热点专题二方程与不等式

1、热点专题二方程与不等式【考点聚焦】"方程与不等式包括方程与方程组、不等式与不等式组两方面内容."方程与不等式均存在标准形式，其解法具有程序式化的特点，是一种重要的数学根本技能此外，“方程与不等式也是刻画现实世界的一个实用性较高的数学模型，是解决现实生活中存在的大量“方程与不等式问题的有效工具.“方程与不等式是初中数学的核心内容之一.就解法与自身的应用来说，“方程与不等式是初中数学最重要的根底知识之一，同时也是学习函数等知识的根底；就所蕴含的“方程思想和转化思想而言，它更是培养同学们分析问题和解决问题思想方面的重要源泉和场 所.了解方程组与不等式组的概念及对方程组与不等式组的

2、解的理解；注 重对方程组与不等式组的解法和与其它知识点联系的考查，另一方面更注重考查对 其与现实生活的联系，能根据实际问题建立“方程和不等式模型解决简单实际问题的能力.在学业考试中所有题型均可出现，或以填空、 选择、解答题的题型单独呈现，或与其它 知识点结合渗透于各类数学问题和实际应用题中， 题量不小，一般难、易题均会出现，且难 度将随着题型变化而变化.【热点透视】 热点1考查对一元一次方程的解的概念理解和解法的掌握例1 2022怀化市.15关于x的方程3x 2m 4的解是x m，那么m的值是【解析】 将x m代入方程得3m- 2m= 4，解得m= 4。【点评】此题主要考查同学们对一元一次方程

3、的解的概念理解和解法的掌握，有较强的针对性，在方程组的实际应用中通常要求熟练理解方程的解的意义，是初中学业水平考查的重点。热点2 :考查二元一次方程组的解法及在实际问题中的应用例2 2022.怀化市.21解方程组:【解析】二元一次方程组是方程中的根底,根据方程组中方程的系数特征，选取恰当的消元方法是解决问题的关键，对于二元一次方程组通常采用代入消元法或加减消元法将其化为一元一次方程求解，此题可将方程-直接消去y,先求出x,然后代入方程求出 y,得到方程组的解。解：-得2x 6,x 3把x3代入得y 8.因此原方程组的解是x 3,8.【点评】此题主要考查二元一次方程组的解法，指向明确，它是运用方

4、程组解决实 际问题的根底，解法主要是代入消元法或加减消元法，是中考的考查热点。例3 2022.湘西.232022年5月1日，举世瞩目的世界博览会在上海隆重开园，开 幕式前，某旅行社组织甲、 乙两个公司的部门主管赴上海观摩开幕式的盛况，其中预订的一类门票，二类门票的数量和所花费用如下表：一类门票张二类门票张费用元甲公司251800乙公司161600根据上表给出的信息，分别求出一类门票和二类门票的单价解：设一类门票的单价为 x元/张，二类门票的单价为 y元/张2x 5y 1800那么有x 6y 1600解得：答：略【点评】x 400y 200此题以大家所熟知的热门背景材料入手，将条件以图表形式呈现

5、，出题新颖，考查了同学们对根底知识的灵活运用的能力，解决这类题的关键要认真审清题意，通过对图表数据的分析，找准题目中的等量关系，列出方程组并求解. 将实际问题转化为方程模型解题，这是近年来中考常见考查题型。热点3 :考查对一元二次方程的解法及在实际问题中的应用例4 2022.永州市.6方程x2 X的解是。【解析】此题是一道简单的解一元二次方程的求解题，用因式分解法解一元二次方程。 先移项，分解因式，只要认真，得分率很高。不过此题容易犯两边同除以x的错误。答案：x10.x21【点评】一元二次方程的解法较多，一般有配方法、公式法与因式分解法，要根据题型灵活选用解法，是中考的一个必考点。例52 01

6、0.株洲市.15两圆的圆心距 d 5，它们的半径分别是一元二次方程2x 5x 4 0的两个根，这两圆的位置关系是 .【解析】 此题要判定两个圆的位置关系，必须先分别求出两个圆的半径，解方程x2 5x 4 0可得方程的两个根分别为 1和4,所以两个圆的半径分别为1和4,故容易得出两圆的位置关系。答案：外切【点评】 此题综合考查一元二次方程的解和圆的位置关系的判定方法，要求学生在掌 握好用适当方法解一元二次方程的前提下，还能熟练地灵活运用相关知识点解决综合性数学问题，这类题型是历年来初中学业水平考试的热点。例62022.长沙市.23长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关

7、房地产的新政策出台后，购房者持币观望.为了加快资金周转， 房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售.1求平均每次下调的百分率；2 某人准备以开盘均价购置一套100平方米的房子.开发商还给予以下两种优惠方案 以供选择：打9.8折销售；不打折，送两年物业管理费.物业管理费是每平方米每月1.5元请问哪种方案更优惠？解：1设平均每次降价的百分率是x,依题意得5000 1 x 2= 405019解得：X1 = 10 %X2=不合题意，舍去10答：平均每次降价的百分率为10%.2方案的房款是：4050X 100X 0.98= 396900 元方案的房款是： 4050X 10

8、0 1.5X 100X 12 X 2= 401400 元/ 396900 V 401400选方案更优惠.【点评】此题背景材料贴近生活，考查列一元二次方程解决与增长率类似的实际问题， 需要理清题意，熟练掌握增长率问题的计算公式，在得出方程的解后，要对方程中的未知数赋予的实际意义进行检验，同时，该题也是一道好的决策型问题，涉及到解决问题的策略， 在考查同学们运用知识解决实际问题能力方面具有较好的效度，应当引起重视.热点4 :考查分式方程的解法及运用分式方程解决实际问题的能力.4x例7 201 0.岳阳市.19解方程：一 =1x 2 x 2解：去分母，得4 x=x 2解得：x=3经检验：x=3是原方

9、程的解.【点评】此题考查分式方程的解法，解分式方程关键是用灵活的方式把分式方程转化为 整式方程，解分式方程时，在方程的变形过程中，有可能产生增根，因此，在求出整式方程 的解之后不要忘记检验，这是一个必不可少的步骤，一定不要忘记.检验的方法有两种：一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验；另一种是把求得的未知数的值代入分式的最简公分母进行检验.例8 201 0.益阳市.7 货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同， 小车每小时比货车多行驶 20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时,依 题意列方程正确的选项是A.25C.2535x 2035x 20B.D.25x 2025

10、x 2035x35x答案：C【点评】此题考查如何根据实际问题列出分式方程解题， 当所列方程为分式方程时，不 仅要对方程中的解进行检验， 更要对方程中的未知数所赋予的实际意义进行检验 当然在其 它形式的方程组中也不例外，检验所得解在实际问题中的可行性这是我们必须引起 咼度重视的。例9 20 10.永州市.22我市某县为创立省文明卫生城市，方案将城市道路两旁的人 行道进行改造，经调查可知，假设该工程由甲工程队单独来做恰好在规定时间内完成；假设该工程由乙工程队单独完成，那么需要的天数是规定时间的2倍，假设甲、乙两工程队合作 6天后,(1) 问该县要求完成这项工程规定的时间是多少天？(2) 甲工程队做

11、一天需付给工资5万元，乙工程队做一天需付给工资3万元。现该工程由甲、乙两个工程队合作完成，该县准备了工程工资款65万元。请问该县准备的工程工资款是否够用？【解析】根据题意，规定时间就是甲单独需要的时间，所以设规定时间是 x天，那么甲1 1单独完成的时间就是 x天，乙单独完成的时间为2x，甲乙一天的工作效率分别为，丄，x 2x 113甲、乙两工程队合作 6天的工作量表示为 6()，甲又单独干了 3天表示为一，没交代x 2xx113具体工作量是多少的情况下，一般是总工作量为1，所以列方程6()1 ；( 2)x 2x x 由(1)可以知道甲乙分别单独做需要的时间，用工作量除以两队合作一天的工作效率就

12、是 二者合作所用的时间，就可以进一步求出所需的工资款，作出判断，是否够用。解：(1)设规定时间是x天；根据题意得，1136()1,解这个方程得x = 12x 2x x经检验：x = 12是原方程的解。答：该县要求完成这项工程规定的时间是12天；(2)由(1)知，由甲工程队单独做需 12天，乙工程队单独做需 24天，1 1甲乙两工程队合作需要的天数是1+()= 8天12 24所需工程工资款为(5+3) X8= 64万V 65万故该县准备的工程工资款已够用。【点评】此题是工程问题，也就是总工作量、效率与时间问题，建立起方程组的模型并解方程组，有较好的效度、可推广性，运用分式方程解实际问题，在求解后

13、一定要对方程的解进行检验，并看是否符合实际.热点5:综合运用方程(组)与其他数学知识相结合解决有关函数问题的考查例10( 201 0.益阳市.18)我们知道，海拔高度每上升1千米，温度下降6C .某时刻, 益阳地面温度为20C，设高出地面x千米处的温度为y C .(1) 写出y与x之间的函数关系式；(2) 益阳碧云峰高出地面约500米，求这时山顶的温度大约是多少C?(3) 此刻，有一架飞机飞过益阳上空，假设机舱内仪表显示飞机外面的温度为-34 C,求飞机离地面的高度为多少千米 ？解：y 20 6x ( x 0)500米=0.5千米y 20 6 0 517( C)34 20 6xx 9答：略.【

14、点评】将方程的命题与函数知识结合起来以解决实际问题的考查，注重对同学们将各种根底知识综合运用的能力的考查，在初中数学学业水平试卷中属中档题，以填空、选择、有较好的效度，是中考中常见题型。ax2 4x c经过点A(0, 6)和解答题为主，考查要求到达课程标准所规定的毕业水平,例11(2022.湘西.25)如图，抛物线 yB(3, 9)，(1 )求出抛物线的解析式；(2) 写出抛物线的对称轴方程及顶点坐标；(3) 点P(m, m)与点Q均在抛物线上(其中m>0),且 这两点关于抛物线的对称轴对称，求 m的值及点Q的坐标；a 0240 c6解：(1)依题意有 a 3243 c9(4) 在满足(

15、3)的情况下，在抛物线的对称轴上寻找 一点M，使得 QMA的周长最小.c6即9a12 c 9a1c6抛物线的解析式为：y x2 4x 6(2)把 y x2 4x 6配方得，y (x 2)2 10对称轴方程为x 2 顶点坐标(2, 10)(3)由点P(m,m)在抛物线上有m2m 4m 6即m25m 6 0 m16或m?1 (舍去) P(6,6)点P、Q均在抛物线上，且关于对称轴x 2对称 Q( 2,6)(4)连接AQ, AP，直线AP与对称轴x 2相交于点M , 由于P,Q两点关于对称轴对称，由轴对称性质可知，此时的交点M，能够使得厶QAM的周长最小.设直线PA的解析式y kx bb 6k 2k

16、 6 b 6 b 6直线PA的解析式为：y 2x 6 设点M (2,n)那么有n 2 2 62此时点M2, 2能够使得厶AMQ的周长最小。【点评】对于方程的命题通常与二次函数等知识联系进行考查是常见题型。将函数的相关图象和三角形、四边形等图形的结合，考查同学们综合解决有关函数问题的能力，各种根本知识的综合理解运用能力的培养以及数形结合思想的运用等，成为初中学业水平考查的重点.热点6 :一元一次不等式组的解法的考查例122022.郴州市.12不等式的3x 12解集是.答案：X 1【点评】 本小题考查了同学们解不等式的根本功，具有较强的针对性一元一次不等 式的解法和一元一次方程的解法类似，只是应注

17、意系数化为1时不等号的方向变化与否。例132022.长沙市.5O O1.O 02的半径分别是r12、匕 4，假设两圆相交，那么圆心距O1O2可能取的值是A . 2B . 4C . 6D . 8【解析】如设两圆圆心距 0102为d,根据两圆的位置关系，那么有 4 2V d V4 + 2,故满 足条件的选项只有 B解：选B【点评】本小题既考查了同学们对两圆的位置关系的掌握， 同时渗透了解不等式组的考 查，有较好的效度。例142022.岳阳市.5将不等式组x 20的解集在数轴上表示，正确的选项是2x0-2-4L.-20Du1e-2 0 2 -2 0 2BC【解析】上述题考查一元一次不等式组解法，解一

18、元一次不等式组， 应先将不等式组中两个不等式分别标上、，再分别求解每一个不等式，然后可利用数轴找出解集的公共部 分。解题时应清楚把握不等式性质3:不等式两边都乘以或除以一个负数时，不等号的方向改变，如解上题中的第 2个不等式。解:A【点评】不管是解不等式还是不等式组都是中学数学学习的必备能力，它们是中考不可 或缺的重要考点。热点7 :将解不等式组与其他数学知识相结合解决有关函数问题的考查例15 2022.娄底市.12如果点 Pm 1,2 m在第四象限，那么m的取值范围是【解析】根据第四象限中点的坐标特征，得m- 1> 0, 2 m< 0,解得：m> 2。【点评】此题考查的知识

19、点较灵活，既考查了平面直角坐标系的根本知识，同时又考查了不等式组的解法，有较高的效度。是中考关注的热点。例162022.湘潭市.3函数y .1 X中自变量的取值范围是，A. X 1 B. X 1 C. X 1 D. X 1【解析】 结合函数的概念和二次根式的意义，得1 x>0,解得：X 1.解：选Bo【点评】将求函数自变量的取值范围与解不等式组相结合进行考查，经常在各类考试中出现。例172022.长沙市.13反比例函数y 1丄 的图象x如图，贝U m的取值范围是 .m<1。【解析】考虑到反比例函数的根本概念和性质，结合反比例 函数的图象，可得：1-m> 0,解得：【点评】将函

20、数一次函数、反比例函数的根本概念、函数的自变量取值范围、 根式的意义等知识点与解不等式组相结合进行考查，这是历年来中考的热点。 热点8:综合运用方程组和不等式组等知识解决与生活和社会实际相关的实际问 题能力的考查.例182022.岳阳市.24某货运码头，有稻谷和棉花共2680t,其中稻谷比棉花多 380t.1求稻谷和棉花各是多少？2 现安排甲、乙两种不同规格的集装箱共50个，将这批稻谷和棉花运往外地 .稻 谷35t和棉花15t柯装满一个甲型集装箱；稻谷 25t和棉花35t柯装满一个乙型集装箱.按此 要求安排甲、乙两种集装箱的个数，有哪几种方案？解：1设稻谷为xt，棉花为yt.根据题意，可列方程

21、x y 2680x 1530解得x y 380y 1150答：稻谷、棉花分别为1530 吨、1150 吨2解：设安排甲型集装箱x个，乙型集装箱50-x个.根据题意，可得35x 25(50 x) 153015x 35(50 x) 1150解得 28W xw 30又因为x为整数共有三种方案-x=28、29、30方案一：安排甲型集装箱方案二：安排甲型集装箱方案三：安排甲型集装箱28个，乙型集装箱 22个29个，乙型集装箱 21个30个，乙型集装箱 20个【点评】此题具有决策型问题的特征，既要考虑到解决问题的策略，又需要其他的数学 知识考查同学们运用“方程组与不等式组思想和知识解决实际问题能力，这类问

22、题的解答遵循“生活实际问题t数学问题t解数学问题t解决生活实际问题的特点，考查同学们将生活实际问题“数学化 ，同时也考查了在生活中用数学的意识。不仅基于数学的 角度考虑问题，还要基于生活的角度考虑问题，有较高的效度。将解决生活中问题转化为方程和不等式模型，进而解决问题是一种有效实用的途径，培养同学们应用数学知识解决实际问题的意识，这也是中考的一种导向。【考题预测】1、关于x的方程3X 2m = 4的解是x = -2，那么m的值是3x 2y 72、方程组，的解是-x 2y 52 63、 解方程：+1= x 1 x5、 如果点R2m 4,1 m)在第二象限，那么 m的取值范围是 .6、如图，抛物线

23、 y= x2 + bx+ c经过点(一1, 0),且顶点在第一象限，顶点坐标为(1 , 3),那么此抛物线的解析式为.7、 两圆的圆心距为 5,两圆的半径分别为方程 x2-4 x+3=0的两根，那么两圆的位置关系 为()°A .内切E.外切C.相交D.外离8、 某汽车配件厂一月份生产汽车配件2400个，第一季度共生产汽车配件8460个，设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是()A、2400(1 x)28460B.2400 2400(1x)2400(1x)28460C、2400 2400(1x)28460D.2400 2400(1x)2400(12x)84609、我市某社区为配合市政府创立文明城市，准备在街道两边新配置一批垃圾桶，同时修建局部垃圾池，根据实地考察，应购置垃圾桶数刚好是修建垃圾池数的6倍，垃圾桶的价格为260元/个，另安装垃圾桶工资 20元/个，修建一个垃圾池约花费资金720元。按此计算，该社区共需投资6万元。问该社区预计购置垃圾桶和修建垃圾池各多少个？在购置垃圾桶时得知，购置数量在120个以上时，可优惠 5 %，并免费负责安装，照这样计算，该社区在这项投资中可节省投资多少元？10、 将一个斜边为8cm的等腰直角三角尺如图放置在平面直角坐标系内，顶点分别为A、B、C,斜边AB与X轴重合，点 B