概率论与数理统计习题课2

1、1概率论与数理统计习题课（二）概率论与数理统计习题课（二）基本内容与重要结论：基本内容与重要结论：1. 随机变量及其分布函数、分布函数的性质。随机变量及其分布函数、分布函数的性质。)(F)(F)(PabbXa )0(F)(F)(P cccX 2. 离散型随机变量及其分布律，离散型随机变量及其分布律，几种常见的离散型随机变量及其分布律。几种常见的离散型随机变量及其分布律。3. 连续型随机变量及其概率密度，连续型随机变量及其概率密度，几种常见的连续型随机变量及其概率密度。几种常见的连续型随机变量及其概率密度。概率密度的性质，概率密度的性质，2一般要学会做三类习题：一般要学会做三类习题：利用某些已知

2、条件求出随机变量的分布律或利用某些已知条件求出随机变量的分布律或 密度函数；密度函数；利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率；利用分布律或分布函数，求出某些事件的概率；利用分布律或密度函数，求出分布函数。利用分布律或密度函数，求出分布函数。4. 二维随机变量及其联合分布函数；二维随机变量及其联合分布函数；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维离散型随机变量及其联合分布律；二维连续型随机变量及其联合概率密度。二维连续型随机变量及其联合概率密度。5. 二维随机变量的边缘分布和条件分布。二维随机变量的边缘分布和条件分布。6. 随机变量的相互独立性。随机变量的相互独立性。7. 随机变量函数的分布。随

3、机变量函数的分布。3 例例1. 设随机变量设随机变量 X 服从参数为服从参数为(2, p)的二项分的二项分布，随机变量布，随机变量Y 服从参数为服从参数为(3, p)的二项分布。若的二项分布。若 951P X，则，则 ?1 YP解：解：), 2(pBX2)1()0(pXP )1(1 XP.94951 .31321 pp从而从而),31, 3( BY)0(1)1( YPYP.2719)311(13 4 例例2. 假定某街道有假定某街道有n个设有红绿灯的路口，各个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为比为1:2。今有一汽车沿该街

4、道行驶，若以。今有一汽车沿该街道行驶，若以 X表表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求求 X 的分布律。的分布律。 分析分析: 根据题意根据题意 X 所有可能的取值为所有可能的取值为0, 1, 2, , n, 而在每个路口遇到绿灯的概率为而在每个路口遇到绿灯的概率为2/3, 并且在不并且在不同路口出现红灯或绿灯是相互独立的同路口出现红灯或绿灯是相互独立的, 因此它与因此它与几何分布的随机变量相似。只是当几何分布的随机变量相似。只是当 X= n 时时, 表表示该汽车在每个路口所遇到的都是绿灯。示该汽车在每个路口所遇到的都是绿灯。解解: kX 表示

5、汽车在前表示汽车在前k个路口均遇到个路口均遇到绿灯，而在第绿灯，而在第k+1个路口遇到红灯，所以个路口遇到红灯，所以事件事件3132)( kkXP0,1,2,1.kn而而.32)(nnXP 5评注：评注：本题求解的一种常见错误是：本题求解的一种常见错误是：,)32()(kkXP ., 2 , 1nk 而而1321 23213232)32()(111 nnnknkkkXP可见可见, 为验证分布律是否正确为验证分布律是否正确, 判断判断1 kkp是说明结果有误的一种简便方法。是说明结果有误的一种简便方法。6例例3.设随机变量设随机变量X的绝对值不大于的绝对值不大于1, P(X=- -1)=1/8,

6、P(X=1)=1/4,在事件在事件 11 X出现的条件下出现的条件下, X在在(- -1,1)内任何子区间上取值的条件概率与该子区内任何子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求间的长度成正比。试求 X 的分布函数，的分布函数，X 取负值取负值的概率。的概率。分析：分析：本题给的随机变量本题给的随机变量 X 在在- -1和和1两点具有正两点具有正概率概率, 从该角度看它是离散型的从该角度看它是离散型的; 而在区间而在区间(- -1, 1)内又服从均匀分布内又服从均匀分布, 又像是连续的。所以它既非又像是连续的。所以它既非离散也非连续。离散也非连续。解解: 根据假设根据假设21)1(1)

7、1()111(xxXxXP )11,1()1( XxXPxXP7再根据乘法法则再根据乘法法则, ,即得即得)1(xXP )111()11( XxXPXP21)41811(x 16)1(5x 于是于是 . 1, 11, 11,16)1(581, 0)(xxxxxF.16581)0()0( FXPq8例例4 设随机变量设随机变量X与与Y 同分布同分布, X 的概率密度为的概率密度为 ., 0, 20,83)(2其其他他xxxf又已知事件又已知事件 aYBaXA 与与相互独立相互独立, 且且,43)( BAP求常数求常数.a解解 依题设依题设, 有有否则，否则，, 20 a; 1)(,0 BAPa时

8、时当当, 0)(,2 BAPa时时当当都不符合题设。都不符合题设。,20时时因而，当因而，当 a)(1)(aXPAP .811d831320axxa 9同理同理,.81)(3aBP 又事件又事件A 与与B 独立独立, 从而从而)(1)(BAPBAP )()(1BPAP .436416 a所以所以,.2,16326 aa评注评注: 最后一步也可直接用加法公式最后一步也可直接用加法公式. 10 例例5 实验器皿中产生甲、乙两种细菌的机会实验器皿中产生甲、乙两种细菌的机会是相是相等的等的, 且产生的细菌数且产生的细菌数 X 服从参数为服从参数为 的泊的泊松分布松分布. 试求试求: 产生了甲类细菌但没

9、有乙类细菌产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率的概率.解解: 设事件设事件 Ak= 产生了产生了k 个细菌个细菌B =产生了细菌但没有乙类细菌产生了细菌但没有乙类细菌。故故由于由于, )( PX, 2 , 1 , 0,e!)()( kkkXPAPkk ,)21()(,1kkABPk 对对 )()()(kkkABPAPBAP,)21(e!kkk 11 11)()(kkkkBAPBAPBP).1e (e)21(e!21 kkkk评注评注：泊松分布下重温全概率公式：泊松分布下重温全概率公式. 全概率公式也适于无限划分全概率公式也适于无限划分. 12 例例6 在保险公司里有在保险公司里有2500名同一年

10、龄和同社名同一年龄和同社会阶层的人参加了人寿保险会阶层的人参加了人寿保险, 据生命表这类人据生命表这类人在在1 年中每个人死亡的概率为年中每个人死亡的概率为0.002, 每个参保每个参保人在人在1月月1日需交日需交1200元保险费元保险费, 而在死亡时家而在死亡时家属可从保险公司领取属可从保险公司领取20万元赔偿金万元赔偿金. 求求: 保险公司亏本的概率保险公司亏本的概率; 保险公司获利不少于保险公司获利不少于100万元的概率万元的概率.解解 以年为单位考虑以年为单位考虑,保险公司年初总收入为保险公司年初总收入为2500 1200=300万元万元.),002. 0 ,2500(1BXX 则则，

11、年年中中死死亡亡的的人人数数为为设设.15,30020 XX即即要要使使公公司司亏亏本本，必必须须kkkkCXP 25002500162500998. 0002. 0)15(故故13.000069. 0!511505 kkke万万元元）保保险险公公司司获获利利不不少少于于 100(P)10()10020300( XPXPkkkkC 25001002500998. 0002. 0.986305. 0!51005 kkke 点评点评: 保险业是概率论的生长点和重要应用领保险业是概率论的生长点和重要应用领域之一域之一. 本例为简化起见本例为简化起见, 不计利息与管理费不计利息与管理费.14 例例7

12、设随机变量设随机变量X 在区间在区间2，5上服从均匀上服从均匀分布，现对分布，现对X 进行进行 3 次独立观测，试求至少有次独立观测，试求至少有两次观测值大于两次观测值大于3的概率。的概率。 解解 设随机变量设随机变量Y 是是3次独立观测中观测值大次独立观测中观测值大于于3的次数的次数, 则则.3), 3(的的概概率率大大于于是是其其中中XppBY由题意知由题意知 X 的概率密度为的概率密度为 ., 0, 52,31)(其其他他xxf .32d31353 xXPp 2720)31()32()31()32(20333223 CCYP于于是是本题的知识点是均本题的知识点是均匀分布与二项分布匀分布与

13、二项分布的结合。的结合。15例例8 某种电子元件在电源电压不超过某种电子元件在电源电压不超过200伏伏,200伏伏至至240伏伏,及超过及超过240伏伏3种情况下种情况下,损坏率依次为损坏率依次为0.1,0.001及及0.2, 设电源电压设电源电压求求),25,220(2NX 此种元件的损坏率此种元件的损坏率; 此种元件损坏时此种元件损坏时,电源电源电压在电压在200240伏的概率伏的概率.解解 设设 ，伏伏电电源源电电压压不不超超过过 2001 A ，伏伏电电源源电电压压在在2402002 A ，伏伏电电源源电电压压超超过过 2403 A .电子元件损坏电子元件损坏 B 8 . 025200

14、200)(1XPXPAP;212. 0)8 . 0( 240200)(2 XPAP;576. 01)8 . 0(2 16.212. 0)()(1)(213 APAPAP. 2 . 0)(,001. 0)(, 1 . 0)(321 ABPABPABP依题意，依题意，)()()(31 iiiABPAPBP.064. 02 . 0212. 0001. 0576. 01 . 0212. 0 )(2BAP)()()()()(222BPABPAPBPBAP .009. 0064. 0001. 0576. 0 注：正态分布下重温全概率公式及贝叶斯注：正态分布下重温全概率公式及贝叶斯公式公式. 此例是研究生入

15、学试题。此例是研究生入学试题。17例例9 设顾客到银行窗口等待服务的时间设顾客到银行窗口等待服务的时间):(分分单位单位X服从指数分布服从指数分布,其密度函数为其密度函数为 ., 0, 0,e51)(5其他其他xxfx某顾客在窗口等待服务某顾客在窗口等待服务,如超过如超过10分钟分钟,他就离开他就离开.他一个月要到银行他一个月要到银行5次次,以以Y表示一个月内他未等表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数到服务而离开窗口的次数,求求Y的分布律的分布律.解解 Y的取值为的取值为0, 1, 2, 3, 4, 5. 且且而而), 5(pBY.ede51)10(2510 xXPpx故故Y 的分布律为的

16、分布律为. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1()(5225 keeCkYPkkk指数分布与指数分布与二项分布二项分布 结合结合18 练习练习 某仪器装了某仪器装了3支独立工作的同型号电子支独立工作的同型号电子元件元件,其寿命其寿命(单位单位:小时小时)都服从同一指数分布都服从同一指数分布,密度函数密度函数 . 0, 0, 0,e6001)(600 xxxfx试求试求:在仪器使用的最初在仪器使用的最初 200 小时内小时内, 至少有一至少有一支电子元件损坏的概率支电子元件损坏的概率. 答案答案: 1- -e- -1. 在指数分布下重温独立事件之在指数分布下重温独立事件之和的概率的

17、求法和的概率的求法. 注注:此题也是历史上研究生入学试题此题也是历史上研究生入学试题.19例例10 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为XY- -1012414161a求：求： a 值；值； (X,Y)的联合分布函数的联合分布函数F(x, y) ; (X,Y)关于关于X,Y的边缘分布函数的边缘分布函数.20例例11 设随机变量设随机变量X的概率密度函数为的概率密度函数为321,1,8( )30,xf xx 其他其他F(x)是是X的分布函数的分布函数,求求Y=F(X)的分布函数的分布函数. 例例12 在长为在长为a 的线段的中点的两边随机地选的线段的中点的两边随机地选取两点，求两点间的距离小于取两点，求两点间的距离小于a /3 的概率。的概率。21 例例13 设设X 和和Y 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, X 在在0,1上服从均匀分布上服从均匀分布, Y 的概率密度为的概率密度为 . 0, 0, 0,e21)(2-yyyfyY 求求X 与与Y 的联合概率密度的联合概率密度; 设有设有a 的