静力平衡问题探讨

1、静力平衡问题探讨ABC： 对于对于或系统，在已知或系统，在已知外载荷的作用下，求约束力。外载荷的作用下，求约束力。 对于对于或系统，或系统，求平衡时外载荷所应满足的条件及约求平衡时外载荷所应满足的条件及约束力束力。60ABCDF2解：解：1）画整体受力图。）画整体受力图。 注意注意BC为二力杆。为二力杆。验算验算，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如，再写一个不独立平衡方程，看是否满足。如 MB(F)=0.5F+Fq-2FAy=1+1-2=0 结果正确。结果正确。2）取坐标，列平衡方程。）取坐标，列平衡方程。 Fx=FAx-FCcos30 =0 ABCF=2KN30q=0.5KN/m L=2

2、m1.5mFq=2q=1 KNxy Fy=FAy+FCsin30 -F-Fq=0 MA(F)=FCL/2-1.5F-FqL/2=0 3）解方程得到）解方程得到; FC=4KN; FAy=1KN; FAx=2KN3列平衡方程：列平衡方程： Fy=FB-F=0 FB=F ABFBAFCFBFABFAFABCayxOFBFCFA MA(F)=FB.ABcosa a-FC.ABsina a=0 FC=Fctga a。 a a越小，夹紧力越大。越小，夹紧力越大。4 列平衡方程：列平衡方程： Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-P-W=0 -(2) MA(F) =MA+12FBy-4W-8P

3、=0 -(3)4mCA4m1m1m8mBWP5 2)为研究对象，列平衡方程：为研究对象，列平衡方程： MD(F)=2FE-W-5P=0 FE=(50+50)/2=50kN Fy=FD+FE-W-P=0 FD=10kN3)取取为研究对象，有：为研究对象，有： MC(F)=8FBy-FE=0 FBy=FE/8=6.25kN 将将FBy代入代入(2)、(3)式，求得：式，求得： FAy=P+W-FBy=53.75 kN MA=4W+8P-12FBy=205 kN.m4mWP1m1mDEC1m8mB6 Fy=FAy-F=0 FAy=F MA(F)=FB 2a-Fa=0 FB=F/2 Fx=FAx+FB

4、=0 FAx=- -FB=- -F/2 研究研究CD杆，有：杆，有： MC(F)=FDya=0 YD=0 Fy=FACsin45 -F=0 FAC Fx=FDx-FACcos45 =0 FDxABCFDCDF请验算：请验算：AB杆杆 (带带销销A) 受受力是否平力是否平衡？衡？7弄清弄清题意，题意，标出标出已知已知量量整体受整体受力图，力图，列平衡列平衡方程，方程，解决问解决问题否？题否？选取适选取适当的坐当的坐标轴和标轴和矩心，矩心，注意正注意正负号。负号。检检查查结结果，果，验验算算补充选取补充选取适当研究适当研究对象，画对象，画受力图，受力图，列平衡方列平衡方程求解。程求解。NoYes注

5、意：注意：力偶力偶M在任一轴上的投影为零；在任一轴上的投影为零； 力偶对任一点之矩即为力偶对任一点之矩即为M。8bMABac4560ABCDABCq2aaa4594560ABCDF1 F2 ME(F)=F2 AE-F1sin60 BE=0 注意：注意： BE=AB；AE= AB 可解得：可解得： F2=.F12E 10解解: BC为二力杆为二力杆; 外力只有力偶外力只有力偶M, 以以AC为轴为轴写投影方程可知，写投影方程可知， A处反力为处反力为FAy=0 , 整体受力如图所示。整体受力如图所示。bMABacFB BFCFAxAMFAy=0F CFAFBA BbMcdaBAFF=BdFM=+-

6、0有0(F)=AM又由可解得BF11FBA BMdFAABFBA BFFBA BFFAFA122）研究）研究BC，受力如图。，受力如图。 求出求出FC即可。即可。 MB(F)=2aFCcos45 -Fa-qa2/2=02CFqBABCq2aaa4513 固定铰的约束力作用于销钉上。固定铰的约束力作用于销钉上。 多杆用同一销钉连接，讨论某杆时，须考多杆用同一销钉连接，讨论某杆时，须考虑各杆与销钉间作用的不同。虑各杆与销钉间作用的不同。FAxMAMPF2aa3aAFAx =F ; FAy =P ;MA = M ？PABCPABCAFABxFAByFACxFACy14第一种情形第一种情形l第二种情形

7、第二种情形15第二种情形第二种情形FAyFAxFBxFByFCxFCyFBxFBy分析分析BC和和ABD杆受杆受力力 FCx= FBx; FCy= FBy 216 MA ( F ) = 0 2 FBx= F 2 MB ( F ) = 0 0 MC ( F ) = 0 :FAyFAxllABDFBxFByCl第二种情形第二种情形以整体为研究对象如何？以整体为研究对象如何？17完全约束住的完全约束住的n个物体组成的个物体组成的物体系统物体系统在平面一在平面一般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出般力系作用下，每一物体都处于平衡，共可写出3n个平衡方程。若反力未知量是个平衡方程。若反力未知量是3

8、n个，则是静定的。个，则是静定的。由平衡方程即可确定的静力平衡问题由平衡方程即可确定的静力平衡问题 - - 未知量数未知量数= =独立平衡方程数独立平衡方程数ABC30如例如例1 1 系统系统二根杆二根杆六个平衡方程；六个平衡方程； 约束约束三处铰链三处铰链六个反力，静定。六个反力，静定。 若将若将BC视为二力杆，视为二力杆， 则平衡方程减少二个，则平衡方程减少二个， 但但B、C处约束力未知量也减少了二个处约束力未知量也减少了二个。18本题作用于小车的是本题作用于小车的是 平行于平行于Y轴的平行力系，轴的平行力系，系统系统 三个物体三个物体8个平衡方程；个平衡方程；约束约束 固定端固定端3；中

9、间铰；中间铰2；活动铰、车轮接触；活动铰、车轮接触 处各处各1共共8个反力，个反力， 是静定问题。是静定问题。 约束力未知量数少于约束力未知量数少于独立的平衡方程数，有运动的可能。独立的平衡方程数，有运动的可能。CAB19 ，若约束力数，若约束力数 独立平衡方独立平衡方程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称程数，问题的解答不能仅由平衡方程获得，称。约束反力数约束反力数 m系统中物体数系统中物体数 n 3n 3n 3n 静不定问题静不定问题静不定的次数为：静不定的次数为： k=m-3n20MAB约束力数约束力数 m=8 物体数物体数 n=3 m3n 未完全约束未完全约束 m=6 n=2 m=3

10、n静定结构静定结构 m=3 n=1+2+2+4=9 m=3n静定结构静定结构60ABCDABCFDFABxFAByFACxFACy2122摩擦给运动带来阻力，消耗能量，降低效率；摩擦给运动带来阻力，消耗能量，降低效率； 利用摩擦可进行传动、驱动、制动、自锁。利用摩擦可进行传动、驱动、制动、自锁。 AOmCP P512DDdaABWPABFLFTAFLFTBF NAF F0FT静止滑动FTC23。 摩擦力摩擦力F也是被动力，它阻碍物体的运动，但不也是被动力，它阻碍物体的运动，但不能完全约束物体的运动。能完全约束物体的运动。 。APTNFVf f是静滑动摩擦系数，是静滑动摩擦系数，FN是法向反力是

11、法向反力。临界状态下接触面间的最大静临界状态下接触面间的最大静（滑动）摩擦力与法摩擦力与法向反力的大小成正比向反力的大小成正比，即 Fmax=f FNF0FT静止滑动FTC FT=0 , 静止，无运动趋势；静止，无运动趋势；F=00FTFTc , 运动状态；运动状态； 一般有一般有 FTa30512DDd aa31aaF1max32aFROAFA512DDd f1Cosa a=(1+f ) 2-1/2a331研究研究皮带微段。皮带微段。 法向压力法向压力dFN，摩，摩擦力擦力dF，二端拉力为，二端拉力为FT+dFT和和FT。在临界状态下，在临界状态下，dF=f dFN。FT1oMbFT2oaF

12、N=FN(a a)FT1FT2FT2FT1研究皮研究皮带受力。带受力。 接触面法向分布接触面法向分布压力压力FN、摩擦力、摩擦力F都是都是a a的函数的函数。dayda/2oFTFT+dFT34=ba021dfFdFTTFFTTbfFFTT=12lnbfTTeFF12=积分积分, ,注意注意a a=0=0时，时，FT=FT1；a a= =b b时，时，FT=FT2；有：；有：FT1oMbFT2可见可见：1)1)若若f=0=0，即光滑接触，有，即光滑接触，有FT1=FT2，轮，轮O O不能传递扭矩不能传递扭矩。3536AB12345678910111213CD37n个节点均为汇交力系，有个节点均

13、为汇交力系，有2n个平衡方程；未知量有个平衡方程；未知量有m根根杆的内力和三个约束，杆的内力和三个约束，m+3=2n，是，是静定问题。静定问题。AB123C45D6738F杆数杆数m=7 节点数节点数n=5m=2n-3 静定桁架静定桁架约束力约束力3 静定问题静定问题 静定桁架，反力静定桁架，反力4 4一次一次静不定问题静不定问题 杆数杆数m=6 节点数节点数n=4m-(2n-3)=1 静不定桁架静不定桁架约束力约束力3 一次静不定一次静不定 m-(2n-3)=2 静不定桁架，静不定桁架，约约束力束力4 三次静不定问题三次静不定问题 F39用节点法求平面桁架中杆内力的步骤为：用节点法求平面桁架

14、中杆内力的步骤为：1)1)研究整体研究整体，求约束反力求约束反力。3)3)从含已知力且只有二杆受力未知的节点开始，从含已知力且只有二杆受力未知的节点开始， 逐一列平衡方程求解逐一列平衡方程求解。若求得的结果为负，则是压力。若求得的结果为负，则是压力。2)2)选取选取节点节点，画，画受力图。假定杆内力为拉力受力图。假定杆内力为拉力。AB12345678910111213CDADC402)2)任取一截面，截取部分桁架作为研究对象，画受任取一截面，截取部分桁架作为研究对象，画受 力图。杆内力假定为拉力。力图。杆内力假定为拉力。3)3)列平衡方程求解。因为作用在研究对象上的是平列平衡方程求解。因为作用

15、在研究对象上的是平 面一般力系，可以求解三个未知量。面一般力系，可以求解三个未知量。1)1)研究整体，求约束反力。研究整体，求约束反力。41EABCDEH123456789a/2a/2aaa333CD456F3F2F13)研究节点研究节点D，可求得可求得 4、6；4)研究节点研究节点C，可求得，可求得 5、6； 5)研究节点研究节点B，可求得，可求得 8、9； 6)研究节点研究节点A，可求得，可求得 7、9；DCBA42FAB123aaaaa4FAB1AB23aaaaFFF1F2F343AKEBDCJFKEDCJFDEKCJF4445 力力F 为为Fz、Fxy； Fxy Fx、Fy；显然有：显

16、然有： F=Fx+Fy+Fz；zzFBACFFFF=coscossina且各分且各分：xxFBAEFFF=coscoscosbayyFBAKFFF=cossincosba由定义知后者正是力在由定义知后者正是力在各轴上的投影。故正交各轴上的投影。故正交坐标系中，投影和分力坐标系中，投影和分力大小相等。大小相等。1. 力在空间坐标轴上的投影力在空间坐标轴上的投影AAabxxyyzzBCDEKFFxFyFxyFzo46 将力将力F分解成分解成Fz和和Fxy，可见，可见 Mz(Fz)=0; Mz(Fxy)=MO(Fxy)力与轴相交或平行力与轴相交或平行，对轴之矩为零对轴之矩为零故故力力F对轴对轴z z

17、之矩之矩可写为：可写为：Mz(F)=MO(Fxy)= Fxy h zF yhOx47Fx=0Fy=(4/5)F=40 NFZ=(3/5)F=30 NMx(F)=- -Fy z+Fz y =- -40+36=- -4 N.m My(F)=- -FZ x=- -6 N.m Mz(F)=Fy x=8 N.mOxyzABCx=0.2my=1.2mz=1mAaa=0.6mb=0.8maFyFZ48xyz49AzBOMOh另一方面：力另一方面：力F 对轴对轴z之矩等于其在垂之矩等于其在垂直于轴直于轴 z之的平面内的分量之的平面内的分量F 对交点对交点O之矩，即：之矩，即：Mz(F)=M0(F )=2 Oa

18、b=2 OAB cos = MOcos ab50空间汇空间汇交力系交力系空间力空间力偶系偶系主矩主矩MO力偶矩矢力偶矩矢 表示表示主矢主矢FR汇交于汇交于O空间空间一般一般力系力系向某向某点点 O O平移平移力F向向A点平移F 和M, F M x yzObAc51。空间空间一般一般力系力系向某向某点点 O O平移平移主矢主矢FR主矩主矩MOFR =2) MO FR ，在，在MO、FR 平面内将矢量平面内将矢量MO分解，得分解，得到力到力FR和与其平行的力偶矩矢和与其平行的力偶矩矢MR，称为力螺旋，称为力螺旋。1)MO FR ，反向应用力的平移定理，得到一合力。，反向应用力的平移定理，得到一合力

19、。若若FR 0，MO 0；x yzOMRMLO52FFyFzM FM FMF由由FR =0；MO=0 可写出平衡方程可写出平衡方程为 将原点取在汇交点，将原点取在汇交点， 有有 Mx(F) 0, My(F) 0; Mz(F) 0平衡方程平衡方程是：是： FFFxyzA 取取y y轴与各力平行，轴与各力平行， 有有 Fx 0; Fz 0; My(F) 0 。 平衡方程平衡方程是：是： FMMxzy53 FAx FAy FAz FBy FBz FCt FCr FDt FDr Fx Fy Fz Mx(F) My(F) Mz(F)1. 1. 直接求解法直接求解法xzA yBCD54 Fx=FAx=0 -(1) Fy=FAy+FBy-FCr+FDr=0 -(2) Fz=FAz+FBz-FCt-FDt=0 -(3) Mx(F)=-FCtr1+FDtr2=0 -(4) My(F)=FCtAC+FDtAD-FBzAB=0 -(5) Mz(F)=-FCrAC+