第3章连续时间信号与系统的频域分析

1、1第第3章章 连续时间信号与系统的频域分析连续时间信号与系统的频域分析n3.1 周期信号的傅里叶级数周期信号的傅里叶级数n3.2 傅里叶变换傅里叶变换n3.3 LTI连续系统的频域分析连续系统的频域分析n3.4 抽样定理抽样定理n3.5 调制与解调调制与解调1 12学习要求学习要求n掌握信号的傅里叶级数和傅里叶变换分析法，掌握信号的傅里叶级数和傅里叶变换分析法，对一些常用信号能进行频谱分析对一些常用信号能进行频谱分析n熟悉信号的时域特性和频域特性的对应关系熟悉信号的时域特性和频域特性的对应关系n弄清信号频谱的概念弄清信号频谱的概念n卷积定理是系统频谱分析的基础，要学会应卷积定理是系统频谱分析的

2、基础，要学会应用用n熟悉傅里叶变换的性质熟悉傅里叶变换的性质n掌握抽样定理掌握抽样定理2 23n本章讨论的路线：本章讨论的路线：n傅里叶级数正交函数傅里叶级数正交函数傅里叶变换，建立傅里叶变换，建立信号频谱的概念；信号频谱的概念；n通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研通过典型信号频谱以及傅里叶变换性质的研究，掌握傅里叶分析方法的应用。究，掌握傅里叶分析方法的应用。n对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里对于周期信号而言，进行频谱分析可用傅里叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅叶级数或傅里叶变换；傅里叶级数相当于傅里叶变换的一种特殊表达形式。里叶变换的一种特殊表达形式。n最后对研究周期信号与

3、抽样信号的傅里叶变最后对研究周期信号与抽样信号的傅里叶变换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字换，并介绍抽样定理，抽样定理奠定了数字通信的理论基础。通信的理论基础。3 34n时域分析中，以冲击函数为基本函数，任意时域分析中，以冲击函数为基本函数，任意输入信号可分解为一系列冲击函数之和，而输入信号可分解为一系列冲击函数之和，而 yf(t)=f(t) * h(t)n频域分析中，以正弦函数和虚指数信号频域分析中，以正弦函数和虚指数信号 为基本信号，任意输入信号可分解为一系列为基本信号，任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信号之和不同频率的正弦信号或虚指数信号之和 这里，用于系统分析的

4、独立变量是频率这里，用于系统分析的独立变量是频率 ejwt4 45n从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交展开的基础上发展而产生的，这方面的正交展开的基础上发展而产生的，这方面的问题也称为傅里叶分析（频域分析），将信问题也称为傅里叶分析（频域分析），将信号进行正交分解，即分解为三角函数或复指号进行正交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。数函数的组合。n频域分析将时间变量变换为频率变量，揭示频域分析将时间变量变换为频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与了信号内

5、在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。号的频谱、带宽以及滤波、调制等重要概念。5 563.1.1 三角函数形式的傅里叶级数三角函数形式的傅里叶级数n1、定义、定义满足满足狄里赫利条件狄里赫利条件的周期信号的周期信号fT(t)，可以展开可以展开成三角函数形式傅里叶级数。成三角函数形式傅里叶级数。设设fT (t)周期为周期为T，角频率角频率w0=2pTfT(t)=a0+(bncosnw0t+cnsinnw0t)n=1展开式为：展开式为：(3.1.1)63.1 周期信号的傅里叶级数67n系数公

6、式为系数公式为a0=1TfT(t)t0t0+Tdtbn=2TfT(t)t0t0+Tcosnw0tdt,(n=1,2,3,)cn=2TfT(t)t0t0+Tsinnw0tdt,(n=1,2,3)其中其中n1、2、3、。，、。，t0为任意实数为任意实数7bn是是n的偶函数，的偶函数，cn是是n的奇函数的奇函数78n也可以写成另外一种形式：也可以写成另外一种形式：fT(t)=A0+Ancos(nw0t+jn)n=1A0=a0,An=bn2+cn2,(n=1,2,3)jn=arctan(-cnbn)(3.1.2)8An是是n的偶函数，的偶函数， 是是n的奇函数的奇函数jn89n将（将（3.1.1）和（

7、）和（3.1.2）展开为）展开为01010202030300101202303( )(cossin)(cos2sin2)(cos3sin3).( )cos()cos(2)cos(3).TTftabtctbtctbtctftAAtAtAtwwwwwwwjwjwj=+=+9 910n2、三角函数形式的、三角函数形式的FS的物理意义的物理意义 三角函数形式三角函数形式FS对周期信号对周期信号fT(t) :周期为周期为T，角频率角频率 进行频谱分析。进行频谱分析。 将将fT(t)分解成分解成:Tpw20=101011直流分量直流分量基波分量基波分量 或或和各次谐波分量和各次谐波分量 或或的离散和的离散

8、和 00aA=1010(cossin)btctww+101cos()Atwj+00(cossin)nnbntcntww+0cos(),2nnAntnwj+111112n例例3.1.1：试求下图所示信号：试求下图所示信号f(t)的的FS信号信号f(t)的周期的周期T4，角频率，角频率脉冲宽度脉冲宽度12022Tppw=122=1313a0=1Tf(t)-T2T2dt=1T1-22dt=T=12bk=2Tf(t)-T2T2coskw0tdt=2Tcoskw0t-22dt=-222Tsinkw0tkw0|=2Tsin(kw02)-sin(-kw02)kw0=2T2sin(kw02)kw0=2Tsin

9、(kw02)kw02=2TSa(kw02)=Sa(kp2)ck=2Tf(t)-T2T2sinkw0tdt= 01314n得到周期信号的三角函数形式得到周期信号的三角函数形式FS展开式为：展开式为：14f(t)=T+2Tk=1Sa(kw02)coskw0t=12+Sa(kp2)coskp2tk=114153.1.2 指数函数形式的傅里叶级数指数函数形式的傅里叶级数n三角形式的傅里叶级数，含义明确，但运算三角形式的傅里叶级数，含义明确，但运算不方便，因而常采用指数形式的傅里叶级数不方便，因而常采用指数形式的傅里叶级数n可可从三角形式推出指数形式从三角形式推出指数形式15cosx=ejx+e-jx2

10、15f(t)=Fnejnw0tn=-(n= 0,1,2.)FN称为复傅里叶系数称为复傅里叶系数0001( )xTjntnxFf t edtTw+-=16nFn还可以表示成模和幅角的形式还可以表示成模和幅角的形式njnneFFj= (3.1.5) 三角函数标准形式中三角函数标准形式中An是第是第n次谐波分量的振次谐波分量的振幅，幅， 但在指数形式中，但在指数形式中，Fn要与相对应的第要与相对应的第-n项项F-n合并，构成第合并，构成第n次谐波分量的振幅和相位。次谐波分量的振幅和相位。 161617n将将(3.1.3)展开展开0000002221012()( )nnj w tjw tjw tj w

11、 tTjjtjntnnnnftF eF eFFeF eF eeF ejwjw-+=-=-=+=171718指数函数形式指数函数形式FS对周期信号对周期信号fT(t)进行频谱分析进行频谱分析周期周期T，角频率，角频率将将fT( (t) )展开成直流分量展开成直流分量 、基波分量基波分量和各次谐波分量和各次谐波分量的离散和。的离散和。Tpw20=0a0011jtjtF eFeww-+0,2jntnF enw指数函数形式指数函数形式FS的物理意义的物理意义181819或将周期信号或将周期信号fT(t)展开成形式为展开成形式为 的无时限指数信号的离散和。的无时限指数信号的离散和。各分量的复振幅为各分量

12、的复振幅为模为模为初相为初相为ejnw0tFn=|Fn|ejjn|Fn|jn191920n指数形式与三角形式系数之间的关系为指数形式与三角形式系数之间的关系为00011()2211()2212arctan2Recos()2ImsinnnnjjnnnnnjnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnFaAFF ebjcA eFbjcA eFAFcbFFFbAj FFjFcAjjjjjj-=-=+= -+=-= -(3.1.6) 2020:,|:,nnnnnnb AFncj的偶函数的奇函数21n从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱

13、，所画出的图形称化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图为信号的频谱图n周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系相位随频率的变化关系 3.1.3周期信号的频谱周期信号的频谱2121221 1、单边频谱、单边频谱n若周期信号若周期信号fT(t)的傅里叶展开式为三角函数形的傅里叶展开式为三角函数形式：式：称：称：A0，Ak与与(k0)的关系为的关系为fT(t)的振幅频谱；的振幅频谱； 与与(k0)的关系为的关系为fT (t)的相位频谱。的相位频谱。fT(t)=A0+Akcos(kw0t+jk)k=12222kjnAw00

14、5w010w0wp2p4 w005w010wp2-0w （a）单边幅度频谱）单边幅度频谱 （b）单边相位频谱）单边相位频谱图图3.1-1 周期信号的单边频谱周期信号的单边频谱2323nj242 2、双边频谱、双边频谱n若周期信号若周期信号fT(t)的傅里叶展开式为指数函数形的傅里叶展开式为指数函数形式：式：称：称： 与与(k0)的关系为的关系为fT(t)的振幅频谱；的振幅频谱； 与与(k0)的关系为的关系为fT (t)的相位频谱的相位频谱fT(t)=Fkejkwotk=-=Fkej(kwot+jk)k=-Fkjk242425005w010w05w-010w-0w（a）双边振幅双边振幅频谱频谱w

15、p2p4p4-p2-2525Fk26w005w010wp2-p20w05w-010w-（b）双边相位双边相位频谱频谱图图3.1-2 周期信号的周期信号的双边频谱双边频谱2626jk27n例例3.1.1 3.1.1 已知周期信号已知周期信号f(t)如下，画出其频如下，画出其频谱图谱图。tttttf00003sin21sin2)452cos(cos21)(wwpww+-+=解解 将将f(t)整理为标准形式整理为标准形式 f(t)=1+2cos(w0t-p4)+cos(2w0t+5p4-p)+12cos(3w0t-p2)=1+2cos(w0t-p4)+cos(2w0t+p4)+12cos(3w0t-

16、p2)272728图图3.1-2 例例3.1.1频谱图频谱图 (a) 振幅图；振幅图； (b) 相位图相位图 0211cnw0w0w0wjnww0w0w0442(a)(b)2102828振幅谱与相位谱如图所示：振幅谱与相位谱如图所示： 29例例3.1.2 周期信号周期信号 试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画，画出它的单边频谱图出它的单边频谱图f(t)=1-12cosp4t-2p3+14sinp3t-p6解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即f(t)=1+12cosp4t-2p3+p+14cosp3t-p6-p2

17、显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。+34cos21ppt的周期的周期T1 = 8-323cos41pp的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2/T = /12292930+34cos21ppt是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； -323cos41pp是是f(t)的的/3/12 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图303031二、周期信号频谱的特点举例：举例：有一幅度为有一幅度为1，脉冲宽，脉冲宽度为度为 的周期矩形脉冲，其周的周期矩形

18、脉冲，其周期为期为T，如图所示。求频谱。，如图所示。求频谱。 f(t)t0T- -T12-2令令Sa(x)=sin x/x (取样函数）取样函数） 00jj222211( )ededTntntTnFf tttTTww-=00j2002sin ()1e22jntnTnTnww ww-=-00sin22nnTw w =320Sa()Sa()2nnnFTTTw =, n = 0 ,1，2， nFw w0(1)(1)包络线形状：取样函数包络线形状：取样函数(3)(3)离散谱（谐波性）离散谱（谐波性） 2)4 第一个零点坐标：第一个零点坐标：（ 20022nnw ww=令 5= =T图中图中000,nn

19、FF，相位为，相位为T0nT= 处为其其最最大大值值在在，(2)w0w00 nw=当取取值值Fn是实函数，幅度是实函数，幅度/相位可相位可在一个图中画出在一个图中画出33周期信号频谱的周期信号频谱的特点特点谱线的结构与波形参数的关系谱线的结构与波形参数的关系T一定一定， 变小变小，此时，此时w0 （谱线间隔）不变。两零点之（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：间的谱线数目：w w1/ w0 =（2p p/ ）/(2p p/T)=T/ 增多。增多。 一定一定，T增大增大，间隔，间隔w0减小，频谱变密。幅度减小，频谱变密。幅度 减小减小 如果如果周期周期T无限增长（这时就成为无限增长（这时就成为

20、非周期信号非周期信号），那），那么，么，谱线间隔将趋近于零谱线间隔将趋近于零，周期信号的，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡就过渡到非周期信号的到非周期信号的连续频谱连续频谱，各频率分量的幅度也趋近于，各频率分量的幅度也趋近于无穷小。无穷小。 (1)周期信号的频谱具有周期信号的频谱具有谐波谐波(离散离散)性性，谱线位置是基频，谱线位置是基频w0的整数倍；的整数倍；(2)一般具有一般具有收敛性收敛性，总趋势减小。，总趋势减小。T341.问题提出nFw w02T 2第一个零点集中了信号第一个零点集中了信号绝大部分能量绝大部分能量（平均功率）（平均功率）由频谱的由频谱的收敛性收敛性可知，信号的功率集中

21、在低频段。可知，信号的功率集中在低频段。 3.1.4 周期信号的有效频带宽度周期信号的有效频带宽度35周期矩形脉冲信号的功率周期矩形脉冲信号的功率而总功率而总功率二者比值二者比值181. 0=2423222124232221205-+=FFFFFFFFFPn-=nnTFttfTP202d)(12 . 0d)(102=TttfTP%5 .905= =PPn次谐波次谐波为例，取前为例，取前以以 ,T5s41s201=362 2频带宽度频带宽度在满足在满足一定失真条件一定失真条件下，信号可以用某段频率范围下，信号可以用某段频率范围内的内的信号来表示，此频率范围称为信号来表示，此频率范围称为频带宽度频

22、带宽度。信号信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响显影响任意周期信号：有效带宽为占信号总功率任意周期信号：有效带宽为占信号总功率90%的各的各谐波分量所占的频带宽带谐波分量所占的频带宽带。一般把一般把第一个零点第一个零点作为信号的频带宽度。记为：作为信号的频带宽度。记为： Bw的单位是弧度的单位是弧度/秒，秒， Bf的单位是赫兹（的单位是赫兹（Hz）。）。 21fBBw=或，带宽与脉宽成反比。373.2 傅里叶变换傅里叶变换FTn3.3.2 2. .1 1 傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义n3.3.2 2. .2 2 典型信号的傅里叶

23、变换典型信号的傅里叶变换n3.3.2 2. .3 3 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质373738f(t)：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号幅度无限小幅度无限小. . 引出引出0再用再用Fn表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。令小，但相对大小仍有区别，引入频谱密度函数。令0(单位频率上的频谱单位频率上的频谱） 连续谱连续谱从傅里叶级数到傅里叶变换从傅里叶级数到傅里叶变换0j221( )edTntTnFf ttTw-=频谱( )limlim1/nnTTFFFTTw=02 Tw=谱线间隔 T 39022

24、( )edTjntTnF Tf ttw-=01( )ejntnnf tF TTw=-=T， 0无穷小，记为无穷小，记为d；n 0 （由离散量变为连续量由离散量变为连续量），），01d22Twwpp= j( )lim( )edtnTFF Tf ttww-=j1( )( )ed2tf tFwwwp-=傅里叶变换傅里叶变换傅里叶反变换傅里叶反变换FT的定义的定义( )( )f tFw记为：4040n说明说明 (1) 前面推导并未遵循严格的数学步骤，前面推导并未遵循严格的数学步骤，函数函数f(t)的傅里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:-ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下

25、列关系还可方便计算一些积分-=dttfF)()0(-=wwpd)(21)0(jFf4041n信号的时间函数信号的时间函数f(t)和它的傅氏变换即频谱和它的傅氏变换即频谱F()是同一信号的两种不同的表现形式。是同一信号的两种不同的表现形式。nf(t)显示了时间信息而隐藏了频率信息；显示了时间信息而隐藏了频率信息；nF()显示了频率信息而隐藏了时间信息。显示了频率信息而隐藏了时间信息。 4141423.2.2 典型信号的傅里叶变换典型信号的傅里叶变换n1 1单边指数函数单边指数函数n2 2双边指数函数双边指数函数n3 3符号函数符号函数n4. 4. 门函数门函数n5 5单位冲击函数单位冲击函数n6

26、 6单位阶跃函数单位阶跃函数n7. 7. 直流信号直流信号n8 8 . .冲击偶函数冲击偶函数4242431、单边指数函数、单边指数函数)(01,0|)()()()()(0)(0)(0+-=+-+-时，积分不存在当积分为时当wwwwwwwjjedtedteedtetueFtuetftjtjtjttjtt（1）单边因果指数信号）单边因果指数信号434344n即：即：n其振幅频谱和相位频谱分别为：其振幅频谱和相位频谱分别为：wwjwwwarctan)()(1)(22-=+=FF0,1)(+-wjtuet444445（a）单边指数函数）单边指数函数 )(j wFAw)(wj02p2p-（b）单边指数

27、函数的频谱）单边指数函数的频谱图图3.2-1 单边指数函数及其频谱单边指数函数及其频谱A)(tf0t)(tAet-=454546（2） 单边非因果指数函数单边非因果指数函数f(t)=etu(-t) 0F(w)=-etu(-t)e-jwtdt=-0e(-jw)tdt=e(-jw)t-jw|-0=1-jw=12+w2ejarctanw464647即 F(w)=1-jwF(jw) =12+w2j(w)=arctanw 单边非因果指数函数的波形单边非因果指数函数的波形f(t)、 振幅谱振幅谱|F()|、 相位谱相位谱()如图如图3.2-2所示。所示。 474748图图 3.2-2 eatu(-t)波形

28、及其振幅、波形及其振幅、 相位谱相位谱f (t)eatu( t)0 t0waa1)(wFa2122wj(w)0484849 f(t)=e-a|t| -t0n可写成可写成 f(t)=eatu(-t)+e-at u(t)利用以上单边指数函数的变换结果我们有利用以上单边指数函数的变换结果我们有 F(w)=1a-jw+1a+jw=2aa2+w2F(w)=2aa2+w2=F(w)j(w)=0即 双边指数函数的波形双边指数函数的波形f(t)、频谱、频谱F()如图如图3.2-3所示。所示。 2.双边指数函数双边指数函数494950图 3.2-3 双边指数函数的波形、 频谱00f (t)e atu(t)eat

29、u( t)a1a2awt)()(wwFF5050513.门函数5151( )( )()()22f tg tu tu t=+-52n 门函数的频谱函数、门函数的频谱函数、 振幅谱、振幅谱、 相位谱为相位谱为F(w)=Saw2F(w) = Saw2j(w)=0p4npw2(2n+1)p2(2n+1)pw4(n+1)p (3.2.6) 525253门函数的波形门函数的波形f(t)、振幅谱、振幅谱| |F()| |、相位谱、相位谱()如图如图3.2-43.2-4所示。所示。 图图 3.2-4 g(t)的波形及振幅、的波形及振幅、 相位谱相位谱001)(wFw422422f (t)t0w ppj(w)4

30、2425353545402424F(w)w由于由于F()是实函数，其相位谱只有是实函数，其相位谱只有0、两种情况，反两种情况，反映在映在F()上是正、负的变化上是正、负的变化,因此其振幅、因此其振幅、 相位谱如图相位谱如图3.2-5所示所示,可由可由F()来表示。来表示。 图图 3.2-5 g(t)的频谱函数的频谱函数 5455n由上式可知，时域冲激函数由上式可知，时域冲激函数(t)频谱的所有频率分频谱的所有频率分量均匀分布（为常数量均匀分布（为常数1 1），这样的频谱也称白色谱。），这样的频谱也称白色谱。冲激函数冲激函数(t)、频谱函数如图、频谱函数如图3.2-63.2-6所示。所示。Fd(

31、t)=d(t)e-jwtdt-=e-jwt|t=0=14、单位冲激函数5555560)(td)1(t0w1(w)F （a）单位冲激函数 （b）单位冲激函数的频谱图3.2-6 单位冲激函数及其频谱5656575、直流信号、直流信号n直流信号的直流信号的FT能否用能否用FT定义式来求解？定义式来求解？57f(t)=1F(w)=f(t)e-jwtdt-=e-jwtdt-有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1，u(t) 等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。 可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近

32、逼近f (t) ，即，即)(lim)(tftfnn=575858n而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且 fn(t) 的傅的傅里叶变换所形成的序列里叶变换所形成的序列 Fn(w w) 是极限收敛是极限收敛的。则可定义的。则可定义f(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F (w w)为为)(lim)(wwnnFF=这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 5859构造构造 f (t)=e- -t ， 0 F(w)=22+w2)(lim1)(0tftf=所以所以=+=0,0, 02lim)(lim)(2200wwwwwFF又又lim022+w2

33、dw-= lim021+w2dw-= lim02arctanw-= 2p因此，因此， 1212pdpd( (w w) )595960n 频域冲激频域冲激()的原函数亦可由定义直接得到的原函数亦可由定义直接得到pwwdpw21)(21)(=-detftj由式由式(3.3-19)可知频域冲激可知频域冲激()的反变换是常的反变换是常数（直流分量）。数（直流分量）。 )(21)(21wpdwdp频域冲激函数频域冲激函数()、 原函数如图原函数如图3.2-8所示。所示。606061图图 3.2-7 频域冲激函数频域冲激函数()及其原函数及其原函数6161620011)()(sgn-=+-=tttutut

34、显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能直接来显然，这个函数不满足绝对可积条件，不能直接来求。我们可用以下极限形式表示求。我们可用以下极限形式表示sgnt函数函数sgnt= lima0eatsgnt= lima0e-atu(t)-eatu(-t)6.符号函数62F(w)= lima01a+jw-1a-jw=2jw上式是两个单边指数函数的组合，利用前面的结果，上式是两个单边指数函数的组合，利用前面的结果，并取极限可得并取极限可得6263F(w) =(2w)2=2wj(w)=arctan-2w0=p/2-p/2w 0w 0符号函数的波形符号函数的波形f(t)、振幅谱、振幅谱|F()|、相位谱、相位谱

35、()如如图图3.2-9所示。所示。 63|F()|是偶函数是偶函数()是奇函数是奇函数6364图 3.2-9 符号函数的波形f(t)及其振幅、 相位谱0sgnt1 1t00)(wFww22j(w)6464657.阶跃函数阶跃函数6500)(wFw22j (w)0t1u(t)w图图 3.2-8 阶跃函数的波形以及振幅、相位谱阶跃函数的波形以及振幅、相位谱65111(t)sgn(t)( )22ujpd ww=+668、冲击偶函数、冲击偶函数66wddwwjttttttjtj=-=-0eddde)( )( nttjnnntjnnjtttt)(edd) 1(de)()(0)()(wddww=-=-66

36、67归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域-=tetfjFtjd)()(ww-=tejFtftjd)(21)(wwp(t)u(t) wwdpj1)(+e - - t u(t) w+j1g(t) 2wSasgn (t) wj2e |t|222w+ 1 12()6767683.2.3 傅里叶变换的基本性质傅里叶变换的基本性质n1、 线性性线性性n2、 时移特性时移特性n3、 频移特性频移特性n4、 尺度变换尺度变换n5、 对称性对称性n6、 卷积定理卷积定理n7、 时域微分和时域积分时域微分和时域积分n8、 频域微分频域微分n9、周期信号的傅里叶变换

37、、周期信号的傅里叶变换n10、实虚奇偶性、实虚奇偶性n11、能量定理、能量定理6868691、线性、线性(Linear Property)If f1(t) F1()， f2(t) F2()thenProof: F a f1(t) + b f2(t)-+=ttbftaftjde)()(21w-+=ttfttftjtjde)(bde)(a21ww= a F1() + b F2() a f1(t) + b f2(t) a F1() + b F2() 说明：相加信号的频谱等于各个单独信号的频谱之和。696970例例1 F() = ?0f ( t )t1-11Ans: f (t) = f1(t) g2(

38、t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F() = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -7070712、时移性质、时移性质(Timeshifting Property)If f (t) F() thenwhere “t0” is real constant.f(t-t0)e-jwt0F(w)Proof: F f (t t0 ) -=tttftjde)(0w-=-=00ede)(tjjttfww)(e0wwFtj-=相对应。延时和在频域中的移相说明：信号在时域中的717172例例2 F() = ?Ans: f1(t) = g6(t -

39、5) , f2(t) = g2(t - 5) g6(t - 5) g2(t - 5) F() =ww5e)3Sa(6j-ww5e)Sa(2j-www5e)Sa(2)3Sa(6j-+0f ( t )t2-1214680f1 ( t )t221468+0f2 ( t )t2214687272733、频移性质、频移性质(Frequency Shifting Property)If f (t) F() thenProof:where “0” is real constant.F f(t)e j0t =f(t)ejw0te-jwtdt-=f(t)e-j(w-w0)tdt-= F (- -0) endf(

40、t)ejw0tF(w-w0)完成。变频等过程在此基础上如调幅、同步解调、系统中得到广泛应用，频谱搬移技术，在通信。频谱延频率轴右移等效于在频域中将整个中乘以说明：一个信号在时域0,0wwtje737374例例4f(t) = cos0t F() = ?Ans:tjtjtf00e21e21)(ww-+=F() = (+0)+ (- -0)例例3f(t) = ej3t F() = ?Ans: 1 2() ej3t 1 2(- -3)747475n推论：调制定理推论：调制定理f(t)F(w)75ifthen)()(2sin)()()(21cos)(000000wwwwwwwwww-+-+FFjttfF

41、Fttf相移；相移，右移产生且左移产生，幅度减半，左右移动，频谱时域乘以连续时间信号，且幅度减半左右移动，频谱时域乘以连续时间信号2-2)(sin)(;)(cos)(0000ppwwwwwwFttfFttf757676f(t)cosw0t=12f(t)ejw0t+12f(t)e-jw0t12F(w-w0)+12F(w+w0)f(t)sinw0t=12jf(t)ejw0t-12jf(t)e-jw0t12jF(w-w0)-12jF(w+w0)=j2F(w+w0)-j2F(w-w0)7677例例6 6 求求f(t)=cos(0t)u(t)的频谱函数的频谱函数wwpdjtu1)()(+利用调频性利用调

42、频性 cosw0tu(t)p2d(w+w0)+d(w-w0)+12j(w+w0)+12j(w-w0)=p2d(w+w0)+d(w-w0)+jww02-w2解解 已知已知777778n同理可得同理可得 220000)()(2)(sinwwwwwdwwdpw-+-+jttu7878例例 求求f(t)=e-tcos(0t)u(t)的频谱函数的频谱函数1(t)teujw-+解：解：根据调制特性根据调制特性000220111cos(t)2()()()teujjjjwwwwwwww-+-+=+7979，试求其频谱函数为矩形脉冲，脉宽为其中已知矩形调幅信号例w)()cos()()(70tgttAgtf=79

43、n解解 令令f1(t)=Ag(t)， 则则 =2)(1wwSaAF而 +-=+-=2)(2)(2)()(21)(cos)()(00010101wwwwwwwwwwSaSaAFFFttftf80n若若f(t)F()， 则则f(at)1aFwaa0证 4.尺度变换当a0时，令atx，得到=-aFadxexfaatfFxajww1)(1)(t=xa,dt=1adxF f(at)=-f(at)e-jwtdt808081当当a0、 a0两种情况，两种情况， 尺度变换特性表示为尺度变换特性表示为aFaatfw1)(81818282n特别地当特别地当a=-1时，得到时，得到f(t)的反转函数的反转函数f(-

44、t)， 其频谱亦为原频谱的反转，其频谱亦为原频谱的反转， 即即n f(-t) F(-) n尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域就扩展；反之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。中就一定压缩；即信号的脉宽与频宽成反比。 82831t)(tf02-w)(wF0p2p2-2（a）)21(tf0-1wt2)2(2wF0pp-（b）1t)2( tf04-42w)2(21wF0p4p4-（c）图图3-12 尺度变换性质的说明尺度变换性质的说明8383物理意义：信号的波形物理意义：信号的波形压缩压缩a倍

45、，信号随时间变倍，信号随时间变化加快化加快a倍，所以它所含倍，所以它所含的频率分量增加的频率分量增加a倍，也倍，也即频谱展宽即频谱展宽a倍。根据倍。根据能量守恒定理，各频率能量守恒定理，各频率分量大小必然减小分量大小必然减小a倍倍84例例8已知已知 f (t)F(), 求求f (at b) ?解答：解答： f (t b)e - -jb F()f (at b) 1|a|e-jwabFwaorf (at) 1|a|Fwaf (at b) =-)(abtaf1|a|e-jwabFwa8484855 5、对称性、对称性If f (t) F() thenProof:f(t)=12pF(w)ejwtdw-

46、（1）in (1) t ，t thenf(w)=12pF(t)ejwtdt- （2）in (2) - - thenf(-w)=12pF(t)e-jwtdt- F(t) 2f ()F(t ) 2f ()85858621t)(212tp01-11w)(wSa0pp-（a）门函数及其频谱）门函数及其频谱t1)(tSa0pp-p)(2tpp01-1w（b）抽样函数及其频谱）抽样函数及其频谱 图图3-13868687例例9f(t) = F() = ?11-jtAns:11)(e+-wjtt)(e211wpw-+jt)(e211wpw-+- jt利用对称性：利用对称性：利用尺度变换特性：利用尺度变换特性：

47、1jt-1-2pe-w(w)878788例例10 F() = ?211)(ttf+=Ans:22| |2ew+-tif =1,2| |12ew+-t|2e212wp-+ t|2e11wp-+t88888989例例11 求信号求信号 的的FTSa(w0t)解：解：g(t)Sa(w2)Sa(t2)2pg(-w)= 2pg(w)2w0Sa(w0t)= 2w0sinw0tw0t2pg2w0(w)Sa(w0t)=sinw0tw0tpw0g2w0(w)sinw0tptg2w0(w)利用对称性得：利用对称性得：令令利用利用FT的线性特性的线性特性简化上式得到：简化上式得到：2=w0899090例例12 求下

48、列信号的求下列信号的FT：1解解 已知已知d(t)112pd(-w)= 2pd(w)90916、卷积性质、卷积性质Convolution in time domain：If f1(t) F1()， f2(t) F2()Then f1(t)*f2(t) F1()F2()Convolution in frequency domain：If f1(t) F1()， f2(t) F2()Then f1(t) f2(t) F1()*F2()p2191，反之亦然，且乘以时域相乘对应频域相卷乘，反之亦然时域相卷积对应频域相p219192Proof:-=d)()()(*)(2121tfftftf F f1(t

49、)*f2(t) =-=-wwdde)()(ded)()(2121ttffttfftjtjUsing timeshiftingf2(t-)e-jwtdt=F2(w)e-jw So that, F f1(t)*f2(t) =f1()F2(w)e-jwd-=F2(w)f1()e-jwd-= F1()F2()92929393y2(t)=f1(t)f2(t)Y2(w)=y2(t)-e-jwtdt=f1(t)f2(t)e-jwt-dtf1(t)=12pF1(-w)ejwtdw=12pF1(-q)ejqtdq设设根据根据FT反变换式反变换式939494Y2(w)=12pF1(-q)ejqtdqf2(-t)e

50、-jwtdt=12pF1(-q)f2(-t)ejqte-jwtdtdqf2(t)ejqtF2(w-q)Y2(w)=12pF1(-q)F2(w-q)dq=12pF1(w)*F2(w)于是于是根据根据FT的频移特性的频移特性于是于是949595)(*)(21)()(2121wwpFFtftf即9596sintt2F(w)=?Ans:)Sa(2)(2wtgUsing symmetry,)(2)Sa(22wp-gt)()Sa(2wpgt )(*)(2)(*)(21sin22222wwpwpwppggggtt=例例13969697n例例14 试证明试证明971pt*(-1pt)=d(t)Sgn(t)2j

51、w2jt2pSgn(-w)=-2pSgn(w)1pt-jSgn(w)证明：已知证明：已知根据根据FT的对称性的对称性即即9798981pt*(-1pt)-jSgn(w)jSgn(w)=Sgn2(w)=11pt*(-1pt)d(t)d(t)1根据根据FT的时域卷积特性：的时域卷积特性：已知已知故故989999)(*) 1()(52tuetuetytt-=计算例21)()()(1) 1-()(11) 1-(11)() 1()()() 1()(22211 -111 -)1(1111+=+=+-=-=-wwwwwwwwjFtuetfejetueeFFTejtueFTjtuetueetftftuetft

52、jtjtttt）（）（的线性特性得：根据的时移特性得：根据配成全时移，将令解99100100) 1()()1() 1()()2111()21)(11()()()()(*) 1()(12)1(2)1(111212-=-=+-+=+=-=+-tueetuetueetyFTejjeejjeFFYtuetuetyFTttttjjtt得：取反的时域卷积特性得：根据wwwwwwwww1001017、时域微分和时域积分、时域微分和时域积分101If f (t) F() then f(n)(t)Fn(w)=(jw)nF(w)f(-1)(t)pF(0)d(w)+F(w)jwF(0)=F(w)w=0=f(t)ej

53、wtdt-=f(t)dt-时域微分特性时域微分特性n为正整数为正整数时域积分特性时域积分特性101102时域微分特性证明时域微分特性证明102f(t)=12pF(w)-ejwtdwf(t)=12pF(w)-(jw)ejwtdw=12pjwF(w)-ejwtdwf(t)=12p(jw)2F(w)-ejwtdwf(3)(t)=12p(jw)3F(w)-ejwtdwf(n)(t)=12p(jw)nF(w)-ejwtdw根据根据FT反变换定义式反变换定义式对对t求导求导102103n所以所以103f(n)(t)Fn(w)=(jw)nF(w)103104时域积分特性证明时域积分特性证明104f(t)F(

54、w),u(t)1jw+pd(w)f(-1)(t)=f(t)*u(t)F(w)1jw+pd(w)=F(w)1jw+pF(w)d(w)pF(w)d(w)=pF(0)d(w)已知已知利用利用FT的时域卷积特性的时域卷积特性根据冲击函数的抽样特性根据冲击函数的抽样特性所以所以104f(-1)(t)pF(0)d(w)+F(w)jw105例例15 f(t)= 1/t2 ?Ans:wjt2)sgn()sgn(22wp-jt)sgn(1wpjt-)sgn()sgn()(1ddwwpwpw=-jjtt|)sgn(12wpwpw-=-t进一步化简得到：根据对称性根据对称性整理得：整理得：根据根据FT的时域微分特性

55、的时域微分特性105105106106?)()(),()( 1=wwFtfFtf已知106( )( )( ),( )( )?nnftFf tFww=已知1( )( ) ()( ) ( )FFffjwwpd ww=+- +( )( ) ()( ) ( )()nnFFffjwwpd ww=+- +107证明：证明：107)()0()()( 11)1(wdpwwFjFtf+-根据根据FT的时域积分特性的时域积分特性107f(t)F1(w)=f(t)e-jwtdt-F1(0)=f(t)dt-=f()-f(-)由于由于所以所以f(t)(-1)F1(w)jw+pf()-f(-)d(w)即即(1)f(t)(

56、-1)=f()d-t=f()|-t=f(t)-f(-)f(t)F(w),12pd(w)f(t)(-1)F(w)-2p f(-)d(w)对对f(t)积分得：积分得：对上式取对上式取FT得：得：(2)F(w)-2p f(-)d(w)=F1(w)jw+pf()-f(-)d(w)比较（比较（1）和（）和（2）得到：）得到：109109即即依次类推，可得到：依次类推，可得到：上式提供了计算上式提供了计算f(t)的的FT的一种简便方法。若计算的一种简便方法。若计算f(t)的的FT比较困难时，可将比较困难时，可将f(t)多次求导，使多次求导，使f(n)(t)成为冲击和冲击的成为冲击和冲击的导数，则导数，则f

57、(n)(t)的的FT就较容易求出就较容易求出 if f (n)(t) Fn()，and f (-)+ f() = 0 Then f (t) F () = Fn()/ (j)n1091( )( ) ()( ) ( )FFffjwwpd ww=+- +( )( ) ()( ) ( )()nnFFffjwwpd ww=+- +110f(t)2- -20t t2f (t) F ()f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)(-2)f (t)Ans:f ” ”(t) = d d(t+2) 2 d d(t) + d d(t 2)F2()= F f ”(t) = e j2 2 + e

58、 j2= 2cos(2) 2 F () =F2(w)(jw)2=2-2cos(2w)w2例例161101101118、频域的微分特性频域的微分特性频域的微分特性(-jt)nf(t)dnF(w)dwntnf(t)jndnF(w)dwn或或)()()(tfjtddF-ww当当n1时，时，111111112n证证 dtetjtfdteddtfdtetfddddFtjtjtjwwwwwww-=)()()()(交换微、积分次序)所以)()()()()(ttfddFjtfjtddF-wwww 或 112112113n同理可证高阶导数同理可证高阶导数 nnnnnnndFdjtfttfjtdFdwwww)()

59、()()()(- 或 113113114114例例17f (t) = tu(t) F ()=?Ans:利用频域微分特性：利用频域微分特性：1141( )( )u tjpd ww+1( )( )djtu tdjpd www-+21( )( )tu tjpd ww-115 tu(t) =u(t) * u(t) +wwpdwwpdjj1)(1)(Its wrong. Because d d(w w)d d(w w) and (1/jw w)d d(w w) is not defined.1151151169、奇偶虚实性、奇偶虚实性If f(t) is real, then-=tttfjtttfttf

60、jFtjd)sin()(d)cos()(de)()(wwww= R() + jX()()(| )(|22wwwXRF+=)()(arctan)(wwwjRXSo that(1)R()= R() , X() = X () |F()| = |F( )| , j j () = j j()(2) If f(t) = f(-t) ,then X() = 0, F() = R() If f(t) = -f(-t) ,then R() = 0, F() = jX()116116117E=f(t)2dt-=12pF(w)2dw-ProofE=f(t)2dt-=f(t)f*(t)dt-=f(t)12pF*(w)