导数在经济学中应用

1、.14.4 4.4 导数概念在经济学中的应用导数概念在经济学中的应用一、边际与边际分析一、边际与边际分析二、弹性与弹性分析二、弹性与弹性分析.2一、边际与边际分析一、边际与边际分析 边际概念是经济学中的一个重要概念，边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率利用导数研究经通常指经济变量的变化率利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法，济变量的边际变化的方法，即边际分析法，是经济理论中的一个重要分析方法是经济理论中的一个重要分析方法1.1.边际成本边际成本 2.2.边际收入边际收入 3.3.边际利润边际利润 .3设某产品的设某产品的产量为产量为 x单位时所需的总成本单位时

2、所需的总成本为为)(xCC ，当产量由，当产量由 x增加到增加到 xx时，总时，总成本的增量为成本的增量为 )()(xCxxCC，此时，总，此时，总成本的平均变化率为成本的平均变化率为 xxCxxCxC)()( 它表示产量由它表示产量由 x变到变到xx时， 在平均意义时， 在平均意义下的下的边际成本边际成本. . 1.1.边际成本边际成本 .4如果极限如果极限 xxCxxCxCxx)()(limlim00 存在，则称此极限为产量为存在，则称此极限为产量为 x的边际成本，即的边际成本，即)( xC称之为称之为边际成本函数边际成本函数。 即即边际成本是总边际成本是总成本函数关于产量的导数成本函数关

3、于产量的导数。 边际成本的经济意义为：边际成本的经济意义为：在一定产量在一定产量 的基础上，再生产的基础上，再生产1 1单位产品应增加的总成单位产品应增加的总成本本. .即总成本对产量的变化率即总成本对产量的变化率. . .5根据边际成本的意义和导数的概念，根据边际成本的意义和导数的概念，一般有以下结论：一般有以下结论： （1 1）边际成本仅与变动成本有关，与）边际成本仅与变动成本有关，与固定成本无关固定成本无关 （2 2）如果某产品的单价为）如果某产品的单价为 P，则，则 若若PxC)( ，则企业还可继续增加产，则企业还可继续增加产量；量； 若若PxC)( ，则应立即停止增产，要，则应立即停

4、止增产，要致力于改进产品质量，提高出厂价格或降致力于改进产品质量，提高出厂价格或降低生产成本低生产成本 .6设设某某产产品品的的销销售售量量为为x时时总总收收入入函函数数为为)(xRR ，当当销销量量x有有增增量量x时时，其其总总收收入入的的平平均均增增长长量量为为 xxRxxRxR)()( 如如果果xxRxxRxRxx)()(limlim00存存在在， 则则称称此此极极限限是是销销量量为为x时时的的边边际际收收入入，即即)( xR称称之之为为边边际际收收入入函函数数. . 2.2.边际收入边际收入 边际收入的经济意义：边际收入的经济意义：每增加一个单位的销每增加一个单位的销量所增加的总收入数

5、量。即量所增加的总收入数量。即边际收入为总收入边际收入为总收入对销量的变化率对销量的变化率。.7设设)(xL是利润函数，则由总成本、总收是利润函数，则由总成本、总收入和总利润之间的关系，显然可得入和总利润之间的关系，显然可得 )()()(xCxRxL 两边求导得两边求导得 )( )( )( xCxRxL )( xL 称之为称之为边际利润函数边际利润函数。 3.3.边际利润边际利润 边际利润的经济意义：边际利润的经济意义：每增加一个单位的销每增加一个单位的销量所增加的利润。即量所增加的利润。即边际利润为总利润对销量边际利润为总利润对销量的变化率的变化率。.8例例 1 1 设某厂每月生产的产品固定

6、成本为设某厂每月生产的产品固定成本为10001000 元，生产元，生产x个单位产品的可变成本为个单位产品的可变成本为xx1001. 02元，如果每单位产品的售价为元，如果每单位产品的售价为 3030元，试求：总成本函数，总收入函数，总利润元，试求：总成本函数，总收入函数，总利润函数，边际成本，边际收入及边际利润为零时函数，边际成本，边际收入及边际利润为零时的产量的产量 解解 总总成成本本为为可可变变成成本本与与固固定定成成本本之之和和，依依题题设设， 总总成成本本函函数数 10001001. 0)(2xxxC 总总收收入入函函数数 xpxxR30)( 总总利利润润函函数数 )()()(xCxR

7、xL 10002001. 02xx .9令令0)( xL，得得02002. 0 x，1000 x。即即，当当月月产产量量为为 1 10 00 00 0 个个单单位位时时，边边际际利利润润为为零零. . 这这说说明明，月月产产量量为为 1 10 00 00 0 个个单单位位时时，再再多多生生产产一一个个单单位位产产品品不不会会增增加加利利润润 边边际际成成本本 1002. 0)( xxC 边边际际收收入入 30)( xR 边边际际利利润润 2002. 0)( xxL .101.1.弹性的概念弹性的概念 2.2.需求弹性需求弹性 3.3.用需求弹性分析总收益（或市用需求弹性分析总收益（或市 场销售

8、额）的变化场销售额）的变化 二、弹性与弹性分析二、弹性与弹性分析 弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应速度。或者说，一个经济变量变动百分之一会使另一个经济变量变动百分之几。 .111 1. .弹弹性性的的概概念念 设函数)(xf在点)0(00 xx的某邻域内有定义，且0)(0 xf。如果极限 00000000/)(/)()(lim/)(/limxxxfxfxxfxxxfyxx 存在， 则称此极限值为函数)(xfy 在点 0 x处的点弹性（也叫相对变化率） ，记为0 xxExEy； .121 1. .弹弹性性的的概概念念 而称比值 000000

9、/)(/)()(/)(/xxxfxfxxfxxxfy 为函数)(xfy 在点0 x与点xx0之间的弧弹性(平均相对变化率)。 如果函数)(xfy 在区间( , )a b内可导， 且( )0f x ， 则称( )( )EyxfxExf x为函数( )yf x在区间( , )a b内的点弹性函数，简称为弹性函数。 .13由由弹弹性性的的一一般般定定义义知知： 若若 Q Q 表表示示某某商商品品的的市市场场需需求求量量，价价格格为为p, ,若若需需求求函函数数( )QQ p可可导导，则则称称 d( ) dEQpQEpQ pp 为为商商品品的的需需求求价价格格弹弹性性，简简称称为为需需求求弹弹性性，常

10、常记记为为p。即即 d( ) dpEQpQEpQ pp 2 2. .需需求求弹弹性性 .14需需求求价价格格弹弹性性p一一般般为为负负。这这表表明明，当当商商品品的的价价格格上上涨涨（或或下下跌跌）1 1% %时时，其其需需求求量量将将减减少少（或或增增加加）约约 %p。因因此此，经经济济学学中中，比比较较商商品品需需求求弹弹性性大大小小时时，采采用用弹弹性性的的绝绝对对值值 p。当当我我们们说说商商品品的的需需求求价价格格弹弹性性大大时时，是是指指其其绝绝对对值值大大 当当1p （即即1p）时时, ,称称为为单单位位弹弹性性，此此时时商商品品需需求求量量变变动动的的百百分分比比与与价价格格变

11、变动动的的百百分分比比相相等等； 2 2. .需需求求弹弹性性 .15当当1p （即（即1p）时，称为）时，称为高弹性，高弹性，此时商品需求量变动的百分比高于价格变此时商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比， 价格的变动对需求量的影响较动的百分比， 价格的变动对需求量的影响较大；大； 当当10p （即（即1p） 时， 称为） 时， 称为低弹性低弹性，此时商品需求量变动的百分比低于价格变此时商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比， 价格的变动对需求量的影响不动的百分比， 价格的变动对需求量的影响不大。大。 2 2. .需需求求弹弹性性 .16在商品经济中， 商品经营者关心的是提价在商品经

12、济中， 商品经营者关心的是提价（0p ）或降价（）或降价（0p ）对总收益的影响）对总收益的影响. .设销售收益设销售收益 RQp（ Q为销售量，为销售量，p为价为价格） ，则当价格格） ，则当价格 p有微小改变量有微小改变量 p时，有时，有 QdpQdppdQpdQQdpQpddRR)1 ()( 即即 (1) dpRQ p 3 3. . 用用需需求求弹弹性性分分析析总总收收益益（或或市市场场销销售售额额）的的变变化化 .17由由p0 0 知，知，p= =p，于是有，于是有 (1) dpRQ p 由此可知，当由此可知，当1p（高弹性）时，降价（高弹性）时，降价(0)dp 可使总收益增加可使总收

13、益增加(0)R，薄利多销多，薄利多销多受益；提价受益；提价(d0)p 将使总收益减少将使总收益减少(0)R 当当1p（低弹性）时，降价可使总收益减（低弹性）时，降价可使总收益减少少(0)R，提价使总收益增加，提价使总收益增加 当当1p（单位弹性）时，总收益近似为（单位弹性）时，总收益近似为(0)R，即提价或降价对总收益没有明显的，即提价或降价对总收益没有明显的影响影响 .18解解 (1)(1)515pQe 所以所以 55d1()d55ppppQppeQpe 例例 2 2 设设某某商商品品的的需需求求函函数数为为 5pQe，求求 ( (1 1) )需需求求弹弹性性函函数数； ( (2 2) )3

14、56p 、时时的的需需求求弹弹性性, ,并并给给以以适适当当的的经经济济解解释释 .19解解 (2)(2)当当330.61,5pp时，为低弹性， 说低弹性， 说明明3p 时，需求变动的幅度小于价格变动的时，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，即价格上涨幅度，即价格上涨 1%1%，需求量只减少，需求量只减少 0.0.6%6%；此时降价将使总收益减少，提价将使总收益此时降价将使总收益减少，提价将使总收益增加增加 当当5p 时时1,p为单位弹性， 说明当为单位弹性， 说明当5p 时，需求变动的幅度与价格变动的幅度相同，时，需求变动的幅度与价格变动的幅度相同，即价格上涨即价格上涨 1%1%，需求量也减少

15、，需求量也减少 1%1%； 此时提此时提价或降价或降价对总收益没有明显影响价对总收益没有明显影响 .20解解 当当6p 时时，1.21p，为为高高弹弹性性，说说明明6p 时时，需需求求变变动动的的幅幅度度大大于于价价格格变变动动的的幅幅度度，即即价价格格上上涨涨 1 1% %，需需求求量量将将减减少少 1 1. .2 2% %；此此时时降降价价将将使使总总收收益益增增加加，提提价价将将使使总总收收益益减减少少 例例3 3 设糕点厂加工生产设糕点厂加工生产A A类糕点的总成本函数类糕点的总成本函数和收入函数分别是和收入函数分别是2( )10020.02C xxx（元）和和2( )70.01R x

16、xx（元）。 求求: :边际利润函数及当产量分别是边际利润函数及当产量分别是 200200 公公斤，斤，250250 公斤和公斤和 300300 公斤时的边际利润，并说公斤时的边际利润，并说明其经济意义明其经济意义. . .21解解 （1 1）由由题题意意，得得利利润润函函数数为为 2( )( )( )10050.01L xR xC xxx 边边际际利利润润函函数数为为( )50.02L xx 日日产产量量为为 2 20 00 0 公公斤斤、2 25 50 0 公公斤斤和和 3 30 00 0 公公斤斤时时的的边边际际利利润润分分别别是是 (200)1L（元）、(250)0L（元）、(300)

17、1L （元） 其其经经济济意意义义为为： 日日产产量量为为 2 20 00 0 公公斤斤的的基基础础上上，再再增增产产 1 1 公公斤斤，则则总总利利润润可可增增加加 1 1 元元；日日产产量量为为2 25 50 0 公公斤斤的的基基础础上上，再再增增产产 1 1 公公斤斤，则则总总利利润润无无增增加加；日日产产量量为为 3 30 00 0 公公斤斤的的基基础础上上，再再增增产产 1 1 公公斤斤，则则反反而而亏亏损损 1 1 元元. . .22解解 因为因为ddppQQp ， 所以所以pQpQQpQpp 而由题设条件得而由题设条件得 Q15%18%Qpp 所以所以18%1.215%p 故该商品的需求弹性约为故该商品的需求弹性约为- -1.21.2。 例 4 某产品在市场销售中，为了提高销量，降价了 15%，结果销量增长了 18%，试问该商品的需求弹性为多少？ .23作 业习题三33、34、35、36.24关于复合函数求导数的几个例子,1