有限元原理和应用实例

1、有限元法的基本原理有限元法的基本原理第一节第一节 弹性力学基础知识弹性力学基础知识 弹性力学中的物理量弹性力学中的物理量1、载荷、载荷定义：作用在弹性体上的力（力矩），又称外力。定义：作用在弹性体上的力（力矩），又称外力。 载荷可分为：体力、面力、集中力载荷可分为：体力、面力、集中力 1）体力）体力定义：分布于整个弹性体体积内的外力。如：重力定义：分布于整个弹性体体积内的外力。如：重力可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为： TvvxvyvzPppp2）面力）面力定义：作用于弹性体表面上的外力，如：流体压力定义：作用于弹性体表面上的外力，如：流体

2、压力可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：3）集中力）集中力定义：集中在某一点上的外力，如：牵引力定义：集中在某一点上的外力，如：牵引力可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为：可以分解为三个坐标系上的分量，用向量表示为： TssxsyszPppp TccxcyczPppp2、应力（注意下标）、应力（注意下标）定义：弹性体内某一点作用于某个截面单位面积上定义：弹性体内某一点作用于某个截面单位面积上 的内力，反映了内力在截面上的分布密度。的内力，反映了内力在截面上的分布密度。微元体表面上的应力：一个正应力微元体表面上的应力：一个正应力 （拉压）

3、（拉压） 两个切应力两个切应力 （剪切）（剪切）切应力互等定律：切应力互等定律：弹性体内某一点的应力状态由六个应力所决定弹性体内某一点的应力状态由六个应力所决定应力向量可以表示为：应力向量可以表示为：, , xyyxyzzyzxxz Txyzxyyzzx3、应变（对应于应力）、应变（对应于应力）定义：微元体体发生变形后，单位长度的变形量。定义：微元体体发生变形后，单位长度的变形量。对应于应力，应变向量可以表示为：对应于应力，应变向量可以表示为：4、位移、位移定义：弹性体内质点位置的变化定义：弹性体内质点位置的变化位移向量可以表示为：位移向量可以表示为： Txyzxyyzzx Tduvw 弹性力

4、学的基本方程弹性力学的基本方程主要是描述应力、应变、位移及外力间的相互关系主要是描述应力、应变、位移及外力间的相互关系1、平衡方程、平衡方程 （应力间的关系）（应力间的关系）000yxxzxvxxyyzyvyyzxzzvzpxyzpxyzpxyz2、几何方程（应变与位移的关系）、几何方程（应变与位移的关系） 000000000 xyzxyyzzxxuxvyyuwzzvuvyxwyxvwzyzywuxzzx 3、物理方程（应力与应变之间的关系）、物理方程（应力与应变之间的关系）111111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG 2(1)EGEG其中: 为杨氏弹性模量为柏松比

5、为剪切弹性模量且: 100011100011100011(1)1 2(1)(1 2 )000002(1)1 2000002(1)1 2000002(1)DED因此物理方程可以简写为： 未知数未知数 应力应力 6个个+应变应变 6个个+位移位移 3个个=15个个 方程个数方程个数 平衡方程平衡方程 3个个+几何方程几何方程6个个+物理方程物理方程6个个=15个个原则上可以根据原则上可以根据15个方程求出个方程求出15个未知物理量个未知物理量但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的但实际求解时先求出一部分再通过方程求解剩下的 目前有限元法主要采用的是目前有限元法主要采用的是位移法位移法，以三个

6、位移，以三个位移分量为基本未知量分量为基本未知量 虚位移原理虚位移原理1、虚功与虚应变能、虚功与虚应变能 弹性体在外力作用下变形，外力对弹性体做功，弹性体在外力作用下变形，外力对弹性体做功，所做的功以应变能的形式储存于弹性体中。所做的功以应变能的形式储存于弹性体中。弹性体单位体积的应变能为：弹性体单位体积的应变能为：虚位移虚位移定义：在约束条件允许的范围内弹性体可能发生的定义：在约束条件允许的范围内弹性体可能发生的 任意微小位移。任意微小位移。 虚位移与时间及外载荷无关虚位移与时间及外载荷无关实际位移是在外载荷作用下可能的虚位移实际位移是在外载荷作用下可能的虚位移 12TU弹性体在平衡状态下发

7、生虚位移弹性体在平衡状态下发生虚位移1）外力所做的虚功为：）外力所做的虚功为：2）应力在虚应变上所做的虚功，也就是存储在弹性）应力在虚应变上所做的虚功，也就是存储在弹性 体内的虚应变能为：体内的虚应变能为： TWfRWfR其中：为虚功，为虚位移，为外力。 TVUdV2、虚位移原理、虚位移原理表述：如果在在虚位移发生之前弹性体是平衡的，表述：如果在在虚位移发生之前弹性体是平衡的， 那么在虚位移发生时外力在虚位移上所做的那么在虚位移发生时外力在虚位移上所做的 功就等于弹性体的虚应变能。即：功就等于弹性体的虚应变能。即：当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：当外力的形式是多样的时，外力的虚功等于：

8、WU TTTcvsvsWfPfP dVfP dS 平面问题定义平面问题定义 严格地讲，任何结构都是空间的严格地讲，任何结构都是空间的 对于某些特殊情况，空间问题可以转化为平面问题。对于某些特殊情况，空间问题可以转化为平面问题。1、平面应力问题、平面应力问题满足条件：满足条件：1）几何条件）几何条件 厚度尺寸远远小于截面尺寸厚度尺寸远远小于截面尺寸2）载荷条件）载荷条件 载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分 布，而板平面不受任何外力作用布，而板平面不受任何外力作用此时，应力应变分量变为：几何方程 物理方程00 1zxzyzzxzyzxy以及 TxyxyTxyxy

9、00 xyxyxuvxyxx 2101011002DED2、平面应变问题满足条件1）几何条件 结构呈等截面的细长形2）载荷条件 载荷垂直于厚度方向(平行横截面)且 沿厚度均匀分布，两个端面不受力此时，00 zxyzzyzzxzxy 以及应力应变分量变为： 物理方程 TxyxyTxyxy 10111011 211 2002 1DED 弹性力学的参量及方程汇总弹性力学的参量及方程汇总1）参量）参量位移：位移：应力：应力：应变：应变：2）方程）方程平衡方程：平衡方程：几何方程：几何方程：物理方程：物理方程： Tduvw Txyzxyyzzx Txyzxyyzzx 0TvLP Ld D Tvvxvyv

10、zPppp其中：其中： 100011100011100011(1)1 2(1)(1 2 )000002(1)1 2000002(1)1 2000002(1)ED 000000000 xyzLyxzyzx111111xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEGGG 12）没有正应力没有正应变）没有正应变没有正应力3）没有应变没有位移4）没有位移没有应变第二节第二节 平面问题的有限元法平面问题的有限元法 00,zzTdu v平面应力平面问题平面应变共同点：三个方向的位移只有两个是独立的即： 平面问题的有限元分析步骤（平面应力问题）平面问题的有限元分析步骤（平面应力问题）1、结构离散、结

11、构离散离散：将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量离散：将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量 的单元的组合的单元的组合 单元也称为网格单元也称为网格 连续体连续体 有限个单元的组合体有限个单元的组合体可用于离散的单元可用于离散的单元 三角形单元三角形单元 矩形单元矩形单元 不规则四边形单元不规则四边形单元DOF节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。节点的自由度：节点所具有的位移分量的数量。一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度一个单元所有节点的自由度总和称为单元自由度单元参数只能通过节点传递到相邻单元单元参数只能通过节点传递到相邻单元单元和节点必须统一编号单元和节点必须统一编号2、单

12、元分析（位移、应力、应变）、单元分析（位移、应力、应变）任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程任务：形成单元刚度矩阵，建立单元特性方程因此必须建立坐标系，如下图：因此必须建立坐标系，如下图：1 1）位移函数）位移函数分片插值分片插值 假设一种函数来表示单元位移分布假设一种函数来表示单元位移分布一般选取多项式（简单而且易求导）一般选取多项式（简单而且易求导）对于三角形单节点单元（对于三角形单节点单元（DOF=6DOF=6）2212345622123456( , )( , )u x yxyxxyyv x yxyxxyy123456( , ) ( , )u x yxyv x yxy（2-1）126

13、123456123456123456,6, iijjmmiiiiiijjjjjjmmmmmmu vu vuvuxyvxyuxyvxyuxyvxy 是 个待定系数(广义坐标)，可以表示为节点坐标和位移的函数.设三个节点的位移分别为、和，将其与节点坐标一起代入（2-1）可得： (2-2): , , , , , , 11 221 2ijmmjijmijmjmiimjmijmimjmmjmijmijiijjmmiijjmmiijjmmax yx ybyycxxax yx ybyycxxax yx ybyycxxaua ua ubub ub uAAcuc uc uA123设求解方程（2-2）得：1 21

14、1 22iijjmmiijjmmiijjmmava va vAbvb vb vcvc vc vAA45611: 12112 12 iijjmmiiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmxyAxyxyuab xc y uAab xc y uab xc y uvab xc y vAab xc y vab xc y v其中为三角形单元的面积则位移函数可以表示为：121 (23)212 (24)iiiijjjjmmmmiijjmmiijjmmNab xc yANab xc yANab xc yAuN uN uN uvN vN vN v引入形函数：则单元位移可以表示为： 00 0000eijmij

15、mTeiijjmmNNNNNNNquvuvudNqv用矩阵表示为：其中：为形函数矩阵为单元节点位移列阵形函数只与节点坐标有关而与节点位移无关单元的位移函数就可以表示为：单元坐标的函数与节点位移列阵的乘积10, iiiiiuvuNvNNi形函数的物理意义：当，而另两个节点位移为 的时候 因此，是当节点 在某坐标上发生单位位移而其他节点的位移为0时，单元内的位移分布1( ,)1(,)(,)0(,)1( ,)(,)0(,)1( ,)(,)0( , )( , )( , )1iiiiijjimmjjjjiijmmmmmmiiijjijmNiN x yN xyN xyNxyNx yNxyNxyNx yN

16、xyN x yNx yNx y形函数的性质：）在 节点上值为1，而在其他节点处为0,2）单元的任意一点处，三个形函数之和为1(刚体位移)3)单元每一条边的形函数只与该边的节点位置( , )1,( , ),( , )0iiijmjijixxxxN x yNx yNx yxxxx 有关 而与其它节点位置无关，如在i,j边上: 位移函数应该满足以下几个条件位移函数应该满足以下几个条件（1）包括常数项（保证刚体位移）包括常数项（保证刚体位移）（2）包括一次项（保证常应变）包括一次项（保证常应变）（3）保证位移的连续性（性质）保证位移的连续性（性质3保证）保证）（4）各项几何同性（）各项几何同性（x,

17、y应该是可以互换的）应该是可以互换的）( , )( , )0( , )( , )mniijjiijjNx yNx yu x yN uN uv x yN vN v满足上述三个条件的目的是满足有限元的收敛性满足上述三个条件的目的是满足有限元的收敛性（1）和（）和（2）是收敛的必要条件）是收敛的必要条件 完备性条件完备性条件（3）是收敛的充分条件）是收敛的充分条件 协调条件协调条件注意：非协调单元的解不一定不收敛注意：非协调单元的解不一定不收敛2)单元应力和应变单元应力和应变将位移表达式（将位移表达式（2-3）和（）和（2-4）代入几何方程得：）代入几何方程得： 26350000010002xyxy

18、iiijmejijmjiijjmmmmxuvyyxxuvbbbucccBqvAcb cb cbuv 000000ijmijmijmiijjmmBLNbbbcccBBBcb cb cb其中：应变矩阵则应变向量可以表示为：则应变向量可以表示为： D、B均为常数矩阵，因此三角形三节点单元为均为常数矩阵，因此三角形三节点单元为常应力单元。常应力单元。 2 (, ,)2 11122eeijmllllllllDDBqSqSDBSSSbcESbcDBli j mAcb3）单元刚度矩阵）单元刚度矩阵设作用在单元节点上的单元节点力列阵为：设作用在单元节点上的单元节点力列阵为：而节点发生的虚位移为：而节点发生的虚

19、位移为：则节点力在虚位移上做的虚功为：则节点力在虚位移上做的虚功为： TTeijmixiyjxjymxmyFFFFFFFFFFTeiijjmmquvuvuv iixiiyjjxjjymmxmmyeTeWu Fv Fu Fv Fu Fv FqF TTvTeTeTeTTeTeTeTTeTeeTeTeTeeTeUdVtdxdytBqqBDBqUqBtdxdyqBDBqtdxdyqBDBqtdxdyqBDBqtAWUqFqBDBqtA单元的虚应变能：其中： 为板的厚度根据根据虚位移原理：考虑到虚位移的任意性，等式两边消 eTTeeeeqFBDBqtAkq去得：（2-5） 2( , ,)2 21122

20、114 122 iiijimejijjjmmimjmmrsTrsrsrsrsrsrsrsrsrsrsDBkkkkkkkkkkkr si j mkBDB tAb bc cb cc bEtAc bb cc cb b将、的表达式代入（2-5）可得：其中为分块矩阵将（将（2-5）展开得：）展开得：单元刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义： 在一个节点处产生单位位移而其他点为零时，在在一个节点处产生单位位移而其他点为零时，在该节点上需要的外力的大小。该节点上需要的外力的大小。单元某个元素的影响单元某个元素的影响 (26)iiiiijjimmjjiijjjjmmmmiimjjmmmFkqkqkqFk

21、qkqkqFkqkqkq 单元刚度矩阵的特性单元刚度矩阵的特性（1）对称性）对称性： （弹性力学互等定理）（弹性力学互等定理）（2）奇异性：）奇异性： （刚体位移）（刚体位移） eeTkk 1eeeekkqF3、总刚度矩阵的集成、总刚度矩阵的集成 通过单元特性方程通过单元特性方程 并不能求出单元节并不能求出单元节点位移点位移 。因为。因为 包含单元间的作用力。包含单元间的作用力。 因此，必须将每个单元的特性方程相加消除内力因此，必须将每个单元的特性方程相加消除内力的影响。的影响。 这就是总刚度矩阵集成的目的。这就是总刚度矩阵集成的目的。1）总刚集成原理）总刚集成原理 在整个结构中，一个节点为几

22、个单元共有在整个结构中，一个节点为几个单元共有在第在第i个节点处的平衡方程为：个节点处的平衡方程为： eeekqF eq eF , , eeiissiees i j mFkqR 1, ,112121, ,inneissiies i j minnnsies i j mRikqRKqRqq qqRR RRKKk 为作用在节点 上的外载荷对所有节点都应用平衡方程，则有：或者：其中：是所有节点位移分量组成的列阵是作用在所有节点上的载荷组成的列阵为总刚度矩阵 且例：总刚的形成过程例：总刚的形成过程2 2）总刚度矩阵集成过程）总刚度矩阵集成过程（1 1）扩阶过程（可由转换矩阵完成）扩阶过程（可由转换矩阵完

23、成）（2 2）叠加过程：）叠加过程： 1eneiKK 6 2 1 0000000000002 2TeeKGkGGnijmnIGIII 其中：为阶转换矩阵其中： 是的单位矩阵总刚矩阵的特点：总刚矩阵的特点：（1）对称性）对称性 节省存储容量节省存储容量（2）稀疏性）稀疏性 可能存在大量零元素可能存在大量零元素（3）带状性）带状性 半带宽与节点的编号有关半带宽与节点的编号有关（4）奇异性）奇异性 保证刚体位移保证刚体位移4、载荷移置、载荷移置 移置可能在局部产生误差，但不会影响整个结构移置可能在局部产生误差，但不会影响整个结构的力学特性。的力学特性。1）集中力的移置（虚功等效）集中力的移置（虚功等

24、效） ccTccxcyeiicejjcPmmcPPppRNPRRNPRNP对于集中力移置后的等效节点载荷为：2）面力的移置）面力的移置 sssTssxsyTesPeisiejjsPmPmsPppRNP tdlNP tdlRRRNP tdlRNP tdl对于面力移置后的等效节点载荷为：3）体力的移置）体力的移置 vvvTvvxvyTevPeiviejjvPmPmvPppRNP tdxdyNP tdxdyRRRNP tdxdyRNP tdxdy对于体力移置后的等效节点载荷为：5、约束处理、约束处理1）边界位移为零）边界位移为零2）边界位移为已知量）边界位移为已知量6、求解线性方程组、求解线性方程组

25、 7、计算其它物理量、计算其它物理量8、计算结果处理、计算结果处理9、结果显示、打印、分析、结果显示、打印、分析 KqR第六章第六章 薄板弯曲问题的有限元法薄板弯曲问题的有限元法第一节第一节 引言引言薄板弯曲问题应满足的条件：薄板弯曲问题应满足的条件：1 1）几何条件）几何条件 厚度尺寸小于其它两个尺寸厚度尺寸小于其它两个尺寸 t/l1/52 2）载荷条件）载荷条件 仅受垂直于中面的横向载荷仅受垂直于中面的横向载荷 膜内力膜内力 和和 弯曲内力弯曲内力3）小挠度假设）小挠度假设 横向变型很小横向变型很小 w/t1/5 10,0,( , ),zzyzxxoywzwx yww x y z薄板弯曲以

26、未变形的板的中面为平面采用克希霍夫的三个假设：）直法线假设 中面法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面 因此： 也就是说：挠度 只是的函数2）正应力假设 在平行于中面的截面上， 应力分量可以忽略。 002222230 0 2zzxyxyuvwxwuwxdzzwvyywx y ）小挠度假设 中面内各点没有平行于中面的位移因此:以及 222222 2101011002xybbxybwxwDz Dywx yED 应力与挠度的关系为：其中：与平面应力的弹性矩阵相同 3334422341212212 1TxyTxyxybbbqwDz DtMDztDDEtwx 第二节 弹性薄板弯曲的能量泛函和微分方程1、位移

27、向量 、广义应变分量和曲率 、应力应变关系 、广义应力 , 5、能量泛函和微分方程 444swwPx yy 第三节第三节 薄板弯曲问题有限元法薄板弯曲问题有限元法1、结构离散、结构离散 采用四节点矩形单元采用四节点矩形单元 属于平面单元属于平面单元2212345632233378910111223412 ,xyiiixixiyiyjjjxjxjyjywxyxxyyxx yxyyx yxywwyxwN wNNN wNN、单元分析1）位移函数 每个节点 个自由度个节点个自由度移函数设为：分别把节点的坐标和位移代入上式考虑到 emmmxmxmymypppxpxpypyxyN wNNN wNNNqw连

28、续，和在边界上部连续，所以单元非协调2222,1112811181118, , iixiyiiiiiixiiiiyiiiN NNNbNaNii j m pxyab和是形函数 23,1a1a1ba1ab - - - -4 1212 4 12 12 412 12 41212abeTTSabSeTssekBDB dxdyBDB dy dxPRNPdxdyPbbR 、单元刚度矩阵利用虚位移原理、单元载荷向量对于均布载荷等效节点载荷为对于常力 有 134 eneiKKKqR、总刚矩阵合成 、载荷移置5、边界条件处理6、求解方程组7、数据处理及分析第四章第四章 三角形板单元三角形板单元对于斜交边界、曲线边

29、界能很好地适应对于斜交边界、曲线边界能很好地适应1、面积坐标、面积坐标1）定义：）定义：,iijjmmALAALAALA 211 (2)0,1,0 , 1,0,00,0,10001111 1 2ijmijmiijmjijmmllllLLLLjmLmiLijLxxxxLyyyyLALabAA ）面积坐标的特点（）（面积坐标不独立）三角形三个顶点的坐标为和 三条边的方程为：（边）（边）（ 边）(3)面积坐标与直角坐标的转换 , ,lxc yli j m(3) 1 21 2! !1 ! ! !22 !llllllabijlabcijmLNbxxALNcyyAa bL L dslaba b cL L

30、L dxdyAabcs面积坐标的微积分运算微分运算 积分运算 三角形边上的积分 三角形全面积上的积分21234523223678910892) 910 wxyxxyyxx yxyy位移函数对三角形板单元，位移函数可以取完全三次多项式个节点的位移不能去确定个参数解决办法：（1）将中心挠度作为一个参数 （2）（3）用面积坐标123224522672289 ijmjiijmjmijmmiijmmjijmimijmijijmwLLLL LCLL LL LCLL LL LCLL LL LCLL LL LCLL LL LCLL LC引入面积坐标，位移函数可以写成：其中 为常数，C=1/2时上式满足常应变要

31、求 1232222222211221122iejmTiijimijimiiixjmiijmmijijmiyjmiijmmijijmqwNqNNNqqLL LL LLLLLNNNbL LLL LbLLLL LNcL LLL LcLLLL L将三角形单元节点位移回代到位移表达式得：其中:T 222222323313112123241-1-1- 324243242432424eTSeTTseTkBDB dxdyNNNBxyx yqRNPdxdy qNdxdybbccbbccbbccRqA 、单元刚度矩阵其中：、单元载荷向量（常量）第三章第三章 轴对称问题有限元法轴对称问题有限元法平面问题有限元法的基

32、本思路平面问题有限元法的基本思路1）用网格将平面结构离散（三角形单元）用网格将平面结构离散（三角形单元）2）将单元位移表示成节点位移的插值函数）将单元位移表示成节点位移的插值函数 （是将有限节点的位移作为未知数）（是将有限节点的位移作为未知数）3）通过单元位移表达式求解单元应变及应力）通过单元位移表达式求解单元应变及应力1212iiiijjjjmmmmiiiijjjjmmmmuab xc y uab xc y uab xc y uAvab xc y vab xc y vab xc y vA eeDDBqSqBLN其中4）利用虚位移原理建立单元平衡方程）利用虚位移原理建立单元平衡方程 （单元刚度

33、矩阵）（单元刚度矩阵）5）生成总刚度矩阵，建立总平衡方程）生成总刚度矩阵，建立总平衡方程6）处理边界条件（力与位移）处理边界条件（力与位移）7）计算求解节点位移）计算求解节点位移8）处理计算结果（应力和应变分布）处理计算结果（应力和应变分布） TeeeeFBDBqtAkq KqR第一节第一节 轴对称问题的定义和特点轴对称问题的定义和特点1、轴对称问题的定义、轴对称问题的定义 满足三个条件：满足三个条件：（1）几何形状对称）几何形状对称（2）边界条件对称）边界条件对称（3）材料对称）材料对称2、轴对称问题的应力应变特点、轴对称问题的应力应变特点 特点：特点：应力应力，应变应变，位移位移 都是轴对

34、称都是轴对称 数学表述：变量与角度数学表述：变量与角度 无关无关位移分量：位移分量：应变分量：应变分量：应力分量：应力分量：0, 0, /rzrzu r Tquw Trzrz Trzrz 10101011 21 20002TrzrzTuuwwurrzrzDED几何关系: 物理方程： 第二节第二节 轴对称问题有限元法轴对称问题有限元法1、结构离散、结构离散 对称结构本身是一个三维结构对称结构本身是一个三维结构 采用三角形环单元采用三角形环单元 注意与平面三角形单元的区别注意与平面三角形单元的区别2、单元分析、单元分析1）位移函数）位移函数选取线性位移函数：选取线性位移函数： 123456( ,

35、) (3-1)( , )u r zrzv r zrz (3-2) 000000iijjmmiijjmmijjijjTeiijmejmeuN uN uN uwN wN wN wNNNNNNNdNquwuwuwq利用平面问题类似的方方法，将节点坐标和位移代入（3-1），整理后得：或者写成矩阵的形式为：其中：为形函数矩阵为单元节点位移列阵121 (33)212, , , , , , iiiijjjjmmmmijmmjijmijmjmiimjmijmimjmmjmijmijNabrc zANab rc zANab rc zAar zr zbzzcrrar zrzbzzcrrar zr zbzzcrr形

36、函数的表达为：其中： 2: 001 , ,02 , ,TeijmlllllllllluuwwuBqrrzrzBBBBBbfBli j mcAcbabrc zfli j mr）单元应变其中不是常量矩阵 1111122123, 1- , ,211 21-2 12 1-eeijmllllllLlllllDDBqSqSSSSbA fAcAbfAcESli j mA bfcAA cA bAA）单元应力其中：3、单元刚度矩阵、单元刚度矩阵单元的虚功方程为：单元的虚功方程为：若单元的虚位移为若单元的虚位移为则单元的虚应变为则单元的虚应变为： eTeTqFrdrd dzeq eeBq 22eTeeTTeTTe

37、TeTeeTeeeTeqFqBrdrd dzqBrdrd dzqFBrdrd dz qBDB rdrdzkqkBDB rdrdz消去，得： 332ijmijmeTrrrrrzzzzzBSkr BDB AA采用简化算法，用单元截面形心坐标来近似如此和都是常量矩阵为单元截面积实际计算表明：实际计算表明： 近似计算不仅计算方便，而且同样满足精近似计算不仅计算方便，而且同样满足精度要求，因此是可行的。度要求，因此是可行的。4、总刚度矩阵的集成、总刚度矩阵的集成 具体参照第二章的方法具体参照第二章的方法 形成有限元方程形成有限元方程 KqR ,TccrczeTeeTeTTccPceTeTcPcr zPp

38、pqRdPqNPqRNP1)集中力的移置对于单元内任意点上作用的集中力等效节点载荷与原载荷在虚位移上的虚功相等两边约去得： ,2sjmisssrsszmjissjmjmPzzbPPpjmlPprrcPPljmrrrr2)面力的移置设单元边作用均布载荷表面力的矩阵为：令 000000004eTsPsiTsijmijmisTjmsiiiiRNP rdsbPNNNlrdsNNNcPlrrPbcbc 如果作用在边界上的表面力不是均布载荷可将载荷分解为若干组，近似地将每组看作均布分别进行计算，然后叠加。 3( )001010130101013vrvvzeTcPvTijmipPpvArRA rrr ）体积

39、力的移置重力设单元密度为 ，则体积力为： 22222( )010101031010103vrcvvzTecPvTijmiiprPpArRA rrr 惯性离心力设单元密度为 ，角速度为 ，则体积力为：6、约束处理、约束处理 参见第二章参见第二章7、求解方程、求解方程 8、处理数据、处理数据 KqR*:=2)13aaabaababbbbaaaabbaaabbKKqRKKqRK qK qRK qRRK q位移约束的处理1）直接代入法可得求解方程变为对角元素改 法（0位移）对角元素乘大数法（非0位移）第十二章第十二章 有限元建模的基本原则有限元建模的基本原则有限元建模的两大基本原则：有限元建模的两大基

40、本原则：1 1）保证精度）保证精度2 2）适当控制模型规模）适当控制模型规模第一节第一节 保证精度原则保证精度原则有限元分析目的：利用结果验证修改或优化设计有限元分析目的：利用结果验证修改或优化设计 1 1、误差分析、误差分析1 1）模型误差：将实际模型抽象成有限元模型时）模型误差：将实际模型抽象成有限元模型时 所产生的误差所产生的误差（1 1）离散误差）离散误差 物理离散误差物理离散误差 插值函数和真实函数间的误插值函数和真实函数间的误差差 几何离散误差几何离散误差 离散后组合体与实际物体的离散后组合体与实际物体的差差（2 2）边界条件误差）边界条件误差 实际工况在量化成边界条件时的误差实际

41、工况在量化成边界条件时的误差（3 3）单元形状误差）单元形状误差 避免不规则形状的出现避免不规则形状的出现2 2、提高精度的措施、提高精度的措施1 1）提高单元阶次）提高单元阶次2 2）增加单元数量）增加单元数量3 3）划分规则的单元形状）划分规则的单元形状4 4）建立与实际相符的边界条件）建立与实际相符的边界条件5 5）减小模型规模）减小模型规模6 6）避免）避免“病态病态”方程组方程组2 2、降低模型规模的措施、降低模型规模的措施1 1）对几何模型进行处理）对几何模型进行处理2 2）采用子结构法）采用子结构法3 3）利用分步计算法）利用分步计算法4 4）进行带宽优化和波前处理）进行带宽优化

42、和波前处理5 5）利用主从自由度方法）利用主从自由度方法第二节第二节 控制规模原则控制规模原则运算次数和存储空间取决于方程的阶数运算次数和存储空间取决于方程的阶数1 1、规模对计算过程的影响、规模对计算过程的影响1 1）计算时间）计算时间2 2）存储容量）存储容量3 3）计算精度）计算精度4 4）其他）其他 网格划分网格划分 模型处理模型处理 边界条件边界条件 第十九章第十九章 有限元分析系统概述有限元分析系统概述第一节第一节 有限元分析系统的发展有限元分析系统的发展2020世纪世纪8080年代前年代前 在大、中型机器上运行在大、中型机器上运行 8080年代中期以后年代中期以后 在工作站上运行

43、在工作站上运行9090年代中期以后年代中期以后 在微机上运行在微机上运行I-DEAS MS-NASTRAN ABAQUSI-DEAS MS-NASTRAN ABAQUSANSYS ANSYS 第二节第二节 有限元分析系统的主要功能有限元分析系统的主要功能1 1、前处理模块、前处理模块1 1）几何建模和模型处理）几何建模和模型处理2 2）网格划分）网格划分3 3）单元库）单元库4 4）网格处理）网格处理5 5）单元特性定义）单元特性定义6 6）边界条件定义）边界条件定义7 7）其它辅助功能）其它辅助功能2 2、计算模块、计算模块1 1）线性静力分析）线性静力分析2 2）动态分析）动态分析3 3）非线性分析）非线性分析4 4）热分析）热分析5 5）流畅分析）流畅分析6 6）电磁场分析）电磁场分析7 7）曲屈分析等）曲屈分析等3 3、后处理模块、后处理模块 打印打印 输出输出第四章第四章 杆件系统有限元杆件系统有限元第一节第一节 引引 言言杆件的定义：长度尺寸远大于截面尺度的元件杆件的定义：长度尺寸远大于截面尺度的元件杆件的分类：杆件的分类：1）直杆）直杆 曲杆曲杆 2）等截面杆）等截面杆 变截面杆变截面杆杆件结构的分类：杆件结构的分类：1）桁杆）桁杆 和其他杆件用铰连接的杆和其他杆件用铰连接的杆 内部应力为拉压应力内部应力为拉压应力 由桁