高等数学：11-3 幂 级 数

1、1幂级数的运算幂级数的运算小结小结 思考题思考题 作业作业power series第三节第三节 幂幂 级级 数数幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性函数项级数的概念函数项级数的概念 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数21. .定义定义 0nnx级数级数 )(1xunn如如)(,)(),(21xuxuxun设设则则函数项级数函数项级数. . )()()(21xuxuxun 21xx定义定义1 1幂幂 级级 数数一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念为定义在为定义在(a, b)内内的函数序列的函数序列,称为定义在称为定义在(a, b)内的内的32. .收敛点与收敛域收敛点与收敛域),(0bax 设设

2、若数项级数若数项级数0 x收敛收敛(或发散或发散) 则称则称x0为函数项级数为函数项级数)(1xunn 的收敛点的收敛点(或发散点或发散点). 函数项级数函数项级数的的)(1xunn 所有所有收敛点收敛点(或发散点或发散点) 称为其称为其收敛域收敛域 (或发或发)(1 nnu定义定义2 2散域散域).幂幂 级级 数数43. .和函数和函数定义定义3 3)(xsn设设为函数项级数为函数项级数),()(limxsxsnn则则s(x)称为函数项级数称为函数项级数和函数和函数. .)(1xunn 的前的前n项和序列项和序列, 若极限若极限),(bax 存在存在,的的)(1xunn 幂幂 级级 数数如如

3、, , 201xxxnn它的收敛域为它的收敛域为, 1| x发散域为发散域为. 1| x等比级数等比级数在在收敛域内收敛域内和函数和函数是是,11x 即有即有,111xxnn ).1 , 1( x5)()(limxsxsnn 函数项级数的部分和函数项级数的部分和余项余项)()()(xsxsxrnn (x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注注函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上是实质上是 )(xs定义域定义域),(xsn显然显然s(x) 的的定义域定义域就是就是,)1 , 1(上上 D 201xxxnn), 1()1 ,( )()()(21xuxuxun级数的

4、级数的收敛域收敛域.数项级数数项级数 的收敛问题的收敛问题.幂幂 级级 数数一般考虑函数一般考虑函数,11时时x 它的定义域是它的定义域是但只有在但只有在它才是它才是的和函数的和函数.6例例nxnnn311)1( 解解 由由比值比值(达朗贝尔达朗贝尔)判别法判别法nnnuu1lim 3x 31limxnnn(1) 当当 时时,1 x原级数原级数(2) 当当 时时,1 x原级数原级数nxnxnnn3331lim 绝对收敛绝对收敛;发散发散.求函数项级数的求函数项级数的收敛域收敛域.幂幂 级级 数数7级数为级数为,1)1(11nnn 条件收敛条件收敛级数为级数为,11 nn发散发散总之总之,所讨论

5、的级数的所讨论的级数的收敛域收敛域为区间为区间 把函数项级数中的变量把函数项级数中的变量x视为参数视为参数,时时，即即1, 1 xx时时，1 x时时，1 x(3) 1 x当当通过常数通过常数项级数的敛散性判别法项级数的敛散性判别法,哪些哪些 x 值发散值发散,些些 x 值收敛值收敛,来判定函数项级数对哪来判定函数项级数对哪这是确定函数项级数这是确定函数项级数收敛域的基本方法收敛域的基本方法.nxnnn311)1( .1 , 1( 幂幂 级级 数数81.1.定义定义,00时时当当 x,0nnnxa 如下形式的函数项级数如下形式的函数项级数nnnxxa)(00 称为称为的的幂级数幂级数. .为常数

6、为常数其中其中na的的幂级数幂级数. .定义定义)(0 xx nnnxxa)(00 称为称为x nnxxaxxaa)()(0010幂幂 级级 数数二、二、幂级数及幂级数及其收敛性其收敛性92. .收敛半径和收敛域收敛半径和收敛域 201xxxnn,1|时时当当 x,1|时时当当 x级数级数);1 , 1( )., 11,( 幂幂 级级 数数收敛收敛;发散发散;收敛域收敛域发散域发散域10证证0lim0 nnnxa收敛收敛 00)1(nnnxa阿贝尔阿贝尔 (Abel)(挪威挪威) 18021829nnnxa 0nnnxa 0|0 xx 定理定理1 1 (阿贝尔阿贝尔(Abel)定理定理)0(0

7、0 xxx在在|0 xx 处处在在0 xx 则它在满足则它在满足不等式不等式绝对收敛绝对收敛;发散发散.收敛收敛,发散发散,幂幂 级级 数数如果级数如果级数则它在满足不等式则它在满足不等式的一切的一切x处处如果级数如果级数的一切的一切x处处从而数列从而数列0nnxa有界有界, 即有常数即有常数 M 0,使得使得0|(0,1,2,)nna xMn11nnxannnxxxa00 nxxM0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa 0nnnxa即即级级数数nnnnxxxa00 |0 xx ;|)|(|0绝绝对对收收敛敛xx 幂幂 级级 数数0(2),x

8、x定理所设当时发散由由(1)结论结论,这与定理所设矛盾这与定理所设矛盾.使级数收敛使级数收敛,则级数则级数时应收敛时应收敛,0 xx 当当(反证反证)假设有一点假设有一点x1适合适合|01xx |0 xx 0|(0,1,2,)nna xMn12Ox 推论推论nnnxa 1也不是在整个数轴上都收敛也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确则必有一个完全确幂级数幂级数 绝对收敛绝对收敛;,|时时当当Rx ,|时时当当Rx 幂级数幂级数 发散发散.幂级数幂级数,时时与与当当RxRx 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散. .幂幂 级级 数数几何说明几何说明R R收敛区域收敛区域发散区域发散区域发散区

9、域发散区域如果幂级数如果幂级数不是仅在不是仅在x = 0一点收敛一点收敛,定的正数定的正数R存在存在,它具有下列性质它具有下列性质:13正数正数R称为幂级数的称为幂级数的幂级数的幂级数的收敛域的开区间收敛域的开区间称为幂级数的称为幂级数的),RR ,(RR .,RR 规定规定, R问问: :如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(RR 定义定义收敛半径收敛半径. .收敛区间收敛区间. .幂幂 级级 数数(1)幂级数只幂级数只在在x = 0处收敛处收敛, 0 R无收敛区间，收敛域为无收敛区间，收敛域为; 0 x(2)幂级数对一切幂级数对一切 x 都都收敛收敛,收敛区间收敛区间).,(

10、 而一般幂级数的而一般幂级数的收敛域可能为下列区间之一：收敛域可能为下列区间之一：14证证,0 nnnxa对对级级数数nnnnnxaxa11lim xaannn1lim x 设设,0)1(时时当当 ,0)2(时时当当 ,)3(时时当当 ;1 R; R. 0 R定理定理2 2nnnxa 0如果幂级数如果幂级数的所有系数的所有系数0 nannnaa1lim ）或或 nnalim(n幂幂 级级 数数由由比值审敛法比值审敛法,15,)0(lim)1(1存在存在如果如果 nnnaa,1|时时当当 x 0|nnnxa级级数数 0nnnxa,1|时时当当 x 0|nnnxa级级数数|,|11nnnnxaxa

11、 0nnnxa|lim1xaannn 1 R收敛半径收敛半径0|nnxa幂幂 级级 数数收敛收敛,从而级数从而级数绝对收敛绝对收敛.发散发散,并且从某个并且从某个n开始开始从而级数从而级数发散发散. 比值审敛法比值审敛法16, 0)2( 如果如果, 0 x),(011 nxaxannnn有有 0|nnnxa级级数数 0nnnxa; R,)3( 如果如果, 0 x 0nnnxa级级数数)|00收收敛敛使使 nnnxax. 0 R定理证毕定理证毕.|lim1xaannn 幂幂 级级 数数收敛收敛,从而级数从而级数绝对收敛绝对收敛.收敛半径收敛半径必发散必发散.(否则由定理否则由定理1知将有点知将有

12、点收敛半径收敛半径17例例 求下列幂级数的求下列幂级数的收敛半径收敛半径与与收敛域收敛域:解解)1(nnnnn 21)1(21lim12 R 1)()2(nnnx 12)!2() !()3(nnxnnnnnnxn)21(2)1()4(1 12)1(nnnnx21 nnnaa1lim )1(2lim nnn 1 R幂幂 级级 数数18,2时时当当 x,2时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为是收敛的交错级数是收敛的交错级数. 是调和是调和级数级数,发散发散.故收敛域为故收敛域为).2 , 2 , 级级数数只只在在0 x处处收收敛敛.0 R 1)()2(nnnx解解nn

13、 lim 12)1(nnnnxnna limn 幂幂 级级 数数19nnnaa1lim 12)!2() !()3(nnxnn)22)(12()1(lim2 nnnn )!2() !(!)1(2!)1(lim22nnnnn 41 4 R解解 1 R幂幂 级级 数数20级数为正项级数级数为正项级数 124)!2() !(nnnn因为因为112221 nnuunn所以所以,0lim nnu故级数故级数 发散发散. 124)!2() !(nnnn对应的常数项级数也对应的常数项级数也发散发散.当当 x = 4 时时,4时时当当 x).4, 4( 12)!2() !()3(nnxnn故收敛域为故收敛域为幂

14、幂 级级 数数212121| xt)1 , 0( xnnnnxn)21(2)1()4(1 ,0时时当当 x 11nn级数为级数为,1时时当当 x 1)1(nnn级数为级数为发散发散收敛收敛故收敛域为故收敛域为 R21 ,21 xt令令nnnntn2)1(1 解解还有别的方法吗还有别的方法吗 1limnnnaannn21lim (0,1.即即收敛收敛即即收敛收敛幂幂 级级 数数22解解是是缺偶次幂缺偶次幂的幂级数的幂级数.)()(lim1xuxunnn 例例 求函数项级数求函数项级数 的收敛区间的收敛区间.)!12() 1(ln120 nxxnnn去掉第一项去掉第一项,1232|)!12()!3

15、2(|lim nnnxnnx)32)(22(|lim2 nnxn所以所以,去掉第一项去掉第一项,级数处处收敛级数处处收敛.定义域为定义域为0 因为第一项因为第一项lnx的的所以所以,原级数的原级数的收敛区间收敛区间是是幂幂 级级 数数, 0 x)., 0( 比值审敛法比值审敛法23 2002年研究生考题年研究生考题,选择选择(3分分)例例nnnxa 1设幂级数设幂级数nnnxb 1与与的的收敛半径分别为收敛半径分别为,3135与与则幂级数则幂级数nnnnxba 122的的收敛半径为收敛半径为( )5)(A35)(B31)(C51)(DA分析分析22nnnbac 设设 1nncc 212122n

16、nnnabba2121 nnnnaabb535322 幂幂 级级 数数注：选择填空题可以加强条件做！24讨论幂级数讨论幂级数 的收敛域的收敛域.13)1(201 nnnnx解解 此级数是缺项的幂级数此级数是缺项的幂级数,作变换作变换,令令,2xy 级数变为级数变为13)1(01 nnnny因为因为131131lim1 nnnyR3 当当 y = 3时时, 级数为级数为,133)1(01 nnnn由于由于133lim nnn所以此级数发散所以此级数发散.不满足定理不满足定理2的条件的条件., 01 幂幂 级级 数数25故故 y(0)的幂级数收敛域是的幂级数收敛域是因此因此,原幂级数收敛域是原幂级

17、数收敛域是.33 x收敛半径收敛半径.3 R即为即为:. 30 y, 302 x幂幂 级级 数数26确定函数项级数确定函数项级数 的收敛域的收敛域. 1)(nxnnnxn解解 对任意固定的对任意固定的x,xnnnnxnxu )()(nxnnxnxu 11)(0 即即用用比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:)(limxunn 而级数而级数 是是p = x的的p 级数级数, 11nxn所以所以, 当当n充分大时充分大时,有有nnnx 1limxe xn1发散发散.故级数的收敛域为故级数的收敛域为. 1 x,),(充充分分大大时时当当任任意意nx 可视为可视为.正正项项级级数数幂幂 级级 数数

18、时时1 x收敛收敛.时时1 x27 1988年研究生考题年研究生考题,计算计算,5分分.)3(311的收敛域的收敛域求幂级数求幂级数nnnxn 解解,)3(31)(nnnxnxu 由由nnnnnxnxn)3(31)3(3)1(1lim11 |3|)1(3lim xnnn|3|31 x, 1|3|31 x令令)6 , 0( x即即)()(lim1xuxunnn 得得幂幂 级级 数数28内内在开区间在开区间)6 , 0()3(311nnnxn ,0时时当当 x,6时时当当 x的收敛域为的收敛域为因而因而nnnxn)3(311 ).6, 0nnn1)1(1 11nn幂幂 级级 数数处处收敛处处收敛.

19、收敛收敛发散发散291. 代数运算性质代数运算性质(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa 0nnnxc(其中其中 21,minRRR )nnnbac ),(RRx 00nnnnnnxbxa和和设设幂幂 级级 数数三、幂级数的性质三、幂级数的性质的收敛半径各为的收敛半径各为R1和和R2 ,30(2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa 0nnnxc),(RRx (其中其中)0110bababacnnnn (3) 除法除法 00nnnnnnxbxa 0nnnxc)0(0 nnnxb收敛域内收敛域内(相除后的收敛区间比原来相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多两级数的收敛区间小

20、得多)幂幂 级级 数数312. .和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质),0()1(0 RRxannn的收敛半径为的收敛半径为幂级数幂级数,),()(内内连连续续在在区区间间和和函函数数RRxs ),0()2(0 RRxannn的收敛半径为的收敛半径为幂级数幂级数,),()(内内是是可可积积的的在在区区间间和和函函数数RRxs 可逐项积分可逐项积分. .),(RRx 且对且对则其则其在端点收敛在端点收敛, ,则则在端点单侧连续在端点单侧连续. .则其则其幂幂 级级 数数32 xxsd)(即即 00dnxnnxxa101 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变) xnnnxxa00d)( 0

21、nnnxa，内是可导的内是可导的在区间在区间和函数和函数),()(RRxs )(xs 即即 0)(nnnxa 1nnxna(收敛半径不变收敛半径不变) 0)(nnnxa0 x逐项求导任意次逐项求导任意次. .并可并可则其则其1 n幂幂 级级 数数(3) 幂级数幂级数的收敛半径为的收敛半径为R (R 0),33解解.1的和函数的和函数求幂级数求幂级数 nnnx(1)求收敛区间求收敛区间1lim nnnaaR)1(11lim nnn时时，当当1 x,11 nn级数为级数为发散发散时时，当当1 x,)1(1 nnn级数为级数为1 收敛收敛故级数的求收敛区间为故级数的求收敛区间为).1 , 1 容易求

22、和函数的幂级数是几何级数容易求和函数的幂级数是几何级数,分析分析设法设法用逐项求导或逐项积分的方法把通项变形用逐项求导或逐项积分的方法把通项变形.例例幂幂 级级 数数34),1ln()(xxs 即即 xxsd)( 1)(nnnxxs,11x )11( x)(xs由牛由牛莱公式得莱公式得)1ln(x xxx0d11利用性质利用性质3,逐项求导逐项求导 11nnx)11( x,1处处在在 x,)(连续连续xs,)1ln(也连续也连续x 因因此此.1)(处也成立处也成立在在 xxs(2)求求和函数和函数s(x),)(1 nnnxxs设和函数设和函数. 0)0( s ,)1 , 1)(连连续续在在则则

23、 xs2ln)1( s得得0 x)0( s 幂幂 级级 数数35例例 求幂级数求幂级数 的和函数的和函数.1121 nnnxn解解 (1)求收敛域求收敛域1lim nnnaaR,211 nn级数为级数为发散发散,21)1(11 nnn级数为级数为收敛收敛12)1(121lim nnnnn2 故级数的故级数的收敛域收敛域).2 , 2 时时，当当2 x时时，当当2 x幂幂 级级 数数36(2)求求和函数和函数s(x) 设所求和函数为设所求和函数为s(x),21)(11 nnnxnxs有有 11nn逐项求导逐项求导21121x )( xxs 112nnx21x 21即即)2 , 2 x)(xsxx

24、 nnnxn 1211121 nnnxnnx 2幂幂 级级 数数37由牛由牛 莱公式得莱公式得:)0(0)(sxxs xx0)2ln( xxxxs0d )(xxxd210 )2ln(x 21lnx2ln 因此因此,)2 , 0()0 , 221ln1)( xxxxs当当x = 0时时,显然有显然有)0( s总之有总之有 1121nnnxn,21ln1 xx,21)2 , 0()0 , 2 x,21 0 x 幂幂 级级 数数xxxs 21 )(38 1996年研究生考题年研究生考题,计算计算,7分分.2)1(122的和的和求级数求级数 nnn解解 222)1(1nnn,11)(22nnxnxs

25、可设可设1 R收收敛敛半半径径nnxnnxs 111121)(2nnn 211122nnxnn 2111121,0时时当当 x例例幂幂 级级 数数39121121 nnxnx121121 nnxnx nxnx12x 11逐项求导逐项求导),1ln(x nxnx1211 n3 nnnxnxg 11)(设设 11)(nnxxg则则积分积分0)0( g得得)(xg)1ln(x 幂幂 级级 数数0( )(0)( )dxg xgg xx40知知由由)1ln()(xxg 2)(123xxxgxnnn 2)1ln(2xxx )(xs代入代入211( )ln(1)ln(1)222xs xxxxxx 得得 nx

26、nx12 nxnx1211 n3 n得得令令,21 x 212)1(122snnn. 2ln4385 幂幂 级级 数数41解解收敛收敛区间为区间为1lim nnnaaR 11nnnxxxnnnnxd)1(10 11nnnx(1)求收敛区间求收敛区间(2)求和函数求和函数s(x)利用性质利用性质2,逐项积分逐项积分 1)1()(nnnxs设和函数设和函数)2)(1()1(lim nnnnn1 ).1 , 1( 2x例例.2)1(1 nnnn的和的和求求xd0 x0 x 1)1()(nnxnnxs)(xgnx幂幂 级级 数数 xd 数项级数间接求和法数项级数间接求和法42 12)1(nnnn故故8 3)1(2xx xxnnxnxxxg0011dd)( 1nnxxx 1即即 101dnxnxnx又设又设,)(11 nnnxxg则则利用性质利用性质2,逐项积分逐项积分(3)求函数求函数s(x)在在 的值的值21 x2)1(1x xxxs0d)(22)1(xx xxxg1)()(d)(20 xgxxxsx 22)1()(xxxs)(xs 1)1(nnxnnn 21 21幂幂 级级 数数43 12)1()1(nnnnx求求 的收敛域与和