江苏省镇江市2015届高三上学期期末考试数学试题

1、江苏省镇江市 2015 届高三上学期期末考试数学试题一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分分. 不需要写出解答过程，请把答案不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上直接填写在答题卡的相应位置上.1记复数为虚数单位）的共轭复数为，已知，则 ibiaz(),(Rbabiaziz 22z .2设全集，集合，则= .ZU 2 , 1 , 0 , 1, 2,2 , 1PMUPM3某校共有师生 1600 人，其中教师有 1000 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 80 的样本，则抽取学生的人数为 .4若双曲线的

2、一个焦点到一条渐近线的)0, 0( 12222babyax距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是 .415已知向量，则 .baxbxa),1, 2(),1, 12(x6执行如图流程图，若输入，则输出的值为 21,20baa.7设为互不重合的平面，是互不重合的直线，给出下列,nm,四个命题：若，则；nnm,/m若，则；/,/,nmnm/若，则；/nm,nm/若，则；mnnm,n其中正确命题的序号为 .8设分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量，则向量的夹角为nm,1, 1,bnmaba,锐角的概率是_.9设等比数列的前项和为，若,63, 763SS则 . nannS987aaa10已知直线

3、过点且与圆相交于两点，的面积为 1，则直线 的l)2 , 1 (P2:22 yxCBA,ABCl方程为 .11若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边与最小边长度之比为，则的取值范围mmba 开始 N Y 结束 输出 abaa输入 ba,是 .12若函数为定义在上的奇函数，当时，则不等式的解集)(xfR0 xxxxfln)(exf)(为 .13曲线与曲线公切线（切线相同）的条数为 .)0(1xxyxyln14已知正数满足，则的最小值为 .yx,111yx1914yyxx二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 9090 分分. .请在答题卡指定区域内作答，解答时

4、应写出必要的文字说明、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .15 （本小题满分 14 分）已知的面积为，且.ABCSSACAB2（1）求；Asin（2）若,求.32, 3ACABABBsin16 （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面，ABCDBCDABBCDaBCAB为的中点，在棱上，且.EBCFACFCAF3（1）求三棱锥的体积；ABCD（2）求证：平面；ACDEF（3）若为中点，在棱上，且MDBNAC,求CACN83证：平面. /MNDEF17 （本小题满分 15 分）某飞机失联，经卫星侦查，其最后出现在小

5、岛附近.现派出四艘搜救船，为方便联络，ODCBA,船始终在以小岛为圆心，100 海里为半径的圆上，船构成正方形编队展开搜索，小BA,ODCBA,岛在正方形编队外（如图）.设小岛到的距离为，船到小岛的距离为.OOABxDAOB,Od（1）请分别求关于的函数关系式；并分别写出定义域；d, x)(),(fdxgd（2）当两艘船之间的距离是多少时搜救范围最大（即最大）. BA,d18（本小题满分 15 分）已知椭圆的右焦点，离心率为，过作两条互相垂直的弦)0( 12222babyax)0 , 1 (F22F，设的中点分别为.CDAB,CDAB,NM,（1）求椭圆的方程；（2）证明：直线必过定点，并求出

6、此定点坐标；MN（3）若弦的斜率均存在，求面积的最大CDAB,FMN值. 19 （本小题满分 16 分）已知函数，实数满足，设.xxxf24)(ts,0)()(tfsftstsba2,22（1）当函数的定义域为时，求的值域；)(xf1 , 1)(xf（2）求函数关系式，并求函数的定义域；)(agb )(ag（3）求的取值范围.ts88 20 （本小题满分 16 分）已知数列中，在之间插入 1 个数，在之间插入 2 个数，在之间插入 3 na11a21,aa32,aa43,aa个数，在之间插入个数，使得所有插入的数和原数列中的所有项按原有位置顺序1,nnaan na构成一个正项等差数列. nb（

7、1）若，求的通项公式；194a nb（2）设数列的前n项和为nS，且满足为常数） ，求的通项公式. nb,(2nnbS na江苏省镇江市高三数学期末试题江苏省镇江市高三数学期末试题 第第卷（理科附加卷）卷（理科附加卷）21.【选做题】本题包括 A,B,C,D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.(选修 4-1：几何证明选讲)如图，圆与圆相交于两点，点在圆上，圆的弦切圆于点,及其延长线交OPBA,POOBCPBCP圆于两点，过点作交延长线于点.若，求的长.PED,ECEEF CBF22, 2CBCDEFB.

8、(选修 4-2：矩阵与变换)已知矩阵，试求曲线在矩阵变换下的函数解析式.10021,2001NMxysinMNC.(选修 4-4：坐标系与参数方程)已知直线 的极坐标方程为，圆的参数方程为为参数）.lsin()63prq-=C10cos(10sinxyqqq=（1）请分别把直线 和圆的方程化为直角坐标方程；lC（2）求直线 被圆截得的弦长.lD.(选修 4-5：不等式选讲)已知函数，若不等式对任意恒成立，求实数( )12f xxx=-+-( )ababa f x+-, a bR的取值范围.x【必做题】第 22，23 题，每小题 10 分，计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内.22.（本

9、小题满分 10 分）已知为曲线上的动点，定点，若，求动点的轨迹方程.A2:410Cxy-+ =( 2,0)M -2ATTM= T23.（本小题满分 10 分）已知四棱锥的底面为直角梯形，底面,且PABCD-/ /,90 ,ABCDDABPA=ABCD是的中点.11,2PAADDCABM=PB（1）证明：平面平面；PAD PCD（2）求与所成角的余弦值；ACPB（3）求平面与平面所成二面角AMCBMC（锐角）的余弦值. MPADBC江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案江苏省镇江市高三数学期末考试参考答案第第卷卷一、填空题（每小题 5 分）题号答案试题出处知识点能力难度134i模考题改编复数的运算

10、，共轭复数运算易22, 1,0教材改编集合的交集与补集运算易375教材改编分层抽样运算易433yx 教材改编双曲线的几何性质运算易51教材改编向量的数量积运算易6516教材改编算法流程图识图易7教材改编立体几何的判定和性质定理空间想象中8512原创概率问题，向量的夹角运算中9448教材改编等比数列的性质，求和运算中10，10 x 3450 xy教材改编直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式运算中11(2,)模考题改编正弦定理，角度范围的确定直觉，图形分析较难12e(, )原创题函数的奇偶性，函数求导，函数单调性图象分析难131模考题改编函数求导，构造函数及画新函数图像转化，运算难1425模考题

11、改编基本不等式求最值转化难二、解答题15. 解：（1） 的面积为，且，ABCS2AB ACS ， 2 分分1cos2sin2bcAbcA ，3 分分sin2cosAA 为锐角，且， 5 分分A2222213sincossinsinsin122AAAAA 6 分分6sin3A （2）设中角对边分别为ABC, ,A B C, ,a b c，7 分分|3ABc |2 3ABACCBa 由正弦定理得：，即 9 分分sinsincaCA32 3sin63C ，又,则锐角，10 分分2sin2C caC ， 11 分分4C 12 分分sinsin()sincoscossin444BAAA= 14 分分62

12、322 3632326【说明说明】本题是由模拟试题改编，考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算，考查正弦定理，三本题是由模拟试题改编，考查三角形中的边角关系、向量的数量积运算，考查正弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算能力能力、书写表达. .16解：（1）因为 是正三角形，且，所以，2 分分 BCDABBCa234BCDSa因为平面，ABBCDSBCD. 5 分分13D ABCA BCDVVAB21334aa3312a（2）在底面在底面中中， （以下运用的定理不交代在同一平面中，扣（以下运用的定理不交代在同一平面中，扣

13、1 分）分）ABC取的中点，连接，ACHBHABBC,BHAC为的中点，3,AFFCFCH为的中点， EBC 是正三角形,BCDDEBC EF6EFAC 分BH,B BCABBAACBBC面,(98,)DEABCABDECACAC面分分面,),(7BCDBABABDEDCED面分面,ADE EFCEFDEEDEFFE面.10 分分ACDEF面（注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣（注意：涉及到立体几何中的结论，缺少一个条件，扣 1 1 分，扣满该逻辑段得分为止）分，扣满该逻辑段得分为止）（3）当时，连，设，连38CNCACMCMDEOOF为的重心,，当时,(11 分分) )OBCD2

14、3COCM23CFCNMNOF .14 分分MNDEF面【说明说明】本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图本题是由模考题改编，考查锥体体积、垂直的判定、平行的判定；考查空间想象能力和识图能力，规范化书写表达能力能力，规范化书写表达能力. .17. 解：设的单位为百海里 x（1）由，=， 2 分分OAB2cosABOAA2cos A2cosADAB 在中， 3 分分AOD22( )2cos()2ODfOAOBOA OB ；（定义域 1 分） 5 分分214cos4cossin(0,)2 若小岛 O 到的距离为， 6 分分ABx222 1ABx 8 分分2

15、2( )()()22ADABODg xx ， （定义域 1 分） 10 分分22212xxx(0,1)x （2）；224cos14cossinOD (0,)21cos2sin241422 2(sin2cos2 )3. 11 分分2 2sin(2)3,(0,)42当，则时，即，取得最大值， 12 分分 52(,)4442428OD此时（百海里）. 13 分分1cos42cos22282AB答：当间距离海里时，搜救范围最大. 14 分分 AB100 22【说明说明】本题是原创题，考查余弦定理，三角恒等变换，数学建模的能力，选择合适的模型求最值的本题是原创题，考查余弦定理，三角恒等变换，数学建模的能

16、力，选择合适的模型求最值的问题问题. .,OFDEFEMND F面面18. 解：（1）由题意：，则， （每个（每个 1 分）分）3 分分21,2cca2,1,1abc椭圆的方程为 4 分分2212xy（2）斜率均存在，设直线方程为：，,AB CDAB(1)yk x，12121122(,), (,),(, (1)22xxxxA x yB xyMk 得，5 分分22(1),220,yk xxy2222(12)4220kxk xk，故， 6 分分212221224122212kxxkkx xk2222(,)1212kkMkk将上式中的换成，则同理可得：， 8 分分k1k222(,)22kNkk如，得

17、，则直线斜率不存在， 22222122kkk1k MN此时直线过点，下证动直线过定点. 9 分（法一）分（法一）若MN2( ,0)3MN2( ,0)3P直线斜率存在，则 ， MN22224222(33)3122222221122MNkkkkkkkkkkkkk直线为，11 分分MN22232()2212kkyxkkk令，得，0y 222222212312232323kkxkkk综上，直线过定点. 12 分分MN2( ,0)3（法二）（法二）动直线最多过一个定点，由对称性可知，定点必在轴上，设与轴交点为MNx23x x，下证动直线过定点.2( ,0)3PMN2( ,0)3P当1k 时，PMk，10

18、 分分22223122221123kkkkkk同理将上式中的换成，可得，11 分分k1k221()3312211PMkkkkk则PMPNkk，直线过定点. 12 分分MN2( ,0)3P（3）由第（2）问可知直线过定点，MN2( ,0)3P 故 SFMN=SFPM+SFPN221111|23 223 12kkkk 13 分分2222421|(33)1|(1)6 (2)(12)2252kkkkkkkk ， 221(|)1|2225kkkk令，SFMN 14 分分 1|2,)|tkk21( )22(2)5tf tt21221tt，则在单调递减， 15 分分2221 12( )02 (21)tftt

19、( )f t2,)t当时取得最大值，此时 SFMN取得最大值，此时. 16 分分2t ( )f t191k 【说明说明】本题原创本题原创. . 考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；考查函数最值、定点定值问题题型；考考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质；考查函数最值、定点定值问题题型；考查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想；考查运算能力、演绎论证（分析法证明）查变量代换法、函数思想、分类讨论思想、一般与特殊思想；考查运算能力、演绎论证（分析法证明）能力、直觉思维能力，猜想探究能力能力、直觉思维能力，猜想探究能力. . 本题可以不妨设本题可以不妨设，可直接对，可直接对求导，判断单调性

20、求导，判断单调性. .0k 242(1)252k kkk 19. 解：（1）若，令， 1 分分 1,1x 12 ,22xm 在上为增函数2 分分2211( )( )()24f xl mmmm1 ,22；，3 分分minmin11( )( )( )24f xl ml maxmax( )( )(2)2f xl ml值域为. 4 分分( )f x1,24（2）实数满足，则，, s t( )( )0f sf t42420sstt 则，6 分分2(22 )22(22 )0sts tst 而，故， ， 7 分分22sta 2s tb220aba21( )()2bg aaa 由题意，则，故， 8 分分0,0

21、ba21()02aa1a 又， 22222442()2ststst即，故，当且仅当时取得等号， 9 分分 22aa 2a st综上：. 10 分分12a（3）88(22 )(4224 )()ststsstta ab ， 12 分分2321113()2222a aaaaa (1,2a 令， 3213( ),(1,222h aaaa 当恒成立， 14 分分( )h a2333(2)022aaa a (1,2a故在单调递增，故. 16 分分( )h a(1,2a( )( (1), (2)h ahh88st(1,2【说明说明】本题原创，考查二次函数、指数函数的单调性，考查基本不等式、导数的应用；考查换

22、元法、本题原创，考查二次函数、指数函数的单调性，考查基本不等式、导数的应用；考查换元法、划归思想；考查运算变形能力划归思想；考查运算变形能力. . 20. 解：（1）设的公差为，由题意：数列的前几项为： nbd nb 2 分分1121,bab324563789104,19ba b b ba b b b ba 为的第 10 项，则， 4 分分4a nb1019bbd ，而， 5 分分2d 11b 故数列的通项公式为. 6 分分 nbnb12(1)21nn （2）由（为常数） ，2nnSb, 得， 7 分分2222()2nnnnSbbb 当得：，1n 2212 当时， 2n 2211122nnnS

23、bb -得， 8 分分221122 ()nnnnnbbbbb则， 9 分分12()2(2)2nnnnbd bbddbdd若，则，代入式，得，不成立； 10 分分0d 11nbb20（法一）（法一）当，常数恒成立，又为正项等差数列， 2n 2(22 )2nd bdd nb当时，不为常数，则得， 11 分分0d nb2220,20,ddd11,2d代入式，得. 12 分分14（法二）（法二）,，即， 2(2)2nnbdbdd2(22 )2nd bdd21(22 )(1) 2d bnddd则对2 恒成立， 222 (1)2(1)2dd ndddn令，得 解得 11 分分2,3n 22224 (1)2

24、(1)2,6 (1)2(1)2,dddddddddd1,1,2d【或者:常数，则，得，222 (1)2(1)2dd nddd2 (1)0dd1d 当时，代入上式得】1d 1,2代入式，得. 12 分分14（法三）（法三）由12()2(2)nnnbd bbd n，得1122()2(3)nnnbd bbd n，-，得222dd， 代入上式得11 分分1d 1,2代入式，得. 12 分分14所以等差数列的首项为，公差为，则. 13 分分 nb11b 1d nbn设中的第项为数列中的第项，则前面共有的项，又插入了nan nbknana1n 项，则：15 分分(1)123(1)2n nn(1)(1)12n nkn22nn故. 16 分分22nknnabk【说明说明】本题是原创题，考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推；考查一般与特殊思想、转化本题是原创题，考查等差数列的性质、通项、求和、简单递推；考查一般与特殊思想、转化与划归思想；考查运算能力；考查分析探究能力与划归思想；考查运算能力；考查分析探究能力. .第第卷理科附加卷卷理科附加卷 21.B 解：MN =， 4 分分10021020110202 即在矩阵 MN 变换下，