大学物理——机械振动

1、广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。A AO Fxm CK q qL i弹簧振子弹簧振子22dtxda 又又mk 2 令令简谐振动微分方程简谐振动微分方程0222 xdtxd 一、一、简谐振动的基本特征简谐振动的基本特征6-1 6-1 简谐振动简谐振动（simple harmonic motion)xmkmFa xa2 kxF 其通其通解为：解为：谐振动运动方程谐振动运动方程)cos( tAx运动学定义运动学定

2、义:动力学定义动力学定义:1、简谐振动的定义简谐振动的定义A AO mk Fxx)cos( tAx运动方程运动方程振幅振幅A 物体离开平衡位置的最大距离物体离开平衡位置的最大距离, ,决定于初条件决定于初条件. .频率频率 单位时间内振动的次数单位时间内振动的次数. 21 T角频率角频率 22 T周期周期T 物体完成一次全振动所需时间物体完成一次全振动所需时间. . )(cos)cos(TtAtA 2T 2 T初相位初相位 相位相位 t 决定谐振动物体的运动状态决定谐振动物体的运动状态2、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量A AO mk Fxx3.3.振动速度及加速度振动速度及加速度)c

3、os( tAx),cos( tAdtxda222dtdxv ),sin( tA Av max2Aa maxxa2 简谐振动的加简谐振动的加速度和位移成速度和位移成正比而反向正比而反向.x, v, a avx T O t4.4.振动初相及振幅由初始条件决定振动初相及振幅由初始条件决定初始条件：当初始条件：当t = 0时时, x = x0 ，v = v0)sin( tAv),cos( tAx代入代入得得,cos0 Ax sinA0 v2020)( vxA = arctan)(00 xv A AO xmk 例例6-1. 一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期

4、，周期T= 2 s， 当当t = 0 时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。正向运动。求此简谐振动的表达式。解解取平衡位置为坐标原点。取平衡位置为坐标原点。)cos( tAx由题设由题设T= 2 s，则，则,T2 A= 0.12 m由初条件由初条件 x0 = 0.06 m，v0 0得得,cos0 Ax 0,sin0 Av21cos0 Ax 3 0,sin 3 简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为)3cos(12. 0 tx设简谐振动的表达式为设简谐振动的表达式为 例例6-2. 如图所示，倔强系数为

5、如图所示，倔强系数为 8 810103 3NmNm-1-1的轻的轻质弹簧一端固定于质弹簧一端固定于A，另一端系一质量为另一端系一质量为M=4.99kg=4.99kg的木块静止于水平光滑桌面上。的木块静止于水平光滑桌面上。 质量质量 m=0.01kg=0.01kg的子弹以水平速度的子弹以水平速度v =10=103 3 msms-1 -1 射入木射入木块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向块使其作简谐振动。若在木块经过平衡位置且向右运动时开始计时右运动时开始计时。取取平衡位置为坐标原点平衡位置为坐标原点、向向右为右为x轴正方向，求其振动方程。轴正方向，求其振动方程。mvMA解：解：mv=(m+

6、M)V0.01103=(4.99+0.01)VV=2m.s-12221)(21kAVMm 232108212)01. 099. 4 (21A A=0.05m4051083 Mmk )40cos(05. 0 tx0sin20cos05.00 vxt2 )240cos(05. 0 tx振振动动方方程程为为二、简谐振动的旋转矢量表示法二、简谐振动的旋转矢量表示法1.简谐振动与匀速圆周运动简谐振动与匀速圆周运动 t + O P m x y A 匀速圆周运动在匀速圆周运动在x轴上的投影轴上的投影 （或分运动）为简谐振动：（或分运动）为简谐振动：)cos( tAx2.简谐振动的旋转矢量表示法简谐振动的旋转

7、矢量表示法A xO 3.两同频率简谐振动的相位差（两同频率简谐振动的相位差（phase difference）O x1A2AO x1A2AO x1A2A)cos(111 tAx)cos(222 tAx两个谐振动两个谐振动相位差相位差12 )()(12 tt两同频率的谐振动的相位两同频率的谐振动的相位差等于它们的初相差。差等于它们的初相差。 = 2 1 0, x2超前超前x1 = 0, 同相同相 = ，反相反相x, v, a avx T O tx, v, a O AA A2 )cos( tAa2)sin( tAv)cos( tAx).2cos( tA).cos( tA24.4.谐振动的位移、速度

8、、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系例例6-3. 以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线以余弦函数表示的简谐振动的位移时间曲线如图所示，求此简谐振动的表达式。如图所示，求此简谐振动的表达式。0vx (cm)O t (s)12 1 21t = 1sA t = 0O x A解解设简谐振动方程为设简谐振动方程为)cos( tAxx0 = A/2，v0 0,cos0 Ax 21cos0 Ax 32 由旋转矢量表示法由旋转矢量表示法v0 032 旋转矢量以旋转矢量以 匀角速由匀角速由t = 0 到到t = 1s 转过了转过了4 /334t t =1s34 )3234cos(0.

9、02 tx角频率的计算：角频率的计算：t = 1s 时，对应图示的旋转矢量。时，对应图示的旋转矢量。例例6-4.已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如速度与时间的关系曲线如图所示，试求其振动方程。图所示，试求其振动方程。4 .314 .31 7 .157 .15 01)(st)(1 cmsv解：方法解：方法1用解析法求解用解析法求解107 .15sin cmsAv )cos( tAx设振动方程为设振动方程为0cos20 Aa14 .31 cmsvAm 214 .317 .15sin0 Av 656或或 0cos, 00 则则a6 )cos(2 tAa)sin( tAv117

10、.151 cmsvt21)61sin( 得得 6116761或或0)1cos(,01 则则a 6761 114. 3 scmvAm1014. 34 .31 故振动方程为故振动方程为cmtx)6cos(10 )61sin(1 Av)61sin(1 .347 .15 即即4 .314 .31 7 .157 .15 01)(st)(1 cmsv)cos(2 tAav 0 tst1 2 ov的旋转矢量的旋转矢量与与v轴夹角表轴夹角表示示t 时刻相位时刻相位2 t由图知由图知 322 6 1cmvAm1014. 34 .31 cmtx)6cos(10 方法方法2： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助

11、求解。)cos( tAx)2cos()sin( tvtAvm14 .31 cmsAvm 4 .314 .31 7 .157 .15 01)(st)(1 cmsv1 s mk 固有角频率固有角频率三、简谐振动实例三、简谐振动实例1. 弹簧振子弹簧振子(block spring system)平衡位置平衡位置：弹簧为原长时，振动物体所处的位置弹簧为原长时，振动物体所处的位置. x=0 , F=0 位移为位移为x处处: :由由牛顿第二定律牛顿第二定律,kxma xmka x2 角频率角频率完全由振动系统本身的性质决定。完全由振动系统本身的性质决定。固有周期固有周期kmT 22 固有频率固有频率A A

12、O mk FxxkxF 0222 xdtxd )cos( tAx2. 单摆单摆(simple pendulum)glTlg 22, 当当 5 5 (= (= 0.0873rad)时，时，,sin sinmgft 摆球相对于平衡位置的角位移为摆球相对于平衡位置的角位移为 时，时，切切向向合外力合外力: mgft l Tgm mgsin mC 平衡位置平衡位置 ：摆线与竖直方向夹角：摆线与竖直方向夹角 = 0 .由由牛顿第二定律牛顿第二定律,tmamg .22tdtdla 得得 mgdtdml22 或或0dd22 lgt谐振动微分方程谐振动微分方程结论结论：单摆的小角度摆动是简谐振动。单摆的小角度

13、摆动是简谐振动。,lg2 3. 复摆复摆(compound pendulum)绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。绕不过质心的水平固定轴转动的刚体。, 0222 dtd,22dtdJmgh Jmgh2 令令Jmgh ,sin 小幅摆动时小幅摆动时角位移角位移 ，回复力矩回复力矩M = mghsin M = mgh 由刚体的由刚体的转动定律转动定律 Jmghdtd22 或或得得谐振动微分方程谐振动微分方程结论结论：复摆的小角度复摆的小角度摆动是简谐振动。摆动是简谐振动。gmhCO 线性谐振动线性谐振动角谐振动角谐振动mk .1,2 TJK 简谐振动的判断及振动方程的确定简谐振动的判断及振动方程的确

14、定kx,F ,M K ,2xa , 2 归纳与总结归纳与总结例：判断下列运动是否为简谐振动例：判断下列运动是否为简谐振动1.乒乓球在地面上的上下跳动乒乓球在地面上的上下跳动2.小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动小球在半径很大的光滑凹球面底部作小幅振动 mgO22dtdRRamamgtt sin切向运动切向运动 sin很很小小22dtdmRmg 022 RgdtdRg 2令令0222 dtd简谐振动简谐振动gRTRg 2200 振动的角频率振动的角频率和周期分别为：和周期分别为：四、简谐振动的能量四、简谐振动的能量谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的

15、势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x)sin( tAv)cos( tAx221kxEp )(cos2122 tkA谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数.系统的机械能守恒系统的机械能守恒2A21kEEEpk 221mvEk )(sin2122 tkAkm2 振动能量曲线振动能量曲线xtotToEEk(t)221kA pkEEE 241kAEEpk Ep (t).41cos211120220kA)dtt(kATdtETETTpp .41)(sin21112T0220kAdttkATdtETETkk )(sin21E22k tkA

16、)t(kAEp 22cos21例例:如图如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0= -9.8cm, v0=0(1) 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；写出振动方程；(2) 若取若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点， 写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。x Omx解：解： 确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 则则 f=mg-k( l +x)=-kx作谐振动作谐振动 设振动方程为设振动方程为)cos(0 tAxsradl

17、gmk/10098.08 .9 初条件初条件: ,00sin0 mvxA098.0)(2020 由由x0=Acos 0=-0.0980 cos 00 x0=Acos 0=0 , cos 0=0 0= /2 ,3 /2 v0=-A sin 0 , sin 0 0, 取取 0=3 /2 x=9.8 10-2cos(10t+3 /2) m对同一谐振动取不同的计时起点对同一谐振动取不同的计时起点 不同，但不同，但 、A A不变不变Hzlg6 . 1212 固有频率固有频率x Omx例例:如图所示，振动系统由一倔强系数为如图所示，振动系统由一倔强系数为k的的 轻弹簧、轻弹簧、一半径为一半径为R、转动惯量

18、为转动惯量为J的的 定滑轮和一质量为定滑轮和一质量为m的的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其振动，试证物体作简谐振动，并求其周期动，试证物体作简谐振动，并求其周期T.TmTmga2F moxkJR解：取位移轴解：取位移轴ox，m在平在平衡位置时，设弹簧伸长量衡位置时，设弹簧伸长量为为 l，则则0 lkmg 当当m有位移有位移x时时maTmg RaJRxlkT )(联立得联立得aRJRkx 2 0222 xRJmkdtxd物体作简谐振动物体作简谐振动 22RJmk kRJmT222 0 lkmg TmTmga2F moxkJR一、同方向、

19、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成合振动是简谐振动合振动是简谐振动, ,其频率仍为其频率仍为 。)cos(212212221 AAAAA22112211coscossinsintg AAAA )cos()(111 tAtx)cos()(222 tAtx)cos(21 tAxxxx合振动合振动x1x2 1 2 x2A1AAO 6-2 6-2 简谐振动的合成简谐振动的合成如如 A1=A2 , , 则则 A=0，两个等幅反相的振动合，两个等幅反相的振动合成的结果将使质点处于静止状态。成的结果将使质点处于静止状态。, 2 , 1 , 0212 kk 合振动的振幅取得最大，两分振合振动的振

20、幅取得最大，两分振动相互加强。动相互加强。21AAA , 2 , 1 , 0)12(12 kk 合振幅最小合振幅最小，两分振动相互减弱。两分振动相互减弱。21AAA 分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)cos(212212221 AAAAA二二. . 两个同方向频率相近简谐振动的合成两个同方向频率相近简谐振动的合成 拍拍 如果我们先后听到频率很接近的声音，如如果我们先后听到频率很接近的声音，如552 和和564 Hz，我们很难区分它们频率的差异；如果这两，我们很难区分它们频率的差异；如果这两种声音同时到达我们的耳朵，我们听到声音频率为种声音同时到达我们的

21、耳朵，我们听到声音频率为558Hz=(552+564)/2,其强度以其强度以12Hz (=564 552) 的频的频率变化。这种现象称为率变化。这种现象称为拍拍，12Hz 为为拍频。拍频。xtx1tx2t分振动分振动),cos(11 tAx)cos(22 tAx合振动合振动)2cos()2cos(21212 ttAx21xxx 1. 拍及拍频拍及拍频),(2112 )(2112 令令则则T拍拍x tcos( t+ )2Acos t 拍拍 =2 = 2 1 , 拍拍= 2 1 拍拍: :拍频拍频: : 单位时间内振动加强或减弱的次数单位时间内振动加强或减弱的次数. .合振动忽强忽弱的现象合振动忽

22、强忽弱的现象. .tAtA cos2)()cos(cos2 ttAx u拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用拍的现象常被用于校正乐器。例如我们可以利用标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别标准音叉来校准钢琴的频率：因为音调有微小差别就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就就会出现拍音，调整到拍音消失，钢琴的一个键就被校准了。被校准了。2. 拍的应用拍的应用三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx分振动分振动)cos(11 tAx)cos(22 tAyjtyitxtr

23、)()()( 合合振动质点的轨迹方程振动质点的轨迹方程0(1)12 0)(221 AyAxxAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论yx)cos(222122 tAAyxS)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx 12(2)0)(221 AyAxxAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移yx)cos(222

24、122 tAAyxS)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx)cos(1 tAx)cos(2 tAy2(3)12 12212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴轴为轴线的椭圆线的椭圆.质点沿椭圆的运动方质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。向是顺时针的。yx)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAxyx23(4)12 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴为轴轴为轴线的椭圆线的椭圆.质点沿椭圆的运动方质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。向是逆时针的。12212 AyAx 2 1 = 0 2 1 = 4 2 43 43 2

25、4 0 时，质点沿逆时针方向运动。时，质点沿逆时针方向运动。 0时，质点沿顺时针方向运动。时，质点沿顺时针方向运动。)(sin)cos(21221221222212 AyAxAyAx四、四、两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成两个相互垂直不同频率的简谐振动的合成 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形4023 xyyx,:对于两个频率不相同的谐振动，其相位差对于两个频率不相同的谐振动，其相位差)()(1212 t不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。不断地随时间变化，因而合振动不一定有稳定的轨迹。yxA2A1o o - -A1- -A2只有在两振动的只有在两振动的频率成简单的整数比频率

26、成简单的整数比时，时，才有稳定的轨迹。才有稳定的轨迹。若已知一个分振动的周期，可根据合振动的李萨如图形若已知一个分振动的周期，可根据合振动的李萨如图形求出另一个分振动的周期，这种方法常用来测定频率。求出另一个分振动的周期，这种方法常用来测定频率。李萨如图形李萨如图形T1:T2= 2 1 =02 1:21:32:3* * 五、简谐振动的分解五、简谐振动的分解 频谱频谱振动的分解振动的分解：把一个复杂振动分解为若干个简谐振动。：把一个复杂振动分解为若干个简谐振动。若周期振动的频率为若周期振动的频率为: : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: : 0、2 0、3 0( (基频基频 , , 二次

27、谐频二次谐频 , , 三次谐频三次谐频 , ) , )按傅里叶级数展开按傅里叶级数展开)()(tfTtf 10cos2)(iiitkAatf T 22 任何一个复杂的周期性振动，都可看作是若干任何一个复杂的周期性振动，都可看作是若干个简谐振动的合成。个简谐振动的合成。t0 x3t0 x1+x3+x5+x0)5sin513sin31(sin4)( tttUtx方波可按傅里叶级数展开为：方波可按傅里叶级数展开为：例如：例如：0tx10 x0tt0 x5)5sin513sin31(sin4)( tttUtxxo ot t锯齿波锯齿波A A 0 03 3 0 05 5 0 0锯齿波频谱图锯齿波频谱图例

28、如：例如：锯齿波锯齿波可按傅里叶级数展开为：可按傅里叶级数展开为：)4sin413sin312sin21sin(1)( tttttx 一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续一个非周期性振动可分解为无限多个频率连续变化的简谐振动。变化的简谐振动。xo ot t阻尼振动曲线阻尼振动曲线阻尼振动频谱图阻尼振动频谱图o o A一、一、 阻尼振动阻尼振动（damped vibration) )：阻阻尼尼振振动动1.1.阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼：摩擦阻尼：系统克服阻力作功，系统的动能转化为热能。系统克服阻力作功，系统的动

29、能转化为热能。辐射阻尼：辐射阻尼：振动以波的形式向外传波，使振动能量向振动以波的形式向外传波，使振动能量向周围辐射出去。周围辐射出去。6-3 6-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动和共振受迫振动和共振简谐振动是物体在回复力作用下的一种简谐振动是物体在回复力作用下的一种无阻尼自由振动。无阻尼自由振动。 当振动系统受到阻力作用时，在回复力和阻力作用下当振动系统受到阻力作用时，在回复力和阻力作用下 振动，称为振动，称为阻尼振动阻尼振动。弹簧振子弹簧振子动力学方程动力学方程22dtxdmdtdxkx dtdxvFR 022022 xdtdxdtxd mk 0 系统固有角频率系统固有角频率m2 阻尼因子阻尼

30、因子物体以不大的速率在粘性介质中运动时物体以不大的速率在粘性介质中运动时, ,介质对物体介质对物体的阻力与速度的一次方成正比的阻力与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数2 .2 .阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程 （以摩擦阻尼为例）（以摩擦阻尼为例）)cos(00 teAxt0, 即即阻尼较小阻尼较小(1)(1)弱阻尼振动弱阻尼振动: :teAA 00220222 T阻尼对振动的影响：阻尼对振动的影响：1. 1. A A 减小减小 2. 2. T T 增大增大非简谐振动非简谐振动 022022 xdtdxdtxd 220 3.3.弱阻尼振动、过阻尼振动、临界阻尼振动弱阻尼振动、过阻尼振动、

31、临界阻尼振动弱阻尼弱阻尼xt(2) 临界阻尼振动临界阻尼振动系统不作往复运动，而是较快地系统不作往复运动，而是较快地回到平衡位置并停下来回到平衡位置并停下来.0 tetccx )(21(3)过阻尼振动过阻尼振动系统不作往复运动，而是非常缓系统不作往复运动，而是非常缓慢地回到平衡位置慢地回到平衡位置.0 ttececx)(2)(1202202 临界阻尼临界阻尼xt过阻尼过阻尼xt022022 xdtdxdtxd 二、二、 受迫振动受迫振动受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程tFtddxkxtdxdm cos022 thxtddxtdxd cos22022 周期性外力周期性外力策动力策动力tFF cos0 令令mk 0 mFh,m,02 OAtx)cos()(cos)( tAteAtxt2200阻尼振动阻尼振动简谐振动简谐振动thxtddxtdxd cos22022 稳定解稳定解)cos( tAx稳定解稳定解)cos( tAx(1)频率