求导法则与求导公式

1、§求导法则与导数的基本公式教学目标与要求1. 掌握并能运用函数的和、差、积、商的求导法则2. 理解反函数的导数并能应用；3. 理解复合函数的导数并会求复合函数的导数；4. 熟记求导法则以及基本初等函数的导数公式。教学重点与难度1. 会用函数的和、差、积、商的求导法则求导；2. 会求反函数的导数；3. 会求复合函数的导数前面，我们根据导数的定义，求出了一些简单函数的导数。但是，如果对每一个函数都用定义去求它的导数,有时候将是一件非常复杂或困难的事情。因此，本节介绍求导数的几个基本法则和基本初等函数的导数公式。鉴于初等函数的定义，有了这些法则和公式，就能比较方便地求出常见的函数初等函数的

2、导数。一、函数的和、差、积、商求导法则1.函数的和、差求导法则定理1函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数yu(x)v(x)在点x处也可导，且yu(x)v(x)u(x)v(x)同理可证：u(x)v(x)u(x)v(x)即证。注意：这个法则可以推广到有限个函数的代数和，即Ui(x)U2(x)UIUn(x)'u；(x)u：(x)HI"(x),即有限个函数代数和的导数等于导数的代数和。例1求函数yx4cosxlnx一的导数2解yx4cosxInx一24.xcosxInx一234x1sinx一x2.函数积的求导公式定理2函数u(x)与v(x)在点x处可导，则函数yu(x)iv(x

3、)在点x也可导，且yu(x)L(x)u(x)Mx)u(x)|v(x)。注意：1)特别地，当uc(c为常数)时，'''.ycv(x)cv(x),即常数因子可以从导数的符号中提出来。而且将其与和、差的求导法则结合，可得:yau(x)bv(x)au(x)bv(x)。2)函数积的求导法则，也可以推广到有限个函数乘积的情形，即(U1U2|pn)U1U2|unUlU2“|un5必|4。例2求下列函数的导数。321) y3x2x5x4sinx;32解y3x2x5x4sinx29x4x54cosx32) y3x4lnx5cosx4斛y4x-5sinxx例3求下列函数的导数1)yx34V

4、xlsinx；2)yx3|lnxlcosx解1)y(x34、,x卜inx)'(x3)'4(.x)sinx、x(sinx)'2)3x24(二=4所x6卜osx)2.xT3x22sinx丁4xlcosx(x3|nx,osx)'(x3)'|nx|cosxx3|(lnx)cosxx3|lnx(cosx)3x2Inxbosxx|1jcosxx3|lnx|sinxx2(3lnxjcosxcosxx|lnx|sinx)3.函数商的求导法则定理函数u(x)与v(x)在点x处可导，且v(x)0,则函数yu(x)v(x)x处也可导，且y联u(x)v(x)u(x)v(x)v2

5、(x)uvvxux所以xxxvxx.vx因为vx可导，必连续，故limvxxvx,于是x0则0vxlxm0lxm0vxlimvxxx0注意：特别地，当uc（c为常数）时,c丽cv(x)v2(x)(v(x)0)总结：根据上一节中求出的正弦和余弦的导数公式，可得三角函数的导数为:二、反函数的导数想一想：在基本初等函数中，还有哪些函数没有求导法则在基本初等函数中，我们还有反三角函数和指数函数的导数求法没有讨论，如何求呢易知，反三角函数和指数函数分别是三角函数和对数函数的反函数。能否通过三角函数和对数函数的导数来求反三角函数和指数函数呢这是可以的，这就是我们下面将要介绍的反函数的导数：x处可导，且定理

6、4设函数yf(x)在某一区间是单调连续，在区间任一点1f(x)0,则匕的反函数xf(y)在相应区间内也处处可导，且-1f (x)1f (x)f(x)1f 1(x)证因为函数yf(x)在某一区间内是单调连续函数，可知其反函数xf1(y)在相应区间内也是单调连续函数。当yf(x)的反函数xf1(y)的自变量y取得改变量y(y0)时，由xf1(y)的单调性知xf1(yy)f1(y)0,于是x1y_yx又因为xf1(y)连续，所以当y0时，x0。由条件知f(x)0,所以f 1 (y)lym05.1 lim x 0 yx11"yf(x)limf 1(x)(x)或f(x)11f (x)x0x即证

7、。例6求下列反三角函数的导数。1)yarcsinx;2)yarccosx;3)yarctanx；4)yarccotx。解由于y ax(x (例7求函数yax(a0,a1)的导数。)为对数函数xlogay(y(0,)的反函数，根据反函数的导数法则得x、y (a )1(log ay)y ln a ax ln a所以，指数函数的导数公式为In axx(a)a特别地，当ae时，有(ex)ex三、复合函数的求导法则综上，我们对基本初等函数的导数都进行讨论，根据基本初等函数的求导公式，以及求导法则，就可以求一些较复杂的初等函数了。但是，在初等函数的构成过程中，除了四则运算外，还有复合函数形式，例如：ysi

8、n2x。思考：如果ysin2x,是否有(sin2x)cos2x因此，要完全解决初等函数的求导法则还必须研究复合函数的求导法则。定理设函数u(x)在点x处有导数ux(x),函数yf(u)在对应点u处有导数%f(u),则复合函数yf(x)在点x处也有导数，且(f(x)f(u)(x)yu ux o的口以dydydu-间记为上或yxdxdudx(证明略)注意：(1)复合函数的求导法则表明：复合函数对自变量的的导数等于复合函数对中间变量求导乘以中间变量对自变量求导。这种从外向内逐层的求导的方法，形象称为链式法则。(2)复合函数的求导法则可以推广到有限个中间变量的情形。例如，设yf(u),ug(v),v(

9、x),则dydydudv3或yxYuuvVxdxdudvdx(3)在熟练掌握复合函数的求导法则后，求导时不必写出具体的复合步骤。只需记住哪些变量是自变量，哪些变量是中间变量，然后由外向内逐层依次求导。一，一一6例8求函数y23x的导数55解y623x31823x例9求函数ysinIn而的导数_1_1cosln.3x斛ycosIn3x.3.-3x2,x2x例10求哥函数yxu的导数。例11求函数yfsinxsinfx的导数。解yfsinxcosxcosfxfx例12求下列函数的导数。1心1)yf；2)ye。x(2) (uv) uv uv''u ' uv uv(4) (-) (v 0)v v(x)本节小结通过本节以及上一节学习，到目前为止。我们已经学习了全部初等函数的求导公式和函数的求导法则，以及反函数、复合函数、隐函数的求导法则。从而解决了初等函数的求导问题。这些公式和法则是基础，所以，必须要牢记和熟记。归纳如下：1 .求导