大学物理 ——角动量守恒

1、 自然界中常见物体绕着某中心运动的情况自然界中常见物体绕着某中心运动的情况.例例如地球绕太阳的公转如地球绕太阳的公转, 等等等等. 在这些情况下在这些情况下,仅仅仅仅用动量来描述物体的运动是不够的用动量来描述物体的运动是不够的,有必要引入有必要引入另一个物理量另一个物理量角动量来描述物体的转动角动量来描述物体的转动. 第五章第五章质量为质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运动半径为下，水平面光滑，开始小球作圆周运动半径为 r1，然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为半径然后向下拉绳，使小球的运动轨迹为半径r2的圆周。的圆周。试

2、问小球这一过程中下面哪个叙述是对的？试问小球这一过程中下面哪个叙述是对的？A. 动量守恒动量守恒B. 机械能守恒机械能守恒C. 动能守恒动能守恒D. 速度不变速度不变E. 以上都不对以上都不对#1a0204001aFOE 开普勒第一定律：所有行星沿各自的椭圆轨道绕太阳开普勒第一定律：所有行星沿各自的椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律：对任一开普勒第二定律：对任一行星来说，它与太阳的连线行星来说，它与太阳的连线（称为对太阳的矢径）在相等的时间内扫过相等的面积（称为对太阳的矢径）在相等的时间内扫过相等的面积.开普勒第三定律：开普勒第三定律：

3、行星绕太阳运动轨迹的半长轴行星绕太阳运动轨迹的半长轴a的立的立方与运动周期方与运动周期T 的平放成反比。比例系数与行星无关，的平放成反比。比例系数与行星无关，是一个只与太阳有关的常量。是一个只与太阳有关的常量。 除了动量，机械能守恒量以外一定除了动量，机械能守恒量以外一定还有另外一个还有另外一个守恒量守恒量存在！存在！中学的表达式：对中学的表达式：对轴轴的力矩的力矩M sinFrFdM MrFod一、质点的角动量一、质点的角动量 p在同一平面内在同一平面内rF和和FrM 力对力对 定轴定轴的力矩：的力矩：d是是O点到力作用线的点到力作用线的垂直距离，称为垂直距离，称为力臂力臂。FrM 力力 对

4、对o点的力矩：点的力矩：F sinrFM 方向由右手螺旋法则确定。方向由右手螺旋法则确定。FrM oZXYrF pzyxFFFzyxkjiFrM 直角坐标系：直角坐标系：kMjMiMzyx 1.1.力矩是改变质点系转动状态的原因力矩是改变质点系转动状态的原因, , 力是改变质点系平动状态的原因。力是改变质点系平动状态的原因。说明说明2. 同一力对空间不同点的力矩是不同的。同一力对空间不同点的力矩是不同的。122121LLLtMLLtt ddFrM vrmprL 0 vvvmvtpr d)(dtprd)(d 定义角动量定义角动量&质点的角动量质点的角动量及角动量定理：及角动量定理：dtb

5、dabdtadbadtd )(dtLd 质点的角质点的角动量定理动量定理21dtttM为质点在为质点在 t内对内对o点的冲量矩点的冲量矩tprdd ptrtpr ddd)(dMtL dd1.1.质点的圆周运动质点的圆周运动动量动量：vmp （对圆心的对圆心的）角动量：）角动量：vrmvmrprL )(大小：大小：mrvL mrvLO)(vr 方向：满足右手关系，向上方向：满足右手关系，向上力力平动运动状态发生改变（动量定理）平动运动状态发生改变（动量定理）力矩力矩转动转动状态发生改变状态发生改变（角动量定理）（角动量定理）Sunrrvv2 2 行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动行星在绕太阳公转时

6、的椭圆轨道运动)(vrmprL 大小：大小：;sin mvrL 方向：满足右手关系，向上方向：满足右手关系，向上3 质点直线运动对某定点的角动量质点直线运动对某定点的角动量vrmprL 大小：大小：方向：方向： 思考：如何使思考：如何使L=0？mvdmvrL sinOmrdv对定点对定点（太阳）的角动量：（太阳）的角动量：=0 ？质点的角动量的定义是质点的角动量的定义是 ,以下哪一个以下哪一个选项的理解是正确的？选项的理解是正确的？ 对不同的参考点，角动量是相同的，或者说对不同的参考点，角动量是相同的，或者说质点的角动量与特定的坐标原点无关质点的角动量与特定的坐标原点无关 当当 与质点动量与质

7、点动量 平行时质点的角动量等于零平行时质点的角动量等于零 当当 与质点动量与质点动量 垂直时质点的角动量等于零垂直时质点的角动量等于零 以上都不对以上都不对rrpp#1a0204010aprLB对于角动量的理解，以下说法对于角动量的理解，以下说法错误的错误的是：是：mOL质点质点m对对O点的角动量是一个矢量，点的角动量是一个矢量，其大小为其大小为prsin ,方向垂直于方向垂直于 和 组成的平面，与 和 满足右手螺旋关系角动量定义中的角动量定义中的 一定是质点运动的位置矢量角动量是描述物体的转动运动状态角动量是描述物体的转动运动状态的物理量的物理量当质点做平面运动时，对该平面上当质点做平面运动

8、时，对该平面上任一点的角动量都垂直该平面任一点的角动量都垂直该平面rprpr#1a0204010brppB一质量为一质量为m的质点沿一条二维曲线运动的质点沿一条二维曲线运动其中其中a，b， 为常数，为常数，试求：该质点对原点的角动试求：该质点对原点的角动量矢量量矢量A. B. C. D. 以上都不对以上都不对j tbi tar sincoskmab k tttbam sinsincos)(22j ttmbi ttma sincossincos22#1a0204002aC试求试求: :该质点对原点的角动量矢量该质点对原点的角动量矢量. .解：解：: :一质量为一质量为m m的质点沿一条二维曲线运

9、动的质点沿一条二维曲线运动j tbi tar sincos 其中其中a,b, 为常数为常数trvdd vrmL )cossin(j tbi ta )sincos(j tbi tam )sincos(22ktabktabm kmab (恒矢量恒矢量)或由或由FrM tLMdd! 0j tbi ta cossin 当当 =恒矢量恒矢量)(,0vmrLM 当质点所受对参考点当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点的合力矩为零时，质点对该参考点对该参考点O的角动量为一恒矢量。的角动量为一恒矢量。二、角动量守恒定律二、角动量守恒定律开普勒第二定律开普勒第二定律：行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面

10、积行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积.mLvr&质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律dtdLM sinrtrm行星受力方向与矢径在一条直线，永远行星受力方向与矢径在一条直线，永远与矢径是反平行的。与矢径是反平行的。注意注意m Lvrr sinmvrLtSmtrrm 2sin212常矢量常矢量 LM0行星的行星的 时刻在变时刻在变, ,但其但其 可维持不变可维持不变. .vmL有心力有心力：运动质点所受的力：运动质点所受的力的作的作 用线始终通过某个给定用线始终通过某个给定点，而且点，而且 力的大小只依赖于力的大小只依赖于质点对该给定点的距离。质点对该给定点的距离。性质：性

11、质：角动量守恒角动量守恒 机械能守恒机械能守恒 sinrrS21Fm Lvrr sinrrS21返回返回 sinsinrtrmmvrL-/2行星对太阳的径矢扫过的面积：行星对太阳的径矢扫过的面积：tSmtrrm 2sin212#1a0204003c一个一个 粒子飞过一金原子核而被散射，金核基本粒子飞过一金原子核而被散射，金核基本未动（如图所示）。在这一过程中，对金核中心未动（如图所示）。在这一过程中，对金核中心 粒子的角动量粒子的角动量A. 守恒守恒 B. 不守恒不守恒C. 条件太少，无法判断条件太少，无法判断vAu核核 粒子粒子rA质量为质量为m的质点在的质点在t=0时刻自时刻自(a，0)处

12、静止释放，忽处静止释放，忽略空气阻力。问对原点略空气阻力。问对原点O的角动量是否守恒？的角动量是否守恒？ A. 守恒守恒 B. 不守恒不守恒C. 条件太少，无法判断条件太少，无法判断#1a0204003b a o x mg vB 1. 1. 一对作用力、反作用力对定点（定一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩轴）的合力矩等于零等于零。111frM 222frM 221121frfrMM 21ff 222121frfrMM 2212)(frfrr 0 &质点系的角动量定理和角动量守恒质点系的角动量定理和角动量守恒2fr o2r1rr2f1fm1m22.质点系的角动量质点系的角动量ii

13、iPrL ddddiiiPrttL F Fi iP Pi iojrjfifirji0 iiiiiivmvPdtrdiir)(内内外外ijijifF iPtdddtbdabdtadbadtd )(iiiFrtL外外 ddM )(内内外外ijijiiifFrdtLd L 当当 时时 0M 常矢量常矢量一对作用力、反作用力对定点（定一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力矩等于零。轴）的合力矩等于零。iiiFr外外 质点系的角动量守恒定理质点系的角动量守恒定理MtL dd一个质点系所受的合外力矩等于该质点系总角动量对一个质点系所受的合外力矩等于该质点系总角动量对时间的变化率时间的变化率质点系的角动量

14、定理质点系的角动量定理。3 角动量守恒定律是独立于牛顿定律的角动量守恒定律是独立于牛顿定律的 自然界中更普适的定律之一自然界中更普适的定律之一. .4 角动量守恒定律只适用于惯性系。角动量守恒定律只适用于惯性系。2 守恒指过程中任意时刻。守恒指过程中任意时刻。 1 角动量守恒条件：角动量守恒条件：合外力矩为零合外力矩为零.合外力为零合外力为零, ,合外力矩合外力矩不一定为零不一定为零, ,反之亦然反之亦然. .MtL dd如图所示，半径为如图所示，半径为r的轻滑轮的中心轴的轻滑轮的中心轴O水平地固定水平地固定在高处，其上穿过一条轻绳在高处，其上穿过一条轻绳,质量相同的两个孩子。质量相同的两个孩

15、子。起初两个孩子都不动。起初两个孩子都不动。现设一个孩子甲用力向上爬，现设一个孩子甲用力向上爬，而另一个孩子乙抓住绳子不动而另一个孩子乙抓住绳子不动。试问谁先到达滑轮。试问谁先到达滑轮处？处？ A. 小孩甲小孩甲B. 小孩乙小孩乙C. 同时到达同时到达D. 谁先到达不能确定谁先到达不能确定#1a0204005aC如图所示，半径为如图所示，半径为r的轻滑轮的中心轴的轻滑轮的中心轴O水平地固定水平地固定在高处，其上穿过一条轻绳，质量相同的两个孩子。在高处，其上穿过一条轻绳，质量相同的两个孩子。在同一高度从静止开始一起向上爬，在同一高度从静止开始一起向上爬，任何时刻，相任何时刻，相对绳子，甲的速率是

16、乙的一倍对绳子，甲的速率是乙的一倍，试问谁先到达滑轮，试问谁先到达滑轮处？处？ A. 小孩甲小孩甲B. 小孩乙小孩乙C. 同时到达同时到达D. 谁先到达不能确定谁先到达不能确定#1a0204005bC例题如图所示例题如图所示.半径为半径为r 的轻滑轮的中的轻滑轮的中心轴心轴O水平地固定在高处水平地固定在高处,其上穿过一条其上穿过一条轻绳轻绳,质量相同的两个孩子质量相同的两个孩子.起初两个孩子起初两个孩子都不动。现设两个孩子以不同的爬绳速都不动。现设两个孩子以不同的爬绳速度从同一高度同时向上爬试问谁先到达度从同一高度同时向上爬试问谁先到达滑轮处？滑轮处？分析：分析：系统合外力矩为零，系统角动量系

17、统合外力矩为零，系统角动量守恒。守恒。角动量在两小孩之间通过绳中张角动量在两小孩之间通过绳中张力的力矩（内力矩）传递。力的力矩（内力矩）传递。0 BArmvrmv设两人对轴承设两人对轴承0点的速率分别为点的速率分别为vA,vBBAvv 不论小孩对绳的速度如何，他们对地的速度都相不论小孩对绳的速度如何，他们对地的速度都相同，故将同时到达！同，故将同时到达！即：虽然即：虽然 , 但对某轴外力矩为但对某轴外力矩为 零，则总角动量不守恒零，则总角动量不守恒,但对这轴的角但对这轴的角动量是守恒的动量是守恒的.0 iM3 3 由分量式：由分量式：1 1 孤立系孤立系. .2 2 有心力场有心力场, ,对力

18、心角动量守恒对力心角动量守恒. . xixLM;0常量常量 角动量守恒的几种可能情况：角动量守恒的几种可能情况：18世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气世纪哲学家提出星云说，认为太阳系是由气云组成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，云组成的。气云原来很大，由自身引力而收缩，最后聚集成一个个行星、卫星及太阳本身。最后聚集成一个个行星、卫星及太阳本身。万有引力不能把所有的天体吸引在一起万有引力不能把所有的天体吸引在一起? 形成一个扁平的盘状形成一个扁平的盘状!为什么星系是扁状，盘型结构？为什么星系是扁状，盘型结构？盘状星系的成因盘状星系的成因 角动量守恒角动量守恒。Z方向：方向：解释解释星球具有

19、原始角动量星球具有原始角动量0 ZM 常量常量ZL000rvmmvr rrrvv100 321vrrmF 向向星球所需向心力：星球所需向心力：开始开始 ，当，当 ：r 就稳定不变就稳定不变了，引力不能再使了，引力不能再使r r减小减小 。但在。但在z z轴方向却无这轴方向却无这个限制，所以可以在引力的作用下沿个限制，所以可以在引力的作用下沿z z向收缩，向收缩，使星云形成了铁饼状。使星云形成了铁饼状。 rFF向向引引向向引引FF Zvrm000例例: 质量为质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然然后向下拉绳，使小球的运动