内生性成长与门槛效果跨期叠代模型

1、內生性成長與門檻效果：跨期疊代模型Endogenous Growth and Threshold Effects: An Overlapping Generations Model摘 要本文建構一個單部門的內生性成長跨期疊代模型，分析完全預知長期均衡成長的特性。本模型假設生產函數具備凸性的生產技術，發現長期成長率可能不為零。本文建立了長期均衡成長率為零的充分條件。本文也推導出存在多重長期均衡成長路徑的充分條件以及存在唯一的、穩定的長期均衡成長路徑的充分條件與必要條件。我們也發現初始條件可以決定長期均衡的成長路徑而且存在門檻效果。最後，我們證明出資本所得稅對長期經濟成長率的影響是負相關的。關鍵字

2、：內生性成長、門檻效果、資本所得稅AbstractThis paper analyzes the perfect foresight long run growth property in a one-sector overlapping generations model with endogenous growth. It is shown that in one-sector models with convex technologies the asymptotic growth rate may not be zero. The study establishes the suffi

3、cient conditions that the long run growth rate must be zero. The paper derives a set of sufficient conditions for the existence of the multiple balanced growth paths and explores both sufficient and necessary conditions for the existence of a unique and stable balanced growth path. We also find that

4、 the balanced growth path depends on initial conditions and, in general, there are threshold effects. Finally, we prove that the impact of the capital income taxation on the long-run economic growth rate is negative.Keywords：endogenous growth, threshold effects, capital income taxation壹、前言跨期疊代模型 (ov

5、erlapping generations model) 的概念自從 Samuelson (1958) 和 Diamond (1965) 提出後，許多學者已經陸續地將它用來分析不同的議題，諸如：成長、貿易和部門間的調整 (sectoral adjustment) 等。對於傳統跨期疊代模型長期均衡的存在性 (existence)、唯一性 (uniqueness) 和穩定性 (stability) 分析，亦有許多學者詳加探討 在純粹交換 (pure exchange) 的跨期疊代模型中，偏好 (preference) 滿足消費毛替代 (gross substitutability in consu

6、mption) 的特性對於完全預知 (perfect foresight) 長期均衡的決定，扮演著舉足輕重的角色，例如：Gale (1973)、Balasko and Shell (1980, 1981)、Balasko and Cass and Shell (1980)、Geanakopolos and Polemarchakis (1984)、Kehoe and Levine (1984,1985) 以及Kehoe and Levine and Mas-Colell and Woodford (1991)。然而，在考慮生產面的跨期疊代模型時，消費毛替代的角色可能稍有改變。單部門的模型中，消

7、費毛替代的特性仍扮演著重要的角色，例如：Galor and Ryder (1989) 以及Konishi and Perera-Tallo (1997)；在兩部門的模型中，消費毛替代已不再扮演重要的角色，例如：Calvo (1978) 認為不管消費毛替代的條件是否成立，長期均衡的局部不確定 (local indeterminacy) 是可能發生的。Galor (1992) 證實消費毛替代不再是長期均衡決定的充分條件；而且只要滿足投資財是資本密集財和第二期的消費是正常財兩個條件，則經濟體系中會存在一個全域的 (global)、唯一的馬鞍調整路徑 (saddle path)。偏好與生產技術的特性是

8、否會產生不同的均衡成長路徑？在無窮遠期、代表性個人模型與跨期疊代模型中，會得到截然不同的結論。倘若生產函數具備凸性技術 (convex technologies) 的特性，考慮個人的儲蓄行為時，在無窮遠期、代表性個人的模型中，如果利率等於時間偏好率，代表性個人會選擇平滑 (smooth) 的消費型態，而且個人的消費型態與社會總合的消費型態一致，因此，總合消費水準是穩定的，即長期均衡成長率為零。反之，假使利率大於時間偏好率，則高的利率水準代表未來消費的價格會下降，將激勵個人的儲蓄意願，故總合消費水準會持續成長。此時只要維持高的利率水準，便可維持正的長期均衡成長率 Rebelo (1991) 與J

9、ones and Manuelli (1990) 在凸性生產技術以及無窮遠期、代表性個人的模型中，探討長期均衡成長路徑的特性。然而，在跨期疊代模型中，總合消費水準為不同世代消費水準的加總，因此，在有限生命的假設下，雖然個人儲蓄會受到利率正面的影響，但總合消費水準不論利率大小為何皆會趨近一個上限值，換句話說，其長期均衡成長率為零。事實上，Boldrin (1992) 與 Jones and Manuelli (1992) 指出：在單部門的跨期疊代模型中，若生產函數具備凸性技術的特性，則長期均衡成長率為零 Jones and Manuelli (1992, pp.173) 文中指出：基本的觀念是年

10、輕的一代沒有足夠的所得向年長者購買大量的資本存量，因此在任何利率水準下經濟體系中經濟成長率的極限值為零；並且提出四個解決跨期疊代模型長期零成長的方法，分別為：1.考慮遺產的存在。2.利用政府政策 (如：稅賦政策) 產生所得重分配效果進而激勵年輕者增加儲蓄。3.假設生產函數具備非凸性 (nonconvexity) 技術。4.採用兩部門跨期疊代模型並且不以資本財為計價單位。在凸性生產技術的前提下，利率等於資本的邊際產出。當資本存量不斷地累積時，資本的邊際產出水準會下降；意味著利率水準也會下降且等於時間偏好率。因此，在新古典成長模型中，總合消費水準是固定的即長期均衡成長率等於零。內生性成長 (end

11、ogenous growth) 模型可透過生產函數具備非凸性技術的假設解決上述問題。Romer (1986) 提出生產外部性的概念，其認為知識具有正的外部性，因此生產函數具有規模報酬遞增 (increasing returns to scale) 的特性，透過最適化的求解過程，得到長期均衡成長率為內生決定的結論。Lucas (1988) 強調人力資本 (human capital) 非凸性的生產技術是成長的動力。Arrow (1962) 所提邊做邊學 (learning by doing) 的觀念，認為經驗與知識的累積是靠毛投資 (gross investment) 的增加同時經驗與知識也是技

12、術進步的動力 Stokey (1988) 與Schmitz (1989) 延伸Arrow邊做邊學的觀念探討長期成長的效果。關於有限生命週期成長模型的文獻，大都將焦點集中在非凸性生產技術的設定。Azariadis and Drazen (1990) 假設規模報酬遞增的生產函數，研究多重均衡成長路徑的特性以及門檻效果 (threshold effects)。Bencivenga and Smith (1991) 探討金融仲介機構對成長率的影響。Jones and Manuelli (1992) 在非凸性生產技術的假設下探討均衡成長路徑的條件。Saint-Paul (1992) 將 Romer 具有

13、正的外部性的生產函數加入 Blanchard (1985) 跨期疊代模型中，推導出所有的內生性成長路徑皆滿足動態效率性 (dynamic efficiency) 的結論。Mourmouras and Ghosh (2000) 擴充 Saint-Paul 的模型為兩國、兩財且生產外部性來自於本國與外國的資本存量，分析財政政策對福利與成長的影響。另外，Mountford (1999) 則加入 Arrow 邊做邊學生產外部性的觀念發展出兩國的貿易模型，並且探討貿易對成長率的影響。本文將依據 Galor and Ryder (1989) 和 Arrow (1962) 的概念建構一個單部門的內生性成長跨

14、期疊代模型，並假設效用函數具有位似函數 (homothetic function) 的性質，分析長期均衡成長路徑的特性。我們推導出存在唯一的、穩定的長期均衡成長路徑的充分條件與必要條件。而多重穩定均衡成長路徑的特性，亦可解釋門檻效果。同時我們可以看出，在生產函數具有凸性生產技術的假設下，可得到唯一的、穩定的長期均衡成長路徑。並且，可能產生多重長期均衡成長路徑的情形。一般而言，假設凸性技術生產函數的成長模型，大都隱含經濟體系會收斂至唯一的均衡成長路徑；因此，無法解釋國際間為何會形成高度成長與低度成長的國家。本文在凸性技術生產函數的設定下，產生多重、穩定的均衡成長路徑，恰可對此現象提出合理的解釋。

15、此外，本模型的門檻效果亦可說明為何有些原本低成長的國家會追趕上 (catch up) 原本高成長的國家。最後，援用本模型分析資本所得稅 (capital income taxation) 對長期經濟成長率的影響，我們證明出資本所得稅與長期經濟成長率呈現出負相關的結論。本文行文如下：第二節為模型的建立；第三節描述長期均衡的成長路徑；第四節舉例說明資本所得稅與長期經濟成長率之關係；最後一節則是結論。貳、模型本節將延伸 Galor and Ryder (1989) 和 Arrow (1962) 的模型架構，進而建立一個單部門內生性成長的跨期疊代模型。說明如下：一、生產面假設經濟體系只生產一種財貨Y，

16、此財貨可用於消費和投資兩種用途。生產函數滿足新古典生產函數 (neoclassical production function) 的特性，生產技術不隨時間而改變，要素市場和商品市場皆為完全競爭市場。而且每期的人口成長率n是外生給定的，因此，其中和分別代表t期和t+1期的總人口數。Y財貨的生產函數設定為 假設生產函數必須滿足下列四個特性：(i) 是二次連續可微分。(ii) ， 。(iii) ，此為Inada條件 (Inada condition)。(iv) 存在一個上限值 (upper bound) 使得。 ,(1)生產過程中使用兩種生產要素：資本 (K) 和有效勞動力 (efficiency

17、labor, )。(1) 式中 是t期的資本-有效勞動力比率 (capital-efficiency labor ratio)。是t期的技術進步因子 Azariadis and Drazen (1990, pp.506) 文中指出：技術進步因子的設定有三種方式“The scale factor At may depend functionally on a vector of social inputs that are not controlled by any one producer. Among these inputs one may in principle count econo

18、my wild averages of private inputs (see Lucas 1988 ), lagged values of input or output (as in Arrow 1962 ), or intangible factors such as knowledge Romer, 1986; Kohn and Marion, 1988 .”，將採用 Arrow (1962) 邊做邊學生產外部性的概念。Arrow 邊做邊學生產外部性的設定，係指技術進步或知識的增加是靠資本存量的累積，隨著時間的經過技術進步因子只增不減，因此可能產生規模效果 (scale effects

19、)，亦即經濟體系中人口數愈多其經濟成長率也愈高 Aghion and Howitt (1990, 1992) 發現經濟成長率與經濟體系中的人口數成正比。Kremer (1993)更以人口學的觀點，發現歷史上隨著人口不斷地增加，世界的經濟成長也隨之增加。然而，實證分析並不支持規模效果的存在，請見 Barro and Sala-i-Martin (1995) 第四章所言。有鑑於此，本文對於技術進步因子的設定，將採取平均每人資本量 (per capita) 的假設，其目的為避免規模效果的產生 Young (1998) 文中討論模型有否規模效果的優缺點。技術進步因子設定為 技術進步因子與Mountfo

20、rd (1999) 文中的設定方式相同。.(2)因此，平均有效勞動力的產出水準為.進一步可求出利潤極大化下t期時，要素的報酬等於其邊際產出 (marginal product) 的結果，如下所示,(3),(4)(3) 與 (4) 兩式中和分別為t期時有效勞動力和資本的報酬。因此t期每位勞動者的報酬會等於。為了簡化分析，我們假設一期後資本存量完全折舊 (即折舊率=1)，因此，t+1期的資本存量等於t期的總投資水準。財貨市場的均衡條件為，其中和分別代表t期的總消費量和總投資水準，最後，結合前述二式我們可以得到, 外生給定.(5)二、需求面採用Diamond (1965) 跨期疊代模型的假設，每位消

21、費者只活兩期且具有完全預知的特性。每一期都有新世代的人口出生，人口成長率n為外生給定的常數；不同世代或相同世代間的消費者具有齊質的 (homogeneous) 特性。第一期年輕時的消費者提供一單位的勞動力於勞動市場中賺取勞動所得，將一部份的勞動所得用於消費，剩餘的勞動所得為儲蓄且投資於Y財貨。第二期年老時退休不再工作，並以第一期投資的本金 (principal) 和報酬作為年老時消費之用。則t期出生的代表性個人其最適化問題為 ,(6),(6) 式中和分別代表t期出生的消費者於年輕時與年老時的消費，是每位消費者於年輕時的儲蓄。U() 為效用函數 假設效用函數必須滿足下列五個特性：(i) U：是二

22、次連續可微分 。(ii) U是嚴格準凹 (strictly quasi-concave) 函數 。(iii) 。(iv) 。(v) U是位似函數。，另外我們假設消費是正常財，即 ，其中與分別為效用函數U對與的偏微分；與分別為邊際效用函數對與的偏微分。依據 (6) 式可求出每人的最適儲蓄函數.(7)三、動態體系與長期均衡的特性本小節將考慮經濟體系長期均衡的特性，援用t期時總投資水準等於總儲蓄量的關係式，我們可以求得經濟體系的動態調整方程式，如下所示 證明請見附錄1。：.(8)再將 (3) 與 (4) 兩式代入 (8) 式可得 (9) 式如下：.(9)最後，可得 (9) 式為一條一階的差分方程式。

23、然而，(9) 式隱含：如果儲蓄函數是利率的非遞減函數 (即) 代表因利率增加而產生的替代效果不小於所得效果。，則給定任一，必定存在唯一達到自我預期實現 (self-fulfilling expectation)。 證明請見Galor and Ryder (1989)。因此，由 (9) 式我們可以求得，而且。同時，如果儲蓄函數是利率的非遞減函數 (即) 則函數是一對一函數 (single-valued function)。接著，可求得函數的一階導函數如 (10) 式所示： 二階導函數的符號則不確定，須視的符號而定。, 如果 . (10)令代表經濟體系長期均衡時均衡的資本-有效勞動力比率，亦即=

24、，因此，由 (9) 式可知必須滿足下式：.最後，經濟體系長期均衡時，存在且介於之間。 證明請見附錄2。叁、均衡成長路徑本節將分析經濟體系的均衡成長路徑，首先，推導平均每人資本量的成長率 ()，如下： 推導過程請參考附錄3。.由上式可知，經濟體系處於長期均衡狀態時 (即=)，均衡的成長路徑會受到均衡的資本-有效勞動力比率 () 的影響，因此，以下的分析將考慮不同的長期均衡狀態。定理1、定理2和定理3將分別說明3種不同的長期均衡狀態。定理1：內生性成長跨期疊代模型的經濟體系中，全域收斂 (global contraction) 至唯一的零長期均衡 (亦即長期均衡成長率為零) 的充分條件為(i) ,

25、(ii) , .證明：所有的勞動所得全部用於儲蓄時 (即)，進而由 (7) 式可知，代入 (8) 式可以得到的動態調整方程式，進一步推導其一階導函數，如下：, .因此，藉由條件 (i) 與 (ii)，我們可以繪製長期均衡狀態如圖1所示，圖1中是唯一的長期均衡，亦即經濟體系會全域收斂至零長期均衡。故得證。定理2：內生性成長跨期疊代模型的經濟體系中，存在非零長期均衡 (亦即存在多重長期均衡成長路徑) 的充分條件為和(i) , ,(ii) ,(iii) .證明：由 (10) 式可繪製圖2。條件(i)保證函數是一對一函數。條件(ii)保證函數在原點的斜率大於1。條件 (iii) 保證存在k0使得。故得

26、證。45°0 圖1 全域收斂0 圖2 多重均衡由圖2可知，經濟體系中存在多重均衡點，其中和是穩定的 (stable) 均衡點，原點和是不穩定的 (unstable) 均衡點。另外，由附錄3可知均衡成長率 (gt) 與kt成正比，因此和分別代表低成長和高成長不同的成長路徑。假使一經濟體系的資本-有效勞動力比率小於，則長期均衡會趨近低度成長路徑；反之，則長期均衡會趨近高度成長路徑，即為門檻效果。定理3：內生性成長跨期疊代模型的經濟體系中，存在唯一的、全域的、穩定的非零長期均衡的充分條件為和(i) , (ii) , (iii) , , (iv) , ,(v) , . 證明：如果下列四個條件

27、成立，即 (a) 函數是一對一函數；(b) 函數是嚴格凹函數 (strictly concave function)；(c) ；(d) 函數和45度線的交點落在第一象限，則跨期疊代模型的經濟體系中，會存在唯一的、全域的、穩定的非零長期均衡，如圖3所示。而條件 (v) 保證條件 (a) 成立；條件 (ii) 保證條件 (d) 成立；條件 (i) 保證條件 (c) 成立；條件 (iii) 和條件 (iv) 保證條件 (b) 成立。故得證。0 圖3 全域的唯一的穩定均衡肆、應用本小節將援用本文之內生性成長跨期疊代模型，探討資本所得稅對長期經濟成長率的影響。首先，假設生產函數為，其中，且代表資本-有效

28、勞動力比率，則有效勞動力的報酬；另外，將效用函數設定為對數型式的效用函數，則t期出生消費者極大化的問題，如下所示：, (11).(11) 式中是主觀的折現因子 (subjective discount factor) 且0 << 1，愈大代表時間偏好率 (rate of time preference) 愈小；反之亦然。是資本所得稅率 (或稱利息所得稅率) 且；T是來自於政府部門的移轉支付。每位消費者做決策時，均視與T為外生給定的參數。因此，依據 (11) 式可求出每人的最適儲蓄函數，如下：,(12)由 (12) 式可知：若投資稅或t+1期政府部門的移轉支付愈高時，每人的最適儲蓄量

29、會愈小；同時，每人的最適儲蓄函數是和的增函數。我們假設政府每期皆達到預算平衡且以定額 (lump-sum) 的方式將稅收移轉給家計單位。據此，政府部門的預算平衡限制式，可表示如下：. (13)將 (13) 式代入 (12) 式可以得到儲蓄函數，其中=/為外生參數，會受到資本所得稅率的影響。愈大，則每人的最適儲蓄量愈小，隱含政府政策會影響家計單位的儲蓄行為。進一步我們可以分析資本所得稅率對每人最適儲蓄函數的影響，如下：.(14)由 (8) 式可知經濟體系的動態調整方程式為：. (15)由 (15) 式我們可以求得，而且。函數的一階導函數與二階導函數分別為：,.函數的一階導函數滿足下列兩個特性：與

30、。因此，我們可以確定存在唯一的、穩定的非零長期均衡解。最後，我們考慮資本所得稅的影響，因為,所以，若減少資本所得稅率將導致長期均衡資本-有效勞動力比率隨之增加。長期均衡狀態下，平均每人資本量的成長率為：資本所得稅率對長期經濟成長率的影響為：.經濟學家們一致認為：低的資本所得稅將會增加實質資本的報酬，進而激勵民間儲蓄與投資意願，最後導致長期經濟成長率的提升。換言之，資本所得稅與長期經濟成長率是負相關的。因此，主張資本所得稅率愈低愈好的學者包括：Chamley (1986)、Sinn (1985)、Lucas (1988, 1990)、Feldstein (1995) 以及Yakita (2003

31、)。其中，Lucas (1990) 更明白地指出：若減少1%的資本所得稅率將會增加35%的資本存量。同時，實證研究亦支持上述論點，Mendoza et al. (1997) 採用1965年至1991年期間11個國家的資料進行分析研究，發現資本所得稅率與民間投資以及經濟成長率的確呈現出反向變動的關係。然而，由以上的分析我們可以得到：低的資本所得稅將會激勵民間儲蓄與投資意願，最後導致長期經濟成長率的提升，恰與上述文獻的結論相同。伍、結論Jones and Manuelli (1992) 指出在非凸性生產技術的跨期疊代模型中會得到兩個結論：第一、如果非凸性的程度夠大，則可能獲得均衡的成長路徑；反之，

32、如果非凸性的程度不夠大時，則均衡成長率會收斂至零；第二、初始條件 (initial condition) 決定了長期的成長路徑，並且存在門檻效果。然而，本文依據Galor and Ryder (1989) 和Arrow (1962) 的概念建構一個單部門的內生性成長跨期疊代模型，假設生產函數具備凸性生產技術的特性，並且證明出下列三個條件：第一、長期均衡成長率為零的充分條件；第二、存在多重長期均衡成長路徑的充分條件；第三、存在唯一的、穩定的長期均衡成長路徑的充分條件與必要條件。我們也推導出在多重穩定均衡成長路徑的特性下，初始條件可以決定長期均衡的成長路徑，而且存在門檻效果。換言之，本文證明出在凸

33、性生產技術的跨期疊代模型中可以得到與Jones and Manuelli (1992) 非凸性生產技術的跨期疊代模型相同的結論。針對Boldrin (1992) 與Jones and Manuelli (1992) 指出在單部門的跨期疊代模型中，若生產函數具備凸性技術的特性，則長期均衡成長率為零的結論；本文則得到相反的結果。最後，援用本模型分析資本所得稅對長期經濟成長率的影響，則得到與一般文獻相同的結論，即為低的資本所得稅終將導致長期經濟成長率的提升。附錄1：本附錄將推導經濟體系的動態調整方程式，藉由t期時總投資水準等於總儲蓄量的關係式，並將 (5) 與 (7) 兩式代入此關係式可得：. (A

34、.1)由 (2) 和 (A.1) 式可知：. (A.2)最後，將 (A.2) 式代入 (A.1) 式可得經濟體系的動態調整方程式，如下所示：. (A.3)結合 (A.1) 與 (A.3) 式，即為本文之 (8) 式。附錄2：本附錄將證明經濟體系長期均衡時，均衡的資本-有效勞動力比率存在且會介於之間。以下分三種情形討論：如果，則，所以。如果，則，所以。如果，則，所以。故得證。附錄3：本附錄將推導平均每人資本量的成長率，首先，計算資本-有效勞動力比率 () 的成長率，如下所示：. (A.4)長期均衡狀態下，須滿足的條件，結合和 (A.4) 與 (A.2) 兩式，可得平均每人資本量的成長率 ()，如

35、下：, 而且平均每人資本量的成長率 () 與kt成正比，證明如下：.參考文獻Aghion, P. and P. Howitt (1992), “A Model of Growth through Creative Destruction,” Econometrica, 60, 323-351.Arrow, K. J. (1962), “The Economic Implications of Learning by Doing,” Review of Economic Studies, 29, 155-73.Azariadis, C. and A. Drazen (1990), “Thresh

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