微积分课件：5-3 平面与直线

1、二、直线二、直线 第三节第三节 平面与直线平面与直线一、平面一、平面三、小结三、小结xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的该平面的法向量法向量法线向量的法线向量的特征特征： 垂直于平面内的任一非零向量垂直于平面内的任一非零向量已知已知),(CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面一、平面1、平面的点法式方程、平面的点法式方程n),(0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程 其中法向量其中法向量

2、),(CBAn 已知点已知点).,(000zyx例例 1 1 求过三点求过三点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的平面方程的平面方程.解解)6, 4, 3( AB)1, 3, 2( AC取取ACABn ),1, 9,14( 所求平面方程为所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量).,(CBAn 2、平面的一般方程、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方

3、程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.例例 2 2 求过点求过点)1 , 1 , 1(，且垂直于平面，且垂直于平面7 zyx和和051223 zyx的平面方程的平面方程.),1 , 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n取法向量取法向量21nnn ),5,15,10( , 0)1(5)1(15)1(10

4、 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 3 3 设平面过原点及点设平面过原点及点)2, 3, 6( ，且与平面，且与平面824 zyx垂直，求此平面方程垂直，求此平面方程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA),2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解另另解解: :利利用用点点法法式式方方程程例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中

5、0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴轴上上截截距距定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(222

6、2CBAn 3、两平面的夹角、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA (3)重重合合例例5 5 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面

7、相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(),1 , 1, 2(1 n)2, 2, 4(2 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合. ),(1111zyxP10n10d |Prj P P |P Pnn 1PNn0P 10010101P Pxx ,yy ,zz 解解 nA,B,C 010101222222222A(xx )B(yy )C(zz )dABCABCABC00011122

8、2AxByCz(AxByCz ),ABC 0111 DCzByAx)(1 P.|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式设设),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一点点，根据题意有根据题意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化简得所求方程化简得所求方程. 07262 zyx解解xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 0022221111DzCyBxADzCyBxA空间直线的一般方程空间直线的一般方程L二、二、 直线直线1、空间直线的一般方

9、程、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sL),(0000zyxM0M M ,LM ),(zyxMsMM0/),(pnms ),(0000zzyyxxMM 2、空间直线的对称式方程与参数方程、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的

10、参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数方程表示直线043201zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( B取取BAs ),4, 0, 2( 所求直线方程

11、所求直线方程.440322 zyx定义定义直线直线:1L,111111pzznyymxx 直线直线:2L,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式3、两直线的夹角、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(LL , 0212121 ppnnmm21)2(LL/,212121ppnnmm 直线直线:1L直线直线:2L),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例如，

12、例如，.21LL 即即(3)异异面面例例 3 3 求过点求过点)5, 2, 3( 且与两平面且与两平面34 zx和和152 zyx的交线平行的直线方程的交线平行的直线方程.解解设所求直线的方向向量为设所求直线的方向向量为),(pnms 根据题意知根据题意知,1ns ,2ns 取取21nns ),1, 3, 4( .153243 zyx所求直线的方程所求直线的方程例例 4 4 求过点求过点)3 , 1 , 2(M且与直线且与直线12131 zyx垂直相交的直线方程垂直相交的直线方程.解解先作一过点先作一过点M且与已知直线垂直的平面且与已知直线垂直的平面 0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直

13、线与该平面的交点再求已知直线与该平面的交点N,令令tzyx 12131. 1213 tztytx代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t交点交点)73,713,72( N取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为MNMN)373, 1713, 272( ),724,76,712( 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx5:x+7y+2z+2x+7y+2z+2例例求求点点(2,3,1)(2,3,1)在在直直线线=上上的的投投影影点点. .123123( 5,2,4) tztytxzyxN32,22,7),(:1 则则设投影点设投影点解解MN tttMNSMN33,25,9, 而而0

14、)33(3)25(29 ttt2 t)4 , 2 , 5( N投影点投影点4:2 见例见例解解6:例例求求点点(1,-2,3)(1,-2,3)关关于于平平面面x+4y+z-14=0 x+4y+z-14=0的的投投影影点点及及对对称称点点. .投投影影点点(2,2,4),(2,2,4),对对称称点点(3,6,5)(3,6,5)定义定义,:000pzznyymxxL , 0: DCzByAx),(pnms ),(CBAn 2),(ns4、直线与平面的夹角、直线与平面的夹角L直直线线 与与平平面面的的法法线线之之间间的的夹夹角角的的余余角角222222| AmBnCp|ABCmnp 直线与平面的夹角

15、公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： L)1(.pCnBmA L)2(/. 0 CpBnAm cossin2 5 、过直线的平面束方程过直线的平面束方程(7x7y2z10)11112222A xB yC zD0A xB yC zD0 11112222Ax By Cz D(Ax By Cz D) 0 的的平平面面方方程程。交交线线且且过过点点：求求过过例例)3 , 2 , 1(032 , 01280Mzyxzyx 9( x+y-z-1=0 x+y-z-1=0例例 求求直直线线L:L:在在平平面面:x+y+z=0:x+y+z=0上上的的投投影影x-y+z+1=0 x-y+z+1=0直直线线方方程程.page34.page34例例5)5)平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意两平面的（注意两平面的位置位置特征）特征）三、小结三、小结空间直线的一般方程空