概率及离散型随机变量的分布列

1、专题7 概率与离散型随机变量的分布列一. 本周教学内容： 专题7 概率与离散型随机变量的分布列 （一）考点提要： 概率简单题的基本类型大致有三类，分别以等可能性事件，相互独立事件或独立重复试验为载体，而事件的互斥，对立的关系渗透在上述基本类型中，概率综合问题是上述基本类型的混合。 离散型随机变量是建立在等可能性事件，互相独立事件或独立重复试验的基础上，并求离散型随机变量的分布列，期望与方差。 解决概率问题，关键要能分清楚概型，正确使用好排列、组合工具，列出随机变量的所有取值并求出相应的概率P（），列出分布列，尤其要揭示问题中的隐含条件，灵活运用“正难则反”的思考方法。 （二

2、）知识串讲 1. 了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。 如果一次试验中可能出现的结果总数有n个，且所有的结果出现的可能性都相等，某事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率： 2. 了解互斥事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率。 如果事件A、B互斥，那么P（AB）P（A）P（B），即两个互斥事件至少有一个发生的概率等于每个事件发生的概率的和，它可以推广为：n个互斥事件和的概率等于各个事件概率的和。 对立事件是互斥事件且概率的和等于1，即： 当两个事件A、B不互斥时，往往利用对立事件的方法解决，即： 3. 了解相互独立事件的意义，会用

3、相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）P（A）·P（B），即两个独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积。也可推广为：n个相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积。 4. 会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。 如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率为： 5. 了解随机变量，离散型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列及其期望和方差。 如果离散型随机变量的取值为x1，x2，xn，且取每个值xi（i1，2）的概率为： 则称： 为随机

4、变量的概率分布列。 它有性质： （1）Pi0；（2）P1P21 的数学期望为： 的方差为： 如果在一次试验中某事件发生的概率为P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是： 则称这样的随机变量服从二项分布，记作B（n，P），且EnP，DnPq（q1P）  【典型例题】（一）概率题的基本类型 例1. （1）从装有3个白球，4个红球的箱子中，把球一个一个地取出来，到第五个恰好把白球全部取出来的概率是（ ） 解：为“第五个恰好把白球全部取出”，即取出的五个球中有3个白球，且第五次为白球，共 故选C 说明：本题为等可能概型，注意分子、分母的一致性。 （2）如图，A、B、C、D为海

5、上的4个小岛，现可在任两个岛之间建一座桥，若只建其中的三座，则能把这四个小岛连结起来的概率为_。 解： 不能让四个岛连结起来是指三座桥仅连结了其中的三个岛，而第四个岛孤立，共有 故所求概率为： 说明：“能把四个小岛连结起来”，从正面分析可分为两类，第一类是“中心型”，如： 有4种 另一类是“直线型”，如：ABCD 共16种。 （3）甲、乙两人同时报考一所大学，甲被录取的概率为0.6，乙被录取的概率为0.7，两人是否录取互不影响，则其中至少一人被录取的概率为（ ） A. 0.12B. 0.42C. 0.46D. 0.88 解：设甲、乙被录取分别为A、B事件，A、B相互独立，则甲、乙至少一人被录

6、0.88 故选D 或者利用对立事件概率的关系，得 说明：立。 （4）设在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若已知事件A至少发生一 解：在4次独立重复试验中，设每次事件A发生的概率为P，则4次试验中至少发生一次的概率为： 故选A 说明：本题为n次独立重复试验，恰好发生k次的概型，本题4次独立重复试验中，至少发生一次，是指恰好发生1，2，3，4次，或看成是A不发生即A发生0次的对立事件，解本题采用后一种方法。 （二）概率综合题 例2. 从10位同学（其中6女，4男）中，随机选出3位参加测验，每位女同学能通过 （1）选出的3位同学中至少有一位男同学的概率； （2）10位同学中的女同

7、学甲和乙及男同学丙同时被抽到，且三人中恰有二人通过测验的概率。 解：（1）选出的三位同学中“至少有一位男同学”的对立事件是“没有男同学”，记为事件A，则 （2）女生甲、女生乙，男生丙同时被选中（记为事件B），则 这三人中恰有二人通过记为事件C，（是指恰有两女生通过，恰有一女一男通过） 故所求概率为： 点评：第二问中“女同学甲、乙及男同学丙被选中”与“三人中恰有二人通过测验”是相互独立事件，故可以分别求出它们的概率后再相乘。  例3. 某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球 （1）求P2的值； （2）当nN，n2时，求用Pn-1表示Pn的表达式； （3

8、）求Pn关于n的表达式。 解：（1）P2是“第二次按下按钮后出现红球”。 若第一次，第二次均出现红球，则概率为： 第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为： 故所求概率为： （2）第n1次按下按钮出现红球的概率为： 则出现绿球的概率为： 若第n1次，第n次均出现红球，其概率为： 若第n1次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为： （3）由（2）   例4. 在相同功能的四个元件组成的电路（如图）中，串联的两个元件都正常工作时该线路正常工作，并联的两个线路至少有一个正常工作时，该电路正常工作。 （1）若A、B、C、D正常工作的概率分别为0.5，0.6，0.7，0.8，求该电路正常工作的概率

9、。 （2）若将四个正常工作的概率分别为P1，P2，P3，P4（0<P1<P2<P3<P4）的元件P1，P2，P3，P4按任意次序装在A、B、C、D四个位置上，试给出一个方案，使电路正常工作的概率最大，并证明你的结论。 解： 0.5×0.60.3 0.7×0.80.56 故该电路正常工作的概率为： （2）因为线路上两个元件的排列顺序不影响该线路正常工作的概率，故不等效的方案至多有： 又上、下两条线路是对称的，故不等效的方案至多有3种，如下图： 它们正常工作的概率如下： 同理可证P甲>P丙，因此甲方案电路正常工作的概率最大。 （三）离散型

10、随机变量的期望与方差 例5. 一同学上学途中必须经过A、B、C、D四个交通岗，其中在A、B岗遇到红的事件是独立的，表示他遇到红灯的次数。 （1）若3，就会迟到，求该学生不迟到的概率； （2）求E 解：（1）的可能取值为0，1，2，3，4，3表示该同学在A、B以及C、D之一遇红灯或在A、B之一和C、D遇红灯。 故该同学不迟到的概率为： 随机变量的分布列为：   例6. 某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，已知他每射击一次的命中率为0.8，且各次射击是否命中互不影响。 （1）求在一组练习中耗用子弹数的分布

11、列，并求出的数学期望； （2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用4发子弹的概率。 解：（1）一组练习中耗用的子弹数的可能取值为1，2，3，4，5，1表示一发即中，故P（1）0.8，2表示第一发未中，第二发击中，故 3表示第一、二发未中，第三发击中 4表示前三发未中，第四发击中 （注：射击5次等价于前4次未击中或(1-0.8)4×0.8+(1-0.8)4(1-0.8)=(1-0.8)4×1） 的分布列为： （2） 两组练习共耗用4发子弹的情况如图，故所求概率为： 因此，在连续两组射击后，恰耗4发子弹的概率为0.0768。  例7. 在12个同类型的零件中有2个次品，

12、抽取3次进行检验，每次任取一个，并且取出不再放回，若以和分别表示取出次品和正品的个数 （1）求的分布列，期望值及方差； （2）求的分布列，期望值及方差。 解：（1）的可能取值为0，1，2 ， （本问题抽取样本连续抽取3次，也可认为一次抽取3个，所以： ） 的分布列为： 的数学期望为： 方差为： （2）的可能取值为1，2，3，且3 的分布列为： 注：通过本题复习相关变量的期望与方差的关系，E(a+b)aE+b，D(a+b)a2·D。  例8. 在2004年雅典奥运会上，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根胜了第一局，求： （1）中国女排在这种情况下取胜的概率； （

13、2）设比赛局数为，求的分布列及E（均用分数作答） 解：（1）因为第一局俄罗斯女排先胜一局，故在剩下的4局中，中国女排或连胜3局，或在第2，3，4局中胜2局且第五局胜。 所以，中国女排取胜的概率为： （2）比赛局数即某一方取胜时所比赛的局数 则的可能取值为3，4，5，3即比赛3局结束，因为俄方先胜一局，故以下两局应为俄方连胜，所以： 4即比赛4局结束，有两种可能一种是中方连胜3局，另一种是俄方在2，3两局中胜1局且第四局也胜，所以 5即比赛5局结束，在下面的四局中，中方胜则第5局中方胜，在第2，3，4局中，中方胜2局；或俄方胜，第5局俄方胜，在第2，3，4局中俄方胜1局，所以 所以比赛局数的分布

14、列为：  【模拟试题】 1. 一次投掷两颗骰子，求出现的点数之和为奇数的概率。 2. 一个自动报警器由雷达和计算机两个部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。若使用100小时后，雷达部分失灵的概率为0.1，计算机失灵的概率为0.3，若两部分失灵与否是独立的，求这个报警器使用100小时而不失灵的概率。 3. 对同一目标进行3次射击，第1、第2、第3次射击的命中概率分别为0.4、0.5、0.7，求： （1）在这3次射击中，恰好有1次击中目标的概率； （2）在这3次射击中，至少有1次击中目标的概率。 4. 已知A、B、C为三个相互独立事件，若事件A发生的概率为，事件B发生的概率为

15、，事件C发生的概率为，求下列事件的概率： （1）事件A、B、C都不发生； （2）事件A、B、C不都发生； （3）事件A发生且B、C恰好发生一个 5. 甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛，已知每一局甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4。 （1）赛满3局，甲胜2局的概率是多少？ （2）若比赛采用三局二胜制，先赢两局为胜，求甲获胜的概率。 6. 某种项目的射击比赛规则是：开始时在距目标100m处射击，如果命中记3分，同时停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在150m远处，这时命中记2分，同时停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已在200m远处，

16、若第三次命中则记1分，同时停止射击；若三次都未命中，则记0分，已知射手甲在100m处击中目标的概率为，他命中目标的概率与目标的距离的平方成反比，且各次射击都是独立的。 （1）求射手甲在200m处命中目标的概率； （2）设射手甲得k分的概率为P0，求P3，P2，P1，P0的值； （3）求射手甲在三次射击中击中目标的概率。 7. 袋子里有大小相同的3个红球和4个黑球，今从袋子里随机取出4个球。 （1）求取出的红球数的概率分布列和数学期望； （2）若取出每个红球得2分，取出每个黑球得1分，求得分不超过5分的概率。 8. 有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中两张写有数字0，三张写有数字1，三张写

17、有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中三张写有数字0，两张写有数字1，三张写有数字2。 （1）如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？ （2）如果从甲、乙两个盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为，求的分布列和期望值。 9. 一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。 （1）设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列； （2）设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布列； （3）求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率。 10. 某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经

18、长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示： （1）若这段时间内，公司只安排了2位接线员（一个接线员一次只能接一个电话）。 （I）求至少一种电话不能一次接通的概率； （II）在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”。 （2）求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数的期望。【试题答案】 1. 基本事件共有6×636种，出现点数之和为奇数。第一次出现奇数且第二次出现偶数有3×3种

19、，第一次出现偶数，第二次出现奇数有3×3种，所求概率为： 2. 记使用100小时雷达失灵的概率为A，计算机失灵的概率为B，则 3. 记第i次命中为Ai，i1，2，3，则 （1） （2） 4. 记“A发生”为事件A，“B发生”为事件B，“C发生”为事件C （1） （2） （3） 5. 记甲胜一局的概率P0.6 （1）赛满3局，甲胜两局的概率为 （2）先胜两局为胜是指“连胜两局”或“三局前两局胜一局且第三局胜”，则甲获胜的概率为： 6. （1）令射手甲在xm处命中目标的概率为P(x)，则 当x100时， 当x200m时，即射手甲在200米处命中目标的概率为 （2）由（1）时， （3） 7. （1） （2）当且仅当取出4个黑球或3个黑球一个白球得分不超过5分 8. （1） （2） 分布列： 9. （1），的分布列为 （2）由于表示该学生首次停车时经过的路口数，取值为0，1，2，3，4，5，其中（k0，1，5）表示前k个路口没遇红灯，但在k1个路口遇红灯，故，而表示一路上没遇红灯， 的分布列略 （3） 10. （1）（I）已安排2位接线员，从3路开始不能一次接通，至少一路电话