高一数学函数的定义域与值域的常用方法

1、高一数学求函数的定义域与值域的常用法一：求函数解析式1、换元法：题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式，可将函数用一个变量代换。例1. 已知，试求。解：设，则，代入条件式可得：，t1。故得：。说明：要注意转换后变量围的变化，必须确保等价变形。2、构造程组法：对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式，可以据此构造出另一个程，联立求解。例2. （1）已知，试求；（2）已知，试求；解：（1）由条件式，以代x，则得，与条件式联立，消去，则得：。（2）由条件式，以x代x则得：，与条件式联立，消去，则得：。说明：本题虽然没有给出定义域，但由于变形过程一直保持等价关系，故所求函数的定义域由解析式确定

2、，不需要另外给出。例4. 求下列函数的解析式：（1）已知是二次函数，且，求；（2）已知，求，；（3）已知，求；（4）已知，求。【题意分析】（1）由已知是二次函数，所以可设，设法求出即可。（2）若能将适当变形，用的式子表示就容易解决了。（3）设为一个整体，不妨设为，然后用表示，代入原表达式求解。（4），同时使得有意义，用代替建立关于，的两个程就行了。【解题过程】设，由得，由，得恒等式，得。故所求函数的解析式为。（2），又。（3）设，则所以。（4）因为 用代替得 解式得。【题后思考】求函数解析式常见的题型有：（1）解析式类型已知的，如本例，一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式，顶点式和标

3、根式的选择；（2）已知求的问题，法一是配凑法，法二是换元法，如本例（2）（3）；（3）函数程问题，需建立关于的程组，如本例（4）。若函数程中同时出现，则一般将式中的用代替，构造另一程。特别注意：求函数的解析式时均应格考虑函数的定义域二：求函数定义域1、由函数解析式求函数定义域：由于解析式中不同的位置决定了变量不同的围，所以解题时要认真分析变量所在的位置；最后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。例3. 求的定义域。解：由题意知：，从而解得：x>2且x±4.故所求定义域为：x|x>2且x±4。例2. 求下列函数的定义域：（1）； （2）【题意分析】求函数的定义

4、域就是求自变量的取值围，应考虑使函数解析式有意义，这里需考虑分母不为零，开偶次被开数为非负数。【解题过程】（1）要使函数有意义，则，在数轴上标出，即。故函数的定义域为.当然也可表示为。（2）要使函数有意义，则，从而函数的定义域为。【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题，如果一个函数有几个限制条件时，那么定义域为解各限制条件所得的的围的交集，利用数轴可便于解决问题。求函数的定义域时不应化简解析式；定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。2、求分段函数的定义域：对各个区间求并集。例4. 已知函数由下表给出，求其定义域X1

5、23456Y2231435617解：1，2，3，4，5，6。3、求与复合函数有关的定义域：由外函数f（u）的定义域可以确定函数g（x）的围，从而解得xI1，又由g（x）定义域可以解得xI2.则I1I2即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后再行求解。解：又由于x24x3>0 *联立*、*两式可解得：例9. 若函数f（2x）的定义域是1，1，求f（log2x）的定义域。解：由f（2x）的定义域是1，1可知：212x2，所以f（x）的定义域为21，2，故log2x21，2，解得，故定义域为。三：求函数的值域与最值求函数的值域和最值的法十分丰富，下面通过例题来探究一些常用的法；随着

6、高中学习的深入，我们将学习到更多的求函数值域与最值的法。1、分离变量法例11. 求函数的值域。解：，因为，故y2，所以值域为y|y2。说明：这是一个分式函数，分子、分母均含有自变量x，可通过等价变形，让变量只出现在分母中，再行求解。2、配法例12. 求函数y2x24x的值域。解：y2x24x2（x22x1）22（x1）222，故值域为y|y2。说明：这是一个二次函数，可通过配的法来求得函数的值域。类似的，对于可以化为二次函数的函数的值域也可采用此法求解，如yaf2（x）bf（x）c。3、判别式法例13. 求函数的值域。解：可变形为：（4y1）x2（5y2）x6y30，由0可解得：。说明：对分子

7、分母最高次数为二次的分式函数的值域求解，可以考虑采用此法。要注意两点：第一，其定义域一般仅由函数式确定，题中条件不再另外给出；如果题中条件另外给出了定义域，那么一般情况下就不能用此法求解值域；第二，用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集，所以将原函数变形为一个关于x的一元二次程后，该程的解集就是原函数的定义域，故0。4、单调性法例14. 求函数，x4，5的值域。解：由于函数为增函数，故当x4时，ymin；当x5时，ymax，所以函数的值域为。5、换元法例15. 求函数的值域。解：令，则y2t24t2（t1）24，t0，故所求值域为y|y4。例3. 求下列函数的值域：（1） （

8、2）（3） （4）【题意分析】求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域上的函数，其值域就是指集合；二是函数的定义域，对应关系是确定函数值的依据。【解题过程】（1）将的值域为。（2），即所求函数的值域为或用换元法，令的值域为。（3）<法一>函数的定义域为R。<法二>。故所求函数的值域为（1，1。（4）<构造法>习题讲解：1.定义在R上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为( )A.-1 B. 0 C.1 D. 2答案:C.【解析】:由已知得,所以函数f(x)的值以6为期重复性出现.,所以f（2009）= f（5）=1,故选

9、C.【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的期性和对数的运算.2.设函数则不等式的解集是（ ） A B C D 答案：A 【解析】由已知，函数先增后减再增当，令解得。当，。故 ，解得【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。3.已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是( ) A. 0 B. C. 1 D. 答案：A 【解析】若0，则有，取，则有： （是偶函数，则 ）由此得 于是，4.若是奇函数，则 答案 【解析】解法15.已知函数若，则 . 答案 【解析】本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求的值. 属于基础知识、基本运算的考

10、查.由，无解，故应填.6.记的反函数为，则程的解 答案2 【解法1】由，得，即，于是由，解得【解法2】因为，所以三、知识要点1、奇偶函数定义：（1）偶函数：一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个x，都有f（x）=f（x），那么f（x）就叫做偶函数（2）奇函数：一般地，对于函数f（x）的定义域的任意一个x，都有f（x）=f（x），那么f（x）就叫做奇函数注意：函数是奇函数或偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；奇偶函数的定义域的特征：关于原点对称。由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域的任意一个x，则x也一定是定义域的一个自变量（即定义域关于原点对

11、称）奇函数若在时有定义，则2、根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。3、具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称说明：一般地，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图象关于轴对称，那么这个函数是偶函数。4、判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；确定f（x）与f（x）的关系；作出相应结论：若f（x） = f（x） 或 f（x）f（x） = 0，则f（x）是偶函数；若f（x） =f（

12、x） 或 f（x）f（x） = 0，则f（x）是奇函数5、判断函数的奇偶性也可以用下列性质在公共定义域，（1）两个奇函数的和为奇函数；两个奇函数的积为偶函数（2）两个偶函数的和为偶函数；两个偶函数的积为偶函数（3）一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数（4） 函数f （x）与同奇或同偶【典型例题】一、判断函数的奇偶性例1、判断函数的奇偶性时易犯的错误（1）因忽视定义域的特征致错1、；f （x）=x2+（x+1）0错解：， f （x）是奇函数 f （x）=（x）2+（x+1）0=x2+（x+1）0=f （x） f （x）是偶函数分析：一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称正解：定义域

13、（，1）（1，+）关于原点不对称，f （x）是非奇非偶函数定义域（，1）（1，+）， f （x）为非奇非偶函数（2）因缺乏变形意识或法致错2、判断的奇偶性错解： 5x10， x0f （x）的定义域为（，0）（0，+），关于原点对称 ， f （x）f （x），f （x）f （x）， f （x）是非奇非偶函数分析：因演变过程不到位导致错误，所以要注意进行恒等变形正解：，定义域为（，0）（0，+）关于原点对称 f （x）是奇函数（3） 因忽视f （x）=0致错3、判断函数的奇偶性错解：由得x=±2， f （x）的定义域为2，2，关于原点对称， f （x）为偶函数正解：f （x）的定义域为2

14、，2，此时，f （x）=0， f （x）既是奇函数又是偶函数点评：函数f （x）=0 （x0）是f （x）既是奇函数又是偶函数的一个必要条件，任一个关于原点对称的区间都可以作为解析式为f （x）=0 （x0）函数的定义域（4）因分段函数意义不清致错二、函数的奇偶性与单调性的关系例3、已知：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，证明：在上也是增函数。证明：设，则在上是增函数。，又在上是奇函数。，即所以，在上也是增函数。规律：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致例4、为上的奇函数，当时，当x<0时，求解：设，由于是奇函数，故，又，由已知有从而解析式为例

15、5、（1）已知的定义域为，且，试判断的奇偶性。（2）函数的定义域为，且对于一切实数都有，试判断的奇偶性。解：（1）的定义域为，且 令式中为得： 解得，定义域为关于原点对称又是奇函数。（2）定义域关于原点对称，又令得则，再令得， 所以，原函数为奇函数（一）函数单调性的定义1. 增函数与减函数一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数。如果对于定义域I的某个区间D的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）>f（x2），那么就说f（x）在区间D上是减函数。

16、注意：函数的单调性是在定义域的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f（x1）f（x2）或 f（x1）f（x2）。2. 函数的单调性的定义如果函数yf（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数yf（x）在这一区间具有（格的）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间。3. 判断函数单调性的法和步骤利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且x1x2；作差f（x1）f（x2）；变形（通常是因式分解和配）；定号（即判断差f（x1）f（x2）的正负）；下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）

17、。（二）函数最大（小）值的定义1. 最大值与最小值一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M那么，称M是函数yf（x）的最大值。一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M那么，称M是函数yf（x）的最小值。 注意：函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f（x0）M；函数的最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f（x）M（f（x）M）。2. 利用函数的单调性判断函数的最大（

18、小）值的法利用二次函数的性质（配法）求函数的最大（小）值利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值利用函数的单调性判断函数的最大（小）值如果函数yf（x）在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数yf（x）在xb处有最大值f（b）；如果函数yf（x）在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数yf（x）在xb处有最小值f（b）。知识点一：函数的单调性与最值例1：判断函数在区间上的单调性，并用定义证明。1）题意分析：用定义证明一个分式函数在上的单调性2）解题思路：按照用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤去做即可。解答过程：在区间上单调递减。设，则。已知，所以

19、，所以，即原函数在上单调递减。解题后的思考：用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配）和定号（即判断差f（x1）f（x2）的正负）。例2：已知是奇函数，它在上是增函数，且，试问在上是增函数还是减函数？并证明你的结论。1）题意分析：本例比较抽象，没有具体的解析式。简单地说就是已知原函数的单调性，判断倒函数的单调性。2）解题思路：根据函数的单调性的定义，可以设，进而判断的符号。解答过程：任取，且，则有。在上是增函数，且，又是奇函数，。于是，在上是减函数。解题后的思考：本例是一道抽象性较强的题，它考查了函数性质的综合应用。例3：已知，求函数的最值。1）题意分析

20、：本例要求在指定的半开半闭区间求一个分式函数的最大（小）值；2）解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。解答过程：已知函数式可化为，先判断函数在上的增减性。设，则，。，即函数在上是减函数。故所求函数的最小值为，无最大值。解题后的思考：函数单调性在解题中的应用，主要表现为通过建立函数关系式或构造辅助函数式，把原问题转化为对函数单调性的讨论的问题，以达到化难为易、化繁为简的目的。例4：已知函数是增函数，定义域为，且，求满足的的取值围。1）题意分析：本例给出了单调性、定义域、运算法则和一个点，求函数自变量的取值围。2）解题思路：利用运算法则把问题化归成已知单调性和函数值的大小，求自变量的大小的问题，此过程中要注意定义域的限制作用，即如果，则必须，且。解答过程：由题意，得解得 。所以的取值围是。解题后的思考：容易忽视函数的定义域为这一隐含条件。例6：已知是奇函数，且当时，求当时的解析式。1）题意分析：已知函数是奇函数，且知道函数在某个区间上的解析式，求函数在该区间关于原点对称