2019-2020学年选修2-34计数应用题学案

1、1. 4 计数应用题1. 了解计数应用题中的常见问题类型.2理解排列、组合的概念及公式应用.3 掌握解决排列组合综合应用题的方法.炼i 解排列组合混合应用题时，首先应区分是排列，还是组合关键看问题是否与所选 的元素的顺序有关，若与顺序有关则为排列，否则为组合.2对于排列组合的综合问题，求解时要注意分类与分步两个计数原理的综合运用，且应遵循先组合后排列，即先算组合后算排列的原则,在分类、分步时，要做到不重不漏._3运用排列组合的知识，结合两个基本计数原理，能够解决很多计数问题.、自我尝试1 判断(正确的打“V”，错误的打“x”)(1)6 本不同的书分成 3 组，一组 4 本，其余组各 1 本，共

2、有 15 不同的分法.()(2)7 名同学站一排，甲身高最高，排在正中间，其他6 名同学身高不等，甲的左，右两边以身高为准，由高到低排列，则不同的排法共有20 种.()(3)某同学有同样的画册 2 本，同样的集邮册 3 本，从中取出 4本赠送给 4 位朋友，每 位朋友 1 本，则不同的赠送方法共有20 种.()答案：(1)2(2)V(3)X2.用 1,2,3,4,5 这 5 个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数的个数为 _解析：分两类，一类是末位是 2 时，有 A2个；另一类是末位是 4 时，有 A2个，共有 2A2=24 个.答案：243 某运动队有 5 对老搭档运动员，现抽派 4 个运

3、动员参加比赛，则这 4 人都不是老搭档的抽派方法数为 _ 解析：先抽取 4 对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1 人，故有 c4c2c2c2c2=80 种.答案：804 房间里有 5 个电灯，分别由 5 个开关控制，至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为_解析：因为开灯照明只与开灯的多少有关， 而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问 题开 1原理，不同的开灯方法有C1+C5+ - +C55=31 种.个灯有 c1种方法，开 2 个灯有 c2种方法5 个灯全开有 C5种方法，根据分类计数原理，不同的开灯方法有C1+C5+ - +C55=31 种.斥穽点 1 排列应用题应 1用数字

4、0, 1, 2, 3, 4, 5 组成没有重复数字的四位数.（1）可组成多少个不同的四位数？（2）可组成多少个能被 3 整除的四位数？（3）将 （1） 中的四位数按从小到大的顺序排成一排，则第85 个数是多少?【解】（1）法一：（直接法）可组成不同的四位数A5A5=300（个）.法二：（间接法）可组成不同的四位数 A6-A5=300（个）.各位数字之和是 3 的倍数的数能被 3 整除，符合题意的有：1含 0, 3，则需从 1 , 4 和 2, 5 中各取 1 个，可组成 C2C2C3A3个能被 3 整除的四位 数；2含 0 或 3 中的一个，均不适合题意；3不含 0, 3，由 1 , 2, 4

5、, 5 可组成 A4个能被 3 整除的四位数. 所以可组成能被 3 整除的四位数C c1C3A3+ A4= 96（个）.（3）1 在千位的数有 A3= 60（个）;2 在千位，0 在百位的数有 A2= 12（个）;2 在千位，1 在百位的数有 A2= 12（个）.以上的四位数共有 84 个，故第 85 个数是 2 301.不同数字的无重复排列是排列问题中的一类典型问题，其常见的附加条件有奇偶数关 系、倍数关系、大小关系等，也有相邻问题、插空问题、与数列等知识相联系的问题等解 决这类问题的关键是弄清事件是什么、元素是什么、位置是什么、给出了什么样的附加条件，然后按特殊元素（位置）的性质分类（每一

6、类答案：31互动的各种方法都能保证事件的完成)，按事件发生的连续过程合理分步来解决，这类问题中的 隐含条件“0 不能在首位”绝不能忽略.1用数字 0, 1 , 2, 3, 4, 5 组成无重复数字的四位数，其中，必含数字 2 和 3，并且 2 和 3 不相邻的四位数有多少个？解：注意到 0”的特殊性，故分两类来讨论.第一类：不含 0”的符合条件的四位数，首先从1 , 4, 5 这三个数字中任选两个作排列有 A2种；进而将 2 和 3 分别插入前面排好的两个数字中间或首尾位置，又有A2种排法，于是不含 0 且符合条件的四位数共有A3A3=36(个).第二类：含有 0”的符合条件的四位数，注意到正

7、面考虑头绪较多，故考虑运用“间接法”：首先从 1 , 4, 5 这三个数字中任选一个，而后与 0, 2, 3 进行全排列，这样的排列共 有A3A4个.其中，有如下三种情况不合题意，应当排除：(1) 0 在首位的，有A3A3个;(2) 0 在百位或十位的，但 2 与 3 相邻的，有 2A3A2个；(3) 0 在个位的，但 2 与 3 相邻的，有 As2A2个.因此，含有 0 的符合条件的四位数共有A3A2(A3A3+4A3A2)=30(个).于是可知，符合条件的四位数共有36 + 30 = 66(个).探究点 2 组合应用题CE 某医院从 10 名医疗专家中抽调 6 名组成医疗小组到社区义诊，其

8、中这10 名医疗专家中有 4 名是外科专家问：(1) 抽调的 6 名专家中恰有 2 名是外科专家的抽调方法有多少种？(2) 至少有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？(3) 至多有 2 名外科专家的抽调方法有多少种？【解】(1)分步：首先从 4 名外科专家中任选 2 名，有 C4种选法，再从除外科专家外的 6 人中选取 4 人，有 C4种选法，所以共有 dc6= 90 种抽调方法.(2)法一：(直接法)按选取的外科专家的人数分类:1选 2 名外科专家，共有 C4种选法；2选 3 名外科专家，共有 C4C3种选法；3选 4 名外科专家，共有 C4C1 2种选法，根据分类计数原理，共有C C4+C

9、4C3+C4C2= 185 种抽调方法.法二：(间接法)不考虑是否有外科专家，共有C9o种选法，考虑选取 1 名外科专家参加,有C4C6种选法；没有外科专家参加，有C6种选法，所以共有 Cio CiCi C6= 185 种抽调方法.(3) “至多 2 名”包括“没有”“有 1 名”“有 2 名”三种情况，分类解答.1没有外科专家参加，有 c6种选法；2有 1 名外科专家参加，有C4C5种选法；3有 2 名外科专家参加，有 C4C4种选法.所以共有 ci+C1C6+C2C6=115 种抽调方法.1 解决有约束条件的组合问题与解决有约束条件的排列问题的方法一样，都是遵循“谁特殊谁优先”的原则，在此

10、前提下，或分类或分步或用间接法.2要正确理解题中的关键词，如“至少”“至多”“含”“不含”等的确切含义，正 确分类，合理分步.(3)要谨防重复或遗漏，当直接法中分类较复杂时，可考虑用间接法处理，即“正难则反”的策略.2某大学要从 16 名大学生(其中男生 10 名，女生 6 名)中选出 8 名学生组成“假期下乡送科学小组”.(1)如果小组中至少有 3 名女生，那么可组成多少个不同的小组?如果小组中至少有 5 名男生，那么可组成多少个不同的小组?如果小组中至多有 3 名女生，那么可组成多少个不同的小组?解：(1)至少有 3 名女生的不同小组数，可划分为如下四类:有 3 名女生的不同小组数为 C3

11、Cio个；有 4 名女生的不同小组数为 C4C1 o个；有 5 名女生的不同小组数为 C5C1 o个；有 6 名女生的不同小组数为 C8c1 o个.所以至少有 3 名女生的不同小组数为&0+ c6c?o+ C5C（o+ c6c2o=20X252+15X210+6X120+45=8 955（个）.至少有 5 名男生的不同小组数，可划分为如下四类：有 5 名男生的不同小组数为 cic?o个；有 6 名男生的不同小组数为 c2c?o个；有 7 名男生的不同小组数为 c?cio个；有 8 名男生的不同小组数为 coc?o个.所以至少有 5 名男生的不同小组数为cicw + c6c6o+ c?c7o+c

12、6c?o=2ox252 + 15X2io + 6X12。+ 45= 8 955（个）.至多有 3 名女生的不同小组数，可以划分为如下四类：不含女生的不同小组数为 C?o个；只含 1 名女生的不同小组数为 C1c1o个；只含 2 名女生的不同小组数为 C2C1o个；只含 3 名女生的不同小组数为 C3c1o个.所以至多有 3 名女生的不同小组数为C1o+ C1C7o+ C2C6o+ c6c1o= 45 + 6X12o +15X21o+ 2ox252 = 8 955（个）.探究点3排列组合综合问题CE有 5 个男生和 3 个女生，从中选出 5 人担任 5 门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选

13、法数.（1）有女生但人数必须少于男生；（2）某女生一定担任语文科代表；(3) 某男生必须包括在内，但不担任语文科代表；(4) 某女生一定要担任语文科代表，某男生必须担任科代表，但不担任数学科代表.【解】(1)先选后排，先选可以是 2 女 3 男，也可以是 1 女 4 男，先选有(C5C2+ C4C3)种，后排有 A5种,所以共有不同选法(C3C3+C4C3)A5=5 400(种).(2) 除去一定担任语文科代表的女生后，先选后排，共有不同选法C7A4=840(种).(3)先选后排， 但先安排不担任语文科代表的该男生，所以共有不同选法C7C1A4= 3 360（种）.(4)先从除去必须担任科代表

14、， 但不担任数学科代表的该男生和一定要担任语文科代表 的该女生的 6 人中选 3 人有 C3种，再安排必须担任科代表，但不担任数学科代表的该男生有种，所以共有不同选法 C6C3A3=360(种).万i去归纳原则.字，一共可以组成多少个没有重复数字的五位偶数?解：(1)五位数中不含数字0.第 1 步，选出 5 个数字，共有C5C2种选法.第 2 步，排成偶数一一先排末位数，有 A1种排法，再排其他四位数字，有 A4种排法. 所以 N1=c3C4A2A?.(2)五位数中含有数字 0.第 1 步，选出 5 个数字，共有 C5C：种选法.C1种，其余 3 人全排列有 A3本题不仅要求选出5 个元素，还

15、要求分配在 5 个空位上,因此是一道“既选又排”的排列与组合的综合问题.该类问题的处理方法是先选后排”，同时注意特殊元素优先安排的跟踪训媒:3从 1 , 3, 5, 7, 9 中任取 3 个数字，从0, 2, 4, 6, 8 中任取 2 个数第 2 步，排顺序又可分为两小类：末位排 0，有A1A?种排列方法;末位不排 0这时末位数有 C1种选法，而因为零不能排在首位， 所以首位有 A1种排法,其余 3 个数字则有 A3种排法.所以 N2=C5C4(A1A4+A3A3).所以符合条件的偶数个数为N=Ni+ N2=C5C4A2A4+C3C4(AU4+A3A3)= 4 560.、素养提升 一 一 一

16、 一 一 一 一 一 一 一 一 两个计数原理是解决计数问题的根本，在解题中要抓住“分类”还是“分步”， 合”(无序)还是“排列”(有序).本节学习过程中，注意以下原则：(1) 特殊元素(或位置)优先安排；(2) “相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”；混合问题，先“组”后“排”.mi；.按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式?(1) 分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2) 甲、乙、丙三人中，一人得1 本，一人得 2 本，一人得 3 本;平均分成三份，每份 2 本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；分成三份，1 份 4 本，另外两份每份

17、1 本；甲、乙、丙三人中，一人得4 本，另外两人每人得 1 本；甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本.【解】(1)无序不均匀分组问题.先选 1 本，有 C6种选法；再从余下的 5 本中选 2 本，有 C2种选法；最后余下 3 本全选,有 c3种选法.故共有分配方式C C2C3= 60(种).有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同的三人，在(1)题基础上，还应考虑再分配，共有分配方式“C6C2C3A3=360(种).(3)无序均匀分组问题.先分三组，则应是C6C4种方法，但是这里出现了重复不妨记六本书为D，E, F，若第一步取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF，记该种分法为（AB

18、，CD ,EF),贝 UC6C3C2种分法中还有(AB, EF , CD), (CD , AB, EF), (CD , EF , AB), (EF, CD ,AB）, （EF, AB, CD），共有 A3种情况，而这 A3种情况仅是 AB, CD , EF 的顺序不同，因此3 用 0, 1，9 这 10 个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）A, B， C，只能作C6C2C2 =15(种).有序均匀分组问题.C6C2C2在的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式厂A3= C2C4C2= 90（种）.（5）无序均匀分组问题.C6clcl共有分配方式A2= 15（种）有序均匀分组问题.C6

19、C1C1在的基础上再分配给 3 个人，共有分配方式A2A3= 90（种）.（7）直接分配问题.甲选 1 本，有 C3种方法；乙从余下的 5 本中选 1 本，有 C1种方法；余下 4 本留给丙，有 C4种方法，共有分配方式 C6C1C4= 30（种）.均匀分组与不均匀分组、 无序分组与有序分组是组合问题的常见题型. 解决此类问题的 关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组，无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数，还要充分考虑到是否与顺序有关；有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.1.某乒乓球队有 9 名队员，其中 2 名是种子选手，现在挑选 5名选手参加比赛，种子 选手必须在内，那么不同

20、的选法共有（）A . 26 种B. 84 种C. 35 种D . 21 种解析：选 C.从 7 名队员中选出 3 人有 C7=7X6X5= 35 种选法.3X2X1A3A. 243B. 252C. 261D . 648解析：选 B.0 , 1, 2,，9 共能组成 9X10X10 = 900 个三位数，其中无重复数字的三位数有 9X9X8 = 648 个，所以有重复数字的三位数有900- 648 = 252 个.3.在 8 张奖券中有一、二、三等奖各1 张， 其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人，每人 2 张，不同的获奖情况有 _ 种（用数字作答）.解析：把 8 张奖券分 4 组

21、有两种分法，一种是分（一等奖，无奖卜（二等奖，无奖卜（三 等奖，无奖卜（无奖，无奖）四组，分给 4 人有 A4种分法；另一种是一组两个奖，一组只有一个奖，另两组无奖，共有C3种分法，再分给 4 人有 C3A4种分法，所以不同获奖情况种数为 A4+C3A4=24+ 36= 60.答案：604从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人组成 4 人服务解析：分两步，第一步，选出 4 人，由于至少 1 名女生，故有 C8-C4=55 种不同的选法；第二步，从 4 人中选出队长、副队长各 1 人，有 A2= 12 种不同的选法.根据分步计数原理知共有 55X12

22、= 660 种不同的选法.答案：660种.应用案JH固训练A基础达标1. 有 三 对 师 徒 共 6 个 人 ， 站 成 一 排 照 相 ， 每 对 师 徒 相 邻 的 站 法 共 有（）A. 72 种C. 48 种B . 54 种解析：选 C.用分步计数原理：第一步：先排每对师徒有A2A2A2,第二步：将每对师徒当作一个整体进行排列有A3种，由分步计数原理共有 A3（A2）3= 482.从 0, 2, 4 中取一个数字，从 1, 3, 5 中取两个数字，组成无重复数字的三位数,则所有不同的三位数的个数是（）A. 36B . 42C. 48D . 54队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有种

23、不同的选法.（用数字作答）解析：选 C.若从 0, 2, 4 中取一个数字是0”，则 0”不放百位，有 C1种放法，再从 1,4 中取的一个数字不是0”则有 C2种取法，再从 1, 3, 5 中取两个数字有 &种取法，共组成C?C2A3=36 个三位数.所以所有不同的三位数有12+ 36= 48（个）.3安排甲、乙、丙、丁四位教师参加星期一至星期六的值日工作,每天安排一人,甲、 乙、丙每人安排一天,丁安排三天, 并且丁至少要有两天连续安排,则不同的安排方法种数 为（ ）A. 72 种B. 96 种C. 120 种D. 156 种解析：选 B.甲、乙、丙三位教师安排星期一至星期六的任意三天，其余

24、三天丁值日，故有 A36=120 种,其中丁没有连续的安排,安排甲、乙、丙三位教师后形成了4 个间隔,任选 3 个安排丁，故有 A3C4= 24 种，故丁至少要有两天连续安排120-24= 96 种，故选 B.4. 用数字 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 （）A. 324 个B. 216 个C. 180 个D . 384 个解析：选 A.个位、十位和百位上的数字为 3 个偶数的有C3A3C2+A3C1= 90（个）；个位、 十位和百位上的数字为 1 个偶数、2 个奇数的有 C2A3C4+ C1C2A3C3=

25、234（个）.根据分类 计数原理得到共有 90234= 324（个）.故选 A.5.在某种信息传输过程中,用 4 个数字的一个排列 （数字允许重复 ）表示一条信息,不 同排列表示不同信息,若所用数字只有 0 和 1,则与信息 0110 至多有两个对应位置上的数字相同的信息条数为 （）A. 10B. 11C. 12D. 15解析： 选 B. 由题意可分为 3 类.第一类，任两个对应位置上的数字都不相同，有C4种方法.第二类，有 1 个对应位置上的数字相同，有C：种方法.第三类，有 2 个对应位置上的数字相同，有C2种方法.故共有 C40C14C42= 11（条）,故选 B.6.将 3 个不同的小

26、球放入编号分别为1, 2, 3, 4, 5,6 的盒子内, 6 号盒子中至少有1 个球的放法种数是 _.解析： 本题应分为 6 号盒子中有 1 个球, 2 个球, 3 个球三类来解答, 可列式为 C31（A52A1)+C3A5+C3=91(种).答案：917.从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组， 则骨科、脑外科和内科医生都至少有_1 人的选派方法种数是(用数字作答).解析：按每科选派人数分 3、1、1 和 2、2、1 两类.当选派人数为 3、1、1 时，有 3 类，共有 C3C4C1+ C3C4C5+ C1C4C3= 200 种.当选派人数为

27、2、2、1 时，有 3 类，共有 C2C2C1+ C3C4C2+ C1C2C2= 390 种.故共有 590 种.答案：590&某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲、乙两名同学至少 有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻， 那么不同的发言顺序的种数为解析：分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C2C3A4=2X10X24 = 480 种选法.第二类，甲、乙都参加时，则有C2(A4-A2A3)= 10X(24- 12)= 120 种选法.所以共有 480 + 120 = 600 种选法.答案：6009有 12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷，4

28、 人只会划右舷，其他 5 人既会划左舷 又会划右舷，现要从这 12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右舷参加划船比赛，有多少种 不同的选法？解：设集合 A= 只会划左舷的 3 人 , B = 只会划右舷的 4 人, C= 既会划左舷又会划右舷的 5 人 先分类，以集合 A 为基准，划左舷的 3 个人中，有以下几类情况：A 中有 3 人；A 中有 2 人，C 中有 1 人；A 中有 1 人，C 中有 2 人；C 中有 3 人.第类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在集合B, C 中选 3 人，有 C9种选法，同理可得的选法种数.故共C3C3+C3C5C3+C1C2C3+C3C3C6=2 174

29、 种不同的选法.10.已知直线x+y= 1(a, b 是非零常数)与圆 x2+ y2= 100 有公共点，且公共点的横坐标a b和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有多少条？解：如图所示，在圆 x2+ y2= 100 上，整点坐标有(0, 0), (6, 8), (-6,- 8), (- 6,8), (6, - 8), (8, 6), (- 8, 6), ( 8, 6), (8 , - 6), (0, 10)共 12 个点.这 12 个点 确定的直线为 C12条，过这 12 个点的切线有 12 条，由于 a, b 不为零，应去掉过原点的直 线 6 条，又其中平行于坐标轴的直线有12 条，故符合题

30、意的直线共有C12+ 12-(6 + 12)=60(条).（-M矢 k-1r（氏-8 ）B 能力提升1. 6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品已知6 位同学之间共进行了 13 次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为_.解析：设 6 位同学分别用 a, b, c, d, e, f 表示.若任意两位同学之间都进行交换共进行C6= 15(次)交换，现共进行了 13 次交换，说明有两次交换没有发生，此时可能有两种情况：(1) 由 3 人构成的 2 次交换，如 a- b 和 a- c 之间的交换没有发生，则收到4 份纪念品的有 b, c 两人.(2) 由 4 人构成的 2 次交换，如 a- b 和 c- e 之间的交换没有发生，则收到4 份纪念品的有 a, b, c, e 四人.答案：2 或 42._ 将 4 名大学生分配到 3 个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种(用数字作答).C4C1C1解析：法一：分两步完成：第一步，将 4 名大学生按 2, 1 , 1 分成三组，其分法有 A2种；第二步，将分好的三组分配到3 个乡镇，其分法有 A3种.所以满足条件的分配方案有C4C1C13卫A3= 36(种).法二：先从 4 名大学生中选出 2 名作为一个小组，再连同其他 2 名进行全排列即可， 即C4A3