高中数学不等式综合复习

1、不等式专题一不等式的基本性质1. 不等式的基本概念（1） 不等（等）号的定义：（2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.（3） 同向不等式与异向不等式.（4） 同解不等式与不等式的同解变形.2.不等式的基本性质（1）（对称性）（2）（传递性）（3）（加法单调性）（4）（同向不等式相加）（5）（异向不等式相减）（6）（7）（乘法单调性）（8）（同向不等式相乘）（异向不等式相除）（倒数关系）（11）（平方法则）（12）（开方法则）二一元二次不等式1.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例 一元一次不等式ax>b解

2、的讨论；一元一次不等式的解法与解集形式当时，, 即解集为 当 时 ，即解集为 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a0)解的讨论.一元二次不等式的解集 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则0 <0 切忌去分母（3）无理不等式：转化为有理不等式求解 （4）.指数不等式：转化为代数不等式（5）对数不等式：转化为代数不等式（6）含绝对值不等式应用分类讨论思想去绝对值； 应用数形思想；应用化归思想等价转化2：典型例题例1. 求下列不等式的解集（1），（2）（3）的解集 例2 解下列不等式.（1） ，（2）例3.解不等

3、式变式练习：例4：解关于的不等式（1） ， （2）变式练习：1、 2、3、4、例5.已知不等式的解集是，则不等式的解集 变式练习：若不等式的解集为,则不等式的解集为 _.例6.若一元二次不等式的解集是R则的取值范围是 变式练习：1已知关于x的不等式的解集为空集，求的取值范围。2、若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围。三.基本不等式及其应用1.几个重要不等式（1）（2）（当仅当a=b时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）极值定理：若则：如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小； 如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正

4、、二定、三相等. （当仅当a=b=c时取等号）（当仅当a=b时取等号）（7）2.几个著名不等式 （1）平均不等式： 如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数（a、b为正数）：特别地，（当a = b时，）幂平均不等式：注：例如：.常用不等式的放缩法：（2）柯西不等式： （3）不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有则称f(x)为凸（或凹）函数.3.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.注：常用不等式的解法举例（x为正数）： 类似于，应用一：求最值例1：求下

5、列函数的值域（1）y3x 2 （2）yx解题技巧：技巧一：凑项例1：已知，求函数的最大值。技巧二：凑系数例1. 当时，求的最大值。技巧三： 分离例3. 求的值域。技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。例：求函数的值域。练习求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值. （1） （2） (3) 2已知，求函数的最大值.；3，求函数的最大值.条件求最值1.若实数满足，则的最小值是 .变式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。2：已知，且，求的最小值。变式： （1）

6、若且，求的最小值(2)已知且，求的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x 21，求x的最大值.技巧八：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.变式：1.已知a>0，b>0，ab(ab)1，求ab的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知x，y为正实数，3x2y10，求函数W的最值.变式: 求函数的最大值。应用二：利用基本不等式证明不等式1 已知为两两不相等的实数，求证：1） 正数a，b，c满足abc1，求证：(1a)(1b)(1c)8abc2） 已知a、b、c，且。求证：应用三：基本不等式与恒成立问题例：已知且，求使不等式恒成立的实数

7、的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若，则的大小关系是 .四简单的线性规划1、已知线性约束条件，探求线性截距加减的形式(非线性距离平方的形式，斜率商的形式)目标关系最值问题（重点）例、设变量x、y满足约束条件，则的最大值为则的最小值是 .的取值范围是 .2 含参问题：（较难） 约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例、在约束条件下，当时，目标函数的最大值的变化范围是（）A. B. C. D. 已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例 已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。3、已知平面区域，逆向考查约束条件。例 、已知

8、双曲线的两条渐近线与直线围成一个三角形区域,表示该区域的不等式组是（）(A) (B) (C) (D) 4、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。例 已知变量，满足约束条件。若目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则的取值范围为 。5、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是6、研究线性规划中的整点最优解问题例 某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件则的最大值是综合检测一 选择题1.已知那么的大小关系是( ) 2.下列各组不等式中,同解的是( )与 与与 与3.不等式的解集是( ) 4.不等式的解集是( ) 或 或5.函数的

9、定义域是( ) 6.若与异号,则的取值范围是( ) 或7.下列命题中正确的是( )的最小值是2 的最小值是2 的最小值是 的最大值是 8.不等式对于一切实数恒成立,则的取值范围是( ) 9.现有含盐7%的食盐水200克,生产需要含盐在5%以上且6%以下的食盐水,设需要加入含盐4%的食盐水克,则的范围是( ) 10.若则下列结论中正确的是( )不等式和均不能成立 不等式和均不能成立不等式和均不能成立不等式和均不能成立11.若则的最小值和最大值分别是( )0,16 12.已知,则之间的大小关系为( ) 二填空题：13.已知则与间大小关系是 14.不等式的解是 15.若成立,则的取值范围是 16.设满足且则的最大值是 三解答题：17.已知与不等式同解,求的值.18.设,且,求证:19.若,求的最大值.20.解不等式:21.某摩托车生产企业,上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例