )24aaFa aaaFaEIFaEI a/2a/21 1 332 4aaFaEI Fl/2l/2C例例5：求图示梁：求图示梁C点的挠度。点的挠度。MFFlCF=1l/2Ml/6l6EIFl123=FlEIC212=5Fl/6？EIFl4853Fl65llEIyC22210w( )a a）直线形乘直线形）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/312y1y2b

16、cadbdacl226dc323bl2dc332al2yydxMMki2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。否则取负。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）32649非标准图形乘直线形非标准图形乘直线形S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649labdch+bah232dchl226bcadbdaclSb)b)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形11ly1y

17、2y3M23ly3221yly12832323qllqlw42212321qllqlww8321232432414222EIqllqllqllqlEI1332211BxyyyEIwwwqllql2/2ql2/8qlql/2ql/2MF123B练习：计算练习：计算B B点水平位移点水平位移F=1()例例6 6：求跨中：求跨中C C点的竖向位移点的竖向位移1.1.根据拟求位移做单位力状态。根据拟求位移做单位力状态。2.2.内力计算。内力计算。（1 1）荷载作用下内力图）荷载作用下内力图MF。（2 2）单位力作用下内力图。）单位力作用下内力图。3.3.图乘求位移。图乘求位移。解解: :2412()3

18、8448CCyyqllqllEIEIEIw( )( )242255()38232384CCyyqlllqlEIEIEIw。对吗？对吗？H1EI2EI1CABH2F11112111222112233312112112()23(22)6()33CCHyFHHHEIEIHHFHHFHHFHHFHHEIFHF HHEIEIw F=11.1.根据拟求位移做单位力状态。根据拟求位移做单位力状态。2.2.内力计算。内力计算。（1 1）荷载作用下内力图）荷载作用下内力图MF。（2 2）单位力作用下内力图。）单位力作用下内力图。3.3.图乘求位移。图乘求位移。解解: :例例7 7：求：求C C点的水平位移点的水

19、平位移。MFFH2MH2FH1H1333121122()333CHFHFHFHEIEIEI1.当两图均为直线时，当两图均为直线时，y0不受限。不受限。2.若一图是曲线，另一图是折线，应分段图乘。若一图是曲线，另一图是折线，应分段图乘。3.若图形较复杂，形心不便确定，可将其分解为简单图形。若图形较复杂，形心不便确定，可将其分解为简单图形。4.若杆各段若杆各段EI不同，应分段图乘。不同，应分段图乘。5.虚设单位力。虚设单位力。求线位移求线位移集中力集中力求角位移求角位移集中力偶集中力偶求相对位移求相对位移一对力一对力五、图乘规律五、图乘规律 练习、练习、 已知已知 EI 为常数，求为常数，求C、D

20、两点相对水平位移两点相对水平位移 。CD q8/2qlh11hMFM241238()12cCDyqllhEIEIqhlEIw 解：解：ClqDhAB4kN4kN.m2kN/m12kN.m4m4mEIAB求求B5kN12844MFkN.m1MkN.mqllEIB122411 32211( )22338 224Byqlll qllqllEIEIql2/83ql2/2MFlM求求B点竖向位移。点竖向位移。5 . 04181425 . 082641412 0.52 8 0.56BEI 75. 04432203EI ( )练习练习 、 图示梁图示梁EI 为常数，求中点为常数，求中点C的竖向位移。的竖向位

21、移。iM2/ lAl/2qBCl/2MF2/2ql1C22311 33()3824 22845()128cCyyqllllqllEIEIqlEIw8/2ql231 11322 21( )24ccyyqlllEIEIqlEIw 32/2qliM2/ l1C)(38417)221()32232()831232()2221(14222EIqllqllqlqlllEIEIyccwAl/2qBCl/2MF2/2ql8/2ql2/2ql8/2ql解法一解法一iM2/ l1C)(38417)221()82()232()4221()243()8231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIyccw

22、q8/2ql4/2ql2/qlAl/2qBCl/2MF2/2ql8/2ql8/2ql8/2qlq8/2ql2/ql解法二解法二应用条件：应用条件：1)1)应力与应变成正比应力与应变成正比; ; 2) 2)变形是微小的。变形是微小的。 即即: :线性变形体系。线性变形体系。一、功的互等定理一、功的互等定理功的互等定理功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态在任一线性变形体系中，状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的位移上作的功的功V1等于状态等于状态的外力在状态的外力在状态的位移上作的功的位移上作的功V2。即：。即： V1= V27 7 弹性体的互等定理弹性体的互等定理1F1112221212

23、2F11112221121122VFFF 22221112211122VFFF112221FF1F2F12221F2F2111二、位移互等定理二、位移互等定理F1F2 位移互等定理位移互等定理：由单位荷载由单位荷载F1=1所引起的与所引起的与F2相应的位移相应的位移21等于由单位等于由单位荷载荷载F2=1所引起的与所引起的与F1相应的位移相应的位移12 。2112jijijFdFF121212FF212121称为位移影响系数，等于称为位移影响系数，等于Fj=1所引起的与所引起的与Fi相应的位移。相应的位移。注意：注意：1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。）这里荷载可以是广义荷载，

24、位移是相应的广义位移。 2）12与与21不仅数值相等，量纲也相同。不仅数值相等，量纲也相同。2112dd三、反力互等定理三、反力互等定理12r11r21r22r12 反力互等定理：反力互等定理：由单位位移由单位位移1=1所引起的与位移所引起的与位移2相应的反力相应的反力r21等于等于由单位位移由单位位移 2=1所引起的与位移所引起的与位移 1相应的反力相应的反力r12 。 注意：注意：1）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。）这里支座位移可以是广义位移，反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用于超静定结构。）反力互等定理仅用于超静定结构。2112rr112121212200rrrr 211 Fl/2l/23Fl/16CAC例：已知图例：已知图结构的弯矩图结构的弯矩图求同一结构求同一结构由于支座由于支座A A的转动的转动引起引起C C点的挠度。点的挠度。解：解：V12=V21V21=0V12=FC3Fl/16 0 C=3l /16例：图示同一结构的两种状态，例：图示同一结构的两