2019-2020学年山东省烟台市招远市第一中学高二上学期期中数学试题(解析版)

1、第1 1页共 1616 页2019-2020 学年山东省烟台市招远市第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1 1 已知数列2，厂-14,19,2、.6,，则12是它的A A 第28项B B.第29项C C 第30项D D 第 3131 项【答案】B B【解析】 由数列的前几项可得其一个通项公式，由此可求12是它的第29项 【详解】已知数列2,3,14,19,2、6,，则数列的一个通项公式为an、4 n 15,5n 1,则12. 5n 1, n 29故选 B.B.【点睛】本题考查由数列的前几项写出数列的一个通项公式，属基础题. .2 2 正项等比数列an中，a?a5100，则lg a?Ig（）

2、A A 1B B.1C C 2D D 0 0【答案】C C【解析】利用对数的运算性质和等比数列的性质可求得结果【详解】在等比数列an中，a?a5100，由等比数列的基本性质可得因此，lga3lg a4lg a3a4Ig100 2. .故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列基本性质和对数的运算性质求值，考查计算能力，属于基础题3 3 已知a,b,c R，且a b,ab 0，则下列不等式一定成立的是（）11A A a3b3B B.ac2be2C C.11D D .a2b2a b【答案】A A玄3玄4a?a5100,第2 2页共 1616 页【解析】试题分析：由函数y x3在 R R 上是增函数可知

3、 A A 项正确；B B 项e = 0时不正确;第3 3页共 1616 页C C 项a1,b1时不正确；D D 项a1,b1时不止确【考点】 不等式性质4 4 若abc口a m0,且-a则m的取值范围是（)b mbA A mRB B.m0C C.m 0D D.bm 0【答案】 D D【解析】 利用作差法可求得出amam b0,可得出m m b0, 解该bmbb bm不等式即可得出结果【详解】可得m m b 0,解得b m 0. .故选：D.D.【点睛】力，属于基础题15 5 .若a 0,b 0,则不等式ba的解集为 ()x1门c 11 1A A .,00-B B .bab a1111C C.,

4、-U-,D D .,00-baab1b和a，将两个不等式的解集取交集可得出结果X,bx 1小b即为0，解此不等式得xx1因此，不等式b a的解集为本题考查利用同时也涉及了一元二次不等式的求解,考查运算求解能【答案】C C【解析】1分别解不等式-x【详解】1ax 1Q a 0,0,解此不等式得x 0或x -；a1又Qb 0，不等式一x-或x 0.bm b第4 4页共 1616 页x第5 5页共 1616 页故选：C.【点睛】【答案】C C故选个特殊数列的求和公式.这个题的大意是：一匹良马和一匹驽马由长安出发至齐地, 安与齐地相距 30003000 里（1 1 里=500=500 米），良马第一天

5、走 193193 里，以后每天比前一天多走1313 里驽马第一天走 9797 里，以后每天比前一天少走半里良马先到齐地后，马上返回 长安迎驽马，问两匹马在第几天相遇（）（）A A . 1414 天B B . 1515 天C C . 1616 天D D . 1717 天【答案】C C本题考属于基础题6 6 .已知数列an的前n项和Sn2n 1“2 2 .则a1a2L2anA A.4(2n1)2n 12C C4(4n1)3n 14(42)3【解析】T当n1时,ai2，当nn 1nan2222n首项印2a12a24n，公比2an414n4 4n1Sn7 7 .设a0. .那么,的最小值是（B B.【

6、答【解【详爲2. .所以,4a242a4. .选 C.C.8 8 .三国时期著名的数学家刘徽对推导特殊数列的求和公式很感兴趣,创造并发展了许多算法，展现了聪明才智.他在九章算术盈不足”章的第1919 题的注文中给出了一第6 6页共 1616 页【解析】记良马每天所走路程构成的数列为anan ，驽马每天所走路程构成的数列为第7 7页共 1616 页bn，根据题中数据，求出通项公式，进而可求出结果【详解】记良马每天所走路程构成的数列为an，驽马每天所走路程构成的数列为bn,11195由题意可得：an193 13(n 1) 180 13n，97 -(n 1)22 2设，经过n天，两匹马相遇；则有n(

7、a1务)n(b1 bn)6ooo，即22195 n.n(9722)2一260002整理得5n2227n 4800，当n 16满足题意，因此两匹马在第 1616 天相遇. .故选 C C【点睛】本题主要考查等差数列的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题0,a160,从而可得前n项和Sn的最大值为S15.【详解】等差数列an中，S10S20,S20S10a11a12La205(ai5a16)0,a15a160,又a1310,n(193 180 13n)29 9在等差数列an中，印31 , SoS20,则数列an的前n项和Sn的最大值为(A A S5【答案】A AC C $5$5

8、或色6D D S7【解析】 由S10S20可得S20S10a11a12La205(印5印6)0，再根据a131可得ai5第8 8页共 1616 页二a150,a160，即数列的前1515 项为正值，从第 1616 项开始为负值.数列a的前n项和Sn的最大值为S5故选 A A 【点睛】求等差数列前 n n 项和最大值的方法：(1)根据题意求出前n项和Sn的表达式，然后根据二次函数的知识求解；2 2)根据题意求出等差数列中正负项的分界点，根据正项和负项的位置进行判断，即和Sn有最小值的解为(答案】解得：1 t 2，故选 A.A.二、多选题b取特殊值可判断各选项的正误详解】在等差数列中， 若a10,

9、d0，则前n项和Sn有最大值； 若若a10,d0，则前n项1010 若不等式x22ax a0，对x R恒成立，则关于t的不等式2tat2a2tA A 1 tB Bt1C C2 t 2D D解析】 试题分析：Q不等式2ax a 0，对x R恒成立，24a24a 00a那么：关于t的不等式a2t 1at22t1，等价于：22t 1 t22t 3 0，即：t2t22t考点】 1 1 . .一元二次不等式；2.2.指数函数1111 如果c满足c b a且ac0，那么下列选项中一定成立的是A AabacB Bc b a 0C C cb2ab2D D ac a答案】 ABAB解析】 根据cb a且ac0可

10、得出a 0且c 0，利用不等式的基本性质结合对Qcb a且ac 0，0且c 0. .对于A A 选项，b0，由不等式的性质可得ab ac， A A 选项正确；B B 选项，b a 0且c 0,由不等式的性质可得c b a 0，B选项正确;第 5 5 页 共 1616 页对于第1111页共 1616 页对于 C C 选项，若b 0,则cb2ab2, C C 选项错误;对于 D D 选项，Q a 0且c 0,则ac 0且a c 0，可得ac a c 0, D D 选项错 误 故选：AB.AB.【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查推理能力，属于基础题、Sn3n 391212 .已知两个等差数列an

11、和bn的前n项和分别为Sn和Tn，且，则Tnn 3an使得一为整数的正整数n的值为（）bnA A .2B B.3C C.4D D.14【答案】ACDACD可得出n 1为15的正约数，由此可得出正整数n的可能取值【详解】2n1a1a2n 1S2n122n 1anan由题意可得，则T2n12n1b1b2n 12n 1bnbn2anS?n 13 2n1393n 18153 -5bnT2n 12n13n 1n 1an由于一为整数，则n 1为15的正约数，贝y n 1的可能取值有3、5、15,bn因此，正整数n的可能取值有2、4、14. .故选：ACD.ACD.【点睛】本题考查两个等差数列前n项和比值的

12、计算，涉及数的整除性质的应用， 考查计算能力,属于中等题 1313 .若a、b、c R，且ab bc ca 1，则下列不等式成立的是（）【解析】由等差中项的性质和等比数列的求和公式得出an3n18bnn 13二三，进而n 1第1212页共 1616 页第1313页共 1616 页111贡222C C.23D D.a b c 1a b c【答案】BDBD【解析】利用基本不等式得出a2b22ab,b2c22bc，c2a22ca，三个不.3，3.3 2 .3，【点睛】本题考查利用基本不等式判断不等式的正误，考查计算能力与推理能力，属于中等题三、填空题1414 .设X0,y10，且2-2，则x2 y的

13、最小值为X y【答案】92【解析】由题意得出11，将代数式1 1x 2y与相乘，展开后利用基本不2xy2x y等式可求得x 2y的最小值 等式全加可判断出D D 的正误，取_3可判断C的正误. .综合可得出3结论 【详由基本不等式可得a2b22ab，b22bc，c2a22ca，上述三个不等式全部相加得2 ab bc ca 2，b22c 1,当且仅当c时,等号成立,b2abbcca 3，a b c、3或因C C 选项错误，B B、D D 选项正确 故选:BD.BD.第1414页共 1616 页【详解】X 13X第 8 8 页共 1616 页1 2c11 ,QX 0,y 0，且一-2 ,1,X y

14、2xy由基本不等式可得x 2yx 2y11Xy 52卩y599，当且2xy yx 2、y X223仅当x y时，等号成立,29因此，x 2y的最小值为 . .2故答案为:【点睛】6,n【答案】3n2n1,n情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起3XX 11616 已知关于x的不等式1的解集为，12,，则不等式1的解X 13X集为_ . .本题考查利用基本不等式求最值，涉及1的妙用，考查计算能力，属于基础题1515 数列 3n3n 满足，2 2 3 311 1歹332n2n 1 1，写出数列an的通项公式1 1【解析】因为一a12a22221 1 .歹32戸L1歹331班3n12nan

15、2n1， 所以11, ,两式相减得2“ 13n 12，即an2n1,n 2，又-313,2所以316，因此6,n3nn 12 ,n点睛: 给出Sn与3n的递推关系求3n，常用思路是：一是利用3nSnSn 1,n 2转化为3n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系,先求出Sn与n的关系，再求3n. .应用关系式an时2时，定要注意分n 1,n2两种X 13X第 8 8 页共 1616 页【答案】， U U2,3XX 1【解析】由题意可知2是方程1的根，求出3的值，代入不等式1，化简第1717页共 1616 页变形后解此不等式可得出结果【详解】1则2a 1，解得a -，2x 12x

16、2x2代入不等式1得1，即0,解此不等式得x 0或x 2. .axxxx 1因此，不等式1的解集为,0,0 U U 2,2,. .ax故答案为：,0,0 U U 2,2,. .【点睛】本题考查利用分式不等式的解集求参数，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题 1717 .已知数列1、1、2、1、2、4、1、2、4、8、1、2、4、8、1616、L，其中第一项是20，接下来的两项是20、21，再接下来的三项是20、21、22、，依此类推，记此数列为an，则a2019_,S2019_【答案】426458【解析】 将已知数列分组，使得每一组的第一项为20，第n n N组的最后一项

17、为2n 1，计算出截止到第k组最后一项的项数之和，确定a2019所在组的序数以及所在组的项数，可归纳得出a2019的值，并进一步求得So19的值 【详解】将已知数列分组，使得每一组的第一项为20,即第一组：20;第二组：20、21； 第三组：20、21、22；L;第k k N组：20、21、故所有项的项数之和为12已知关于x的不等式,12,，则2是方程空1的根,x 122、L、2k1. .k k 13 L k2第1818页共 1616 页当k 63时，63一邑丄2016，故a2oi9应位于第64组第三项，所以a2oi9224. .2第k组所有项之和为1 2 22L 2k 1 1_22k1,1

18、2因此，2 1 263S2o192 1221 L26311 2 463 7 26458.1 2故答案为：4;26458. .【点睛】本题主要考查归纳推理，将数据进行分组是解答的关键，同时也考查了分组求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题 四、解答题（1 1）求数列a an的通项公式;和 Q Qn.nnI答案】（1）an32）冇列an是首项为 3 3、公比为 3 3 的等比数列，即求解通项公式;(2 2)由(1 1)可得bn3(2 n 1)，得到1 1 1 1 1，利用裂项法，即可求解.bnbn 19 2n 1 2n 118 2n 1 2n 1【详解】(1 1)当n 1时，得a29,由2Sn3

19、an 1，得2Sn 13 an(n2),两式相减得2(SnSn 1) an 1an，又SnSn1an，an13an(n2),an 1又a23a1,a. 13a“(n N )，显然外0,3,an1818 .已知数列a an的前 n n 项和为 S Sn,且满足a13，2Sn3an 1. .（2 2）若等差数列b bn的前 n n 项和为 T Tn，且T1a1,T3a3,f f1 1求数列bb- -的前 n n 项1【解析】（1 1）根据数列的通项an与Sn的关系,化简求得an 13an(n N），得到数第1919页共 1616 页即数列an是首项为 3 3、公比为 3 3 的等比数列， an3

20、3n13n；(2)设数列bn的公差为d，则有bl3,由Tja3得3b13d 27，解得d 6, bn1 1又bnbn 19 2n 1 2n 1【点睛】本题主要考查等比数列的定义及通项公式、以及裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在裂 项法”之后求和时，弄错项数导致错解，能较好的考查逻辑思维能力及基本计算能力等. .ax1919 .解关于x的不等式1.x 22 2【答案】当a 0时x 2;当0a1时2 x;当a 1时x 2;a 1a 12当a 1时x或x 2; ; a=0a=0 时，不等式的解集为?a 1【解析】 根据题意，分

21、 3 3 种情况讨论：，a=0a=0 时，不等式变形为：0 0 1 1,，当 a=1a=1 时，不等式为x 1 1,，a a0且 a al 时，不等式变形为 (a a- 1 1) x+2x+2 (x x- 2 2)0 0,x 2分别求出不等式的解集，综合即可得答案.【详解】根据题意，分 3 3 种情况讨论：1，a=0a=0 时，不等式变形为：0 01 1,解集为？，2，当 a=1a=1 时，不等式为一备1 1,解可得 x x2 2,解集为(2 2, +；3，aOaO 且 alal 时，不等式变形为 (a-a- 1 1) x+2x+2 (x x-2 2) 0 0,I I2方程 (a a- 1 1

22、) x+2x+2 (x x- 2 2) =0=0 有 2 2 个根，2 2 和厂，2 _当 a a 1 1 时，不等式的解集为(- R, ) ) U (2 2, + +R);1-a2当 0 0v a av 1 1 时，不等式的解集为(2 2, );3 (n 1) 63(2 n 1)，1 1 118 2n1 2n 1丄1 11831 12n 1 2n 1丄1丄=18 2n 19 2n 1第2020页共 1616 页2当 a av 0 0 时，不等式的解集为(-,2 2);1-3综合可得：当 a av 0 0 时，不等式的解集为( L2)；a=0a=0 时，不等式的解集为？，当 O Ov a av

23、 1 1 时，不等式的解集为(2,2, ;1-a当 a=1a=1 时，不等式的解集为(2 2, +；当 a a 1 1 时，不等式的解集为(- 汽丄)U (2 2, + +R).1-a【点睛】本题考查分式不等式的解法，注意对a a 进行讨论，做到不重不漏一般分式不等式的解法步骤为：先将不等号的一边化为0 0,再分式化整式，转化为二次，结合二次函数的图像得到解集 22020 .已知关于x的不等式2x 1 m(x 1)(1)是否存在实数m，使不等式对任意的x R恒成立？并说明理由.(2) 若对于m 2,2不等式恒成立，求实数x的取值范围.【答案】(1 1)不存在实数m，使不等式恒成立；(2 2)x

24、|-丄7x1 32 22【解析】试题分析：(1 1)由原不等式等价于mx 2x (1 m) 0若对于任意x恒成立, 列出不是，即可得到结论；(2 2)设f(m) (x21)m (2x 1)，当m 2,2时，f (m)0恒成立，列出不等式组，即可求解实数x的取值范围.试题解析：(1 1)原不等式等价于mx22x (1 m) 0若对于任意x恒成立, 必须m 0,解得m,0,所以不存在实数m，使不等式恒成立.(2 2)设f (m) (x21)m (2x 1),当m 2,2时，f (m)0恒成立，f (2)0,刚2x22x 10,必须即f( 2)0, 2x22x 3 0,1713 x的范围是x |x第

25、2121页共 1616 页2 2【考点】一元二次不等式的求解及应用.第2222页共 1616 页2121 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内某公路汽车的车流量车的平均速度v（千米/ /时）之间的函数关系为yv 0. .v 3v 1600（1 1） 在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量是多少（精确到0.1千辆/ /时）？（2 2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/ /时，则汽车的平均速度应该在什么范围内？【答案】（1 1 ）当v 40时，车流量最大，最大车流量为11.1（千辆/ /时）；（2 2）25,64920y -【解析】（1 1）将函数解析式变形为，门1600

26、，利用基本不等式可求得结果，3v -v由等号成立求得对应的v值，即可得解；（2 2）解不等式2920710即可求得v的取值范围，进而可得解. .v23v 1600【详解】920920920y - - ”-（1 1） 依题意316003 2160083，当且仅当v 40等号成立，3vv920最大车流量y11.1（千辆/ /时）；83（2） 由条件得 二一920v10，整理得 v v289v89v 16001600 0 0 ,解得25 v 64. .v23v 1600故汽车的平均速度应该在25,64范围内. .【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中

27、等题 1352222 .已知函数f xCOSX，且数列an满足X2*an 1annf一3 n N3（0若数列an是等差数列，求数列an的通项公式；（2 2）若对任意的n N*，都有ann20成立，求a1的取值范围 【答案】(1 1)ann 1； (2 2)1,9y（千辆/ /时）与汽第2323页共 1616 页【解析】（1）设等差数列an的公差为d,由已知条件得出an 1an2n 3，由n 1和n 2可得出关于a1和d的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式可第2424页共 1616 页求得an；(2 2)推导出anan 12 n 2，可知数列a.中的奇数项和偶数项分别成以2为公 差

28、的等差数列，以此求出数列an的通项公式，然后分n为奇数和偶数两种情况讨论，2结合ann0恒成立，利用参变量分离法可求得ai的取值范围 【详解】因此，数列an的通项公式为ana1两式相减得an 1an 12，差的等差数列(1(1)设等差数列an的公差为d，依题意得32，故an1an2n 3，则a2a1亍a3a22c53d 7，解得d 1，ai(2(2)由(1 1)知，当n 2时，an 1an2n，anan 12(n1)3，数列a2n是以a2为首项，2为公差的等差数列,数列a2n1是以a1为首又Q a1a25a2a1,当n为偶数a2当n为奇数ai2 n 1a1. .n 1ann 3a1, n为奇数印川为偶数.o因为对任0成立,当n为奇数a*n2n 1ai0恒成立,2a1n n 1在n为奇数时恒成立,a11即,同理当n为偶数时，如n2n 3印n20恒成立,2a1nn 3在n为偶数时恒成立,ai9. .综上所述,a1的取值范围是1,9. .第2525页共 1616 页【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用数列不等式恒成立求参数,分类讨论思想的应用与运算求解能力，属于中等题1n项的均倒数”为一.n立， 试求实数m的取值范围;存在，求出k值，否则说明理由 S，n 1可求得数列an的通项公式;SnSm, n 2，利用裂项法可求