第4章 大数定律与中心极限定理

1、1第五章第五章2 在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个在数学中大家都注意到这样的现象：有时候一个有限的和很难求有限的和很难求, , 但一经取极限由有限过渡到无限但一经取极限由有限过渡到无限, , 则问题反而好办则问题反而好办. . 例如例如, , 若对某一若对某一x, ,要计算和要计算和 ，!3!21)(32nxxxxxSnn 则则当当n很很大大时时，很很难难求求)(xSn， 而一经取极限，则有而一经取极限，则有简单的结果简单的结果 .e)(limxnnxS 利利用用这这个个结结果果, ,当当n很很大大时时, ,可可以以把把 xe作作为为)(xSn的的近近似似值值. . 3在在概概率率论

2、论中中也也存存在在类类似似的的情情况况: :如如果果nXXX,21是是一一些些随随机机变变量量，则则nXXX 21的的分分布布一一般般很很复复杂杂，因因而而自自然然会会问问：能能否否利利用用极极限限的的方方法法作作近近似似计计算算？ 事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的事实证明这是可能的，而且在一般情况下和的极限分布就是极限分布就是正态分布正态分布，由此可见正态分布的重要，由此可见正态分布的重要性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理性。对和的分布收敛于正态分布的这一类极限定理的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的研究，在长达两个世纪的时期内成了概率论研究的中心课题，因此得到了

3、的中心课题，因此得到了“中心极限定理中心极限定理”的名称。的名称。本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的本章将列述这类定理中最简单，然而也是最重要的情况。情况。 4例例如如，有有一一所所上上万万名名学学生生的的大大学学，每每人人有有其其身身高高。如如果果我我们们随随机机观观察察一一个个学学生生的的身身高高， 则则与与全全校校学学生生平平均均身身高高 一一般般差差别别比比较较大大。如如果果我我们们观观察察 1 10 0 个个学学生生的的身身高高而而取取平平均均，则则它它有有更更大大的的机机会会( (概概率率) )与与 更更接接近近些些。这这些些都都是是我我们们日日常常经经验验中中所所体体验

4、验到到的的事事实实，而而大大数数定定律律则则对对这这一一点点从从理理论论的的高高度度给给予予概概括括。 在概率论中，另一类重要的极限定理是所谓在概率论中，另一类重要的极限定理是所谓“大数定律大数定律”。 在第一章中我们已经讨论了在第一章中我们已经讨论了“频率的稳定频率的稳定性性”。 大量的重复试验中，事件大量的重复试验中，事件A发生的频率接近某个常数，发生的频率接近某个常数，这个常数实际上就是事件发生的概率。这个常数实际上就是事件发生的概率。“大数大数”的意的意思，就是指试验数目是大量的。思，就是指试验数目是大量的。 51 1 切比雪夫不等式切比雪夫不等式( (切切比比雪雪夫夫不不等等式式)

5、) 设设随随机机变变量量X具具有有数数学学期期望望 )(XE, ,方方差差2)( XD, ,则则对对0 , ,有有 随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散随机变量的方差是刻画它围绕其期望值的离散程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其程度的，因此我们希望用方差来估计随机变量与其期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界。期望值之间的偏差大于某一给定正数的概率的上界。 定理定理x 22| XP67证证设设X是连续型随机变量，其概率密度为是连续型随机变量，其概率密度为f( (x) ), ,则则 | )(| XEXPxxfxxd)()(2|2 .22 xxfxd)()(122 ( (切切比比

6、雪雪夫夫不不等等式式) ) 设设随随机机变变量量X具具有有数数学学期期望望 )(XE, ,方方差差2)( XD, ,则则对对0 , ,有有 定理定理xxfxd)(| x 22| XP8上式可改写为上式可改写为221| XP 切切比雪夫不等式具体地估算了随机变量比雪夫不等式具体地估算了随机变量X取值时，取值时，以数学期望以数学期望E(X)为中心的分散程度。不难看出，方为中心的分散程度。不难看出，方差差D(X)越小，则随机变量越小，则随机变量X的取值越集中在数学期望的取值越集中在数学期望E(X)的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意的附近，由此可以进一步体会到方差的概率意义，它刻划了随机变量的分

7、散程度。义，它刻划了随机变量的分散程度。 如取如取， 3 111. 093| 22 XP22| XP9例例 已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是均是7300，均方差是，均方差是700 . 利用切比雪夫不等式估计利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在每毫升白细胞数在5200 9400之间的概率之间的概率 .设每毫升白细胞数为设每毫升白细胞数为X ，依题意，依题意，E(X) = 7300, D(X) = 7002 ，解解由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， ,7001|7300| 22 XP得得取取，2100 222100700194005200

8、 XP.98 10例例 根据过去统计资料，某产品的次品率为根据过去统计资料，某产品的次品率为p= =0.05，试试用切比雪夫不等式估计用切比雪夫不等式估计1000件产品中，次品数在件产品中，次品数在4060之间的概率之间的概率.解解 设设X表示表示1000件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则 )05. 0 , 1000( BX,5005. 01000)( npXE,5 .4795. 050)1()( pnpXD由切比雪夫不等式，由切比雪夫不等式， 6040 XP2105 .471 .525. 0 221| XP10|50| XP11 该数值是非常保守的估计，事实上，由中心极该数值是非常保守

9、的估计，事实上，由中心极限定理可知，概率约为限定理可知，概率约为 525. 06040 XP注注：.853. 01)5 .4710(2 12设随机变量设随机变量 X 和和 Y 的数学期望分别为的数学期望分别为2 和和 2, ,方差分方差分别为别为 1 和和 4, ,而相关系数为而相关系数为0.5, ,则根据切比雪夫不等式则根据切比雪夫不等式, ,有有 6| YXP 。 例例解解),(Cov2)()(YXYDXD ，31241 由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式 2)| ( DXEXXP ， ,022)( EYEXYXE)(YXD ,1)5 . 0(21),(Cov XYDYDXYX .12163

10、6| 2 YXP132 2 大数定律大数定律定定义义 设设nX是是一一随随机机变变量量序序列列，X 是是一一随随机机变变量量，如如果果对对任任意意0 ，有有 1)| lim XXPnn成成立立，则则称称nX依依概概率率收收敛敛于于 X， 记作记作.XXPn14几个常见的大数定律几个常见的大数定律定理定理1 1（切比雪夫大数定律）切比雪夫大数定律） niniiinXEnXnP110| )(11| lim 设设 X1,X2, 是相互独立的随机是相互独立的随机变量序列，它们都有有限的方差，并变量序列，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即且方差有共同的上界，即 D(Xi) C，i = 1,2,

11、 ， 则对任意的则对任意的 有有,0 或或.1| )(11| lim11 niniiinXEnXnP 依概率收敛依概率收敛15证证, )(11 niiXEn iX相相互互独独立立， niiniiXDnXnD121)(1)1(，nC 由由切切比比雪雪夫夫不不等等式式, ,对对0 , ,有有 ) | )(11| (11 niiniiXEnXnP 0，)(0 nnC 21 两边夹两边夹, ,即得结论即得结论. . )1(1 niiXnE niniiinXEnXnP110| )(11| lim 22| XP16特特别别地地，当当随随机机变变量量序序列列iX两两两两独独立立( (或或两两两两不不相相关关

12、) ), ,且且有有相相同同的的有有限限期期望望和和方方差差时时( (记记为为 iEX, ,2)( iXD, , 2 , 1 i) ), ,则则对对0 , ,有有 .1 |1| lim1 niinXnP解释：解释：取值接近于其数学期望的概率接近于取值接近于其数学期望的概率接近于1.niiXn11当当n充分大时，充分大时，差不多不再是随机的了差不多不再是随机的了, niniiinXEnXnP111| )(11| lim 17定理定理2 2（伯（伯努努利利大数定律大数定律）1| lim pnnPAn或或.0| lim pnnPAn下面给出的伯努利大数定律，是定理下面给出的伯努利大数定律，是定理1的

13、一种特例。的一种特例。 设设nA是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生发生的次数，的次数，p是事件是事件A发生的概率，则对任发生的概率，则对任给的给的 ,有有0 18 否则否则发生发生次试验次试验如第如第， 01AiXi引入引入i =1,2,n则则 ,1 niiAXn1| lim pnnPAn而而 ,)(pXEi 由由切比雪夫大数定律，切比雪夫大数定律，对对0 , ,有有 1| lim pnnPAn.1 |1| lim1 niinXnP19 niiAXnnn11是事件是事件A发生的频率，发生的频率，伯努里大数定律表明，当重复试验次数伯努里大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，充分大

14、时，事件事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差有较大偏差的概率很小。的概率很小。这就是这就是频率稳定性频率稳定性的理论解释。的理论解释。 历史上，历史上，伯伯努利第一个研究了这种类型的极限定理，努利第一个研究了这种类型的极限定理，在在1713年发表的论文中年发表的论文中(这是概率论的第一篇论文这是概率论的第一篇论文!),他建立了以上定理。所以有人认为，概率论的真正他建立了以上定理。所以有人认为，概率论的真正历史应从出现历史应从出现伯伯努利大数定律的时刻算起。努利大数定律的时刻算起。 1| lim pnnPAn20下面给出的独立同分布下的大数定律，下面给出的独立

15、同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在。不要求随机变量的方差存在。 设随机变量序列设随机变量序列X1,X2, 独立同分布，独立同分布，具有有限的数学期望具有有限的数学期望 E(Xi) =, i=1,2,，定理定理3 3（辛钦大数定律辛钦大数定律）.1|1| lim1 niinXnP辛钦辛钦则则对对0 , ,有有 辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径实际可行的途径.21 例如要估计某地区的平均亩产量，要收割例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如某些有代表性的地块，例如n 块块. 计算其平均亩计算其平均亩

16、产量，则当产量，则当n 较大时，可用它作为整个地区平均较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计亩产量的一个估计.22例例解解设设nXXX,21是是各各次次掷掷出出的的点点数数， 随随机机变变量量nXXX,21显显然然独独立立同同分分布布： ), 2 , 16 , 2 , 1( 61nikkXPi ；其共同的数学期望为其共同的数学期望为 ), 2 , 1( 27)621(61niEXi 因因此此，根根据据辛辛钦钦大大数数定定律律，nX依依概概率率收收敛敛于于 7/2 将一枚均匀对称的骰子重复掷将一枚均匀对称的骰子重复掷n次，则当次，则当n 时，时，求求n次掷出点数的算术平均值依概率收敛的极

17、限次掷出点数的算术平均值依概率收敛的极限 233 3 中心极限定理中心极限定理 中心极限定理从理论上证明，对于大量的独立随中心极限定理从理论上证明，对于大量的独立随机变量来说，只要每个随机变量在总和中所占比重机变量来说，只要每个随机变量在总和中所占比重很小，那么不论其中各个随机变量的分布函数是什很小，那么不论其中各个随机变量的分布函数是什么形状，也不论它们是已知还是未知，而它们的和么形状，也不论它们是已知还是未知，而它们的和的分布函数必然和正态分布函数很近似。这就是为的分布函数必然和正态分布函数很近似。这就是为什么实际中遇到的随机变量很多都服从正态分布的什么实际中遇到的随机变量很多都服从正态分

18、布的原因，也正因如此，正态分布在概率论和数理统计原因，也正因如此，正态分布在概率论和数理统计中占有极其重要的地位。中占有极其重要的地位。 下面介绍下面介绍两两个常用的中心极限定理。个常用的中心极限定理。 24 由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我，故我们不直接研究们不直接研究n个随机变量之和，本身而考虑它个随机变量之和，本身而考虑它的的标准化标准化的随机变量的随机变量 nkknknkkknXDXEXY111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限.25列维一林德伯格中心极限定理列维一林德伯格中心极限定理设设随随机机变变量量,21nXXX相相互互独独立立, ,服服从

19、从同同一一分分布布, ,且且有有 )(iXE, ,0)(2 iXD), 2 , 1( i, ,则则随随机机变变量量之之和和 niiX1的的标标准准化化变变量量 )()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1的的分分布布函函数数)(xFn, ,对对Rx , ,一一致致地地有有 2627)()(111 niiniiniinXDXEXYnnXnii 1)(limxFnn )(lim1xnnXPniin . )(de212 2xttx 的的分分布布函函数数)(xFn, ,对对Rx , ,一一致致地地有有 （证略）（证略） 28)(lim1xnnXPniin )(de212 2xttx

20、 此定理说明此定理说明, ,当当n充分充分大大时时, ,有有 nnXnii 1近似地近似地, )1, 0(N或或 niiX1，),(2 nnN近似地近似地29例例 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的机的, ,假设每箱的平均重假设每箱的平均重50千克千克, ,标准差标准差5千克千克. 若用若用最大载重量为最大载重量为5吨的汽车承运吨的汽车承运, ,试利用中心极限定理试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱说明每辆车最多可以装多少箱, ,才能才能保证保证不超载的概不超载的概率大于率大于 0.977.解解设设iX为为第第i箱箱的的重重量量(

21、(ni, 1 ) ), , ,50)( iXE.5)(2 iXD由由题题意意, ,iX( (ni, 1 ) )相相互互独独立立, ,且且 由列维由列维- -林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理, ,有有 总重量总重量， niinXY1，)25,50(nnNnY近似地近似地305000 nYP nn5505000977. 0 ，)2( 所以所以n必须满足必须满足，2101000 nn，0199.98 n即最多可以装即最多可以装98箱箱. . ，)25,50(nnNnY近似地近似地31例例 将将n个观测数据相加时，首先对小数部分按个观测数据相加时，首先对小数部分按“四舍五四舍五入入”舍去小数位

22、后化为整数试利用中心极限定理估计，舍去小数位后化为整数试利用中心极限定理估计， 解解(1) 当当n = 1500时时, 舍入误差之和的绝对值大于舍入误差之和的绝对值大于15的概率；的概率； (2) n满足何条件时，能以不小于满足何条件时，能以不小于0.90的概率使舍入误差的概率使舍入误差 之和的绝对值小于之和的绝对值小于10 设设), 2 , 1(niXi 是是第第 i 个个数数据据的的舍舍入入误误差差； 由条件可以认为由条件可以认为), 2 , 1(niXi 独立且都在区间独立且都在区间5 . 0 5 . 0， 上服从均匀分布上服从均匀分布, 从从而而12/10 iiDXEX， 记记nnXX

23、XS 21为为 n个个数数据据的的舍舍入入误误差差之之和和， 根据列维根据列维-林德伯格中心极限定理，当林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时充分大时 nS近似地近似地, )12, 0(nN32(1) 15| 1500 SP 12/15001512/1500|1500SP 1802. 0)34. 1(1 2 nS近似地近似地, )12, 0(nN)1, 0( NX| aXP | 1aXP )()(1aa 1)(21 a)(1 2a 33(2) 数据个数数据个数 n 应满足条件：应满足条件： , 90. 012/1012/|10| nnSPSPnn, 90. 01)12/10(2 n即即, 95

24、. 0)12/10( n, 645. 112/10 n, 5 .443 n即当即当 时，才能使误差之和的绝对值小于时，才能使误差之和的绝对值小于10的的概率不小于概率不小于0.90 443 nnS近似地近似地, )12, 0(nN34下面给出上述定理的一个重要特例。下面给出上述定理的一个重要特例。 35棣莫弗棣莫弗- -拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理设设n 是是n次次伯伯努努利利试试验验中中成成功功的的次次数数, ,在在每每次次试试验验中中成成功功的的概概率率为为) 10( pp, ,则则对对Rx , ,一一致致地地有有 )1(limxpnpnpPnn . )(de2122xttx

25、证证，次试验不成功次试验不成功第第次试验成功次试验成功第第记记 ,0 ,1 iiXi, 2 , 1ni ,21 nnXXX 则则, ), 1( pBXi而而,)(pXEi , )1 ()(ppXDi 由列维一林德伯格定理可知，由列维一林德伯格定理可知， 对对Rx , ,一一致致地地有有 3637)1(limxpnpnpPnn ,21 nnXXX 则则, ), 1( pBXi而而,)(pXEi , )1 ()(ppXDi 由列维一林德伯格定理可知，由列维一林德伯格定理可知， 对对Rx , ,一一致致地地有有 . )(de2122xttx 38)1(limxpnpnpPnn )(de212 2xt

26、tx 该该定定理理表表明明, ,当当 n时时, ,二二项项分分布布以以正正态态分分布布为为极极限限分分布布. . 实实际际应应用用中中, ,若若随随机机变变量量),(pnBX, ,只只要要n充充分分大大, ,即即有有 ，),(npqnpNX近似地近似地或或npqnpX ，)1 , 0(N近似地近似地即有近似计算公式即有近似计算公式 )()(npqnpanpqnpbbXaP 39例例 设在某保险公司有设在某保险公司有1万万个人参加投保个人参加投保，每人每年付每人每年付120元保险费元保险费。在一年内一个人死亡的概率为在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得死亡时其家属可

27、向保险公司领得1万万元元，问问：(1) 该保该保险公司亏本的概率为多少险公司亏本的概率为多少? (2) 该保险公司一年的利润该保险公司一年的利润不少于不少于40, 60, 80万元的概率各是多少万元的概率各是多少? 解解 设一年内死亡的人数为设一年内死亡的人数为X, ,则则 , )006. 0 ,10000( BX由由D- -L中心极限定理中心极限定理, , 120000010000)1( XP)64.5960120(1 )77. 7(1 ,0 120 XP即即该保险公司亏本的概率该保险公司亏本的概率几乎几乎为为 0。, )9.645 ,60( NX 40400000100001200000)

28、2( XP80 XP)64.596080( )589. 2( ,995. 0 600000100001200000 XP60 XP)64.596060( )0( ,5 . 0 800000100001200000 XP40 XP)64.596040( )589. 2(1 .005. 0 , )9.645 ,60( NX 41例例 (供电问题供电问题) 某车间有某车间有200台车床，在生产期间由台车床，在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换零件等常于需要检修、调换刀具、变换位置及调换零件等常需停车。设开工率为需停车。设开工率为0.6，并设每台车床的工作是独，并设每台车床的工作是独立的，

29、且在开工时需电力立的，且在开工时需电力1千瓦千瓦。问应供应多少瓦问应供应多少瓦电力就能以电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产足而影响生产?解解 某一时刻开动的车床数某一时刻开动的车床数 , )6 . 0 ,200( BX要求最小的要求最小的 k, 使使 .999. 00 kXP由由D- -L定理定理, , ，)48,120( NX ,1206 . 0200)( npXE,484 . 0120)1()( pnpXD42,999. 0 查表得查表得 ，1 . 348120 k)48120( k.5 .141 k所以若供电所以若供电141.5千瓦，

30、那么由于供电不足而影响生千瓦，那么由于供电不足而影响生产的可能性不到产的可能性不到0.001，相当于，相当于8小时内约有半分钟小时内约有半分钟受影响，这一般是允许的。受影响，这一般是允许的。 )481200()48120(0 kkXP由由D- -L定理定理, , ，)48,120( NX 43练习：练习：P96 习题四习题四 1. 2. 3. 44End45补充题：补充题：1. 某电教中心有彩电某电教中心有彩电 100 台，若彩电的故障率为台，若彩电的故障率为 0.02,试利用中心极限定理， 求至少有一台彩电出故障的概率。试利用中心极限定理， 求至少有一台彩电出故障的概率。（用（用)(x 表示

31、）表示） 2. 在在一一次次试试验验中中事事件件A出出现现的的概概率率为为 0.4，应应至至少少进进行行多多少少次次试试验验，才才能能使使事事件件A出出现现的的频频率率与与概概率率之之差差在在1 . 0 之之间间的的概概率率不不低低于于 0.9 ？ 3.某射手打靶某射手打靶,得得10分、分、9分、分、8分、分、7分、分、6分的概率分分的概率分别为别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 现独立射击现独立射击100次次,求总分在求总分在900分与分与930分之间的概率分之间的概率 .46解解)1( XP. )7143. 0( 由中心极限定理知由中心极限定理知, ,) 96. 1 , 2(

32、 NX )1(1 XP)96. 121(1 1. 某电教中心有彩电某电教中心有彩电 100 台，若彩电的故障率为台，若彩电的故障率为 0.02,试利用中心极限定理， 求至少有一台彩电出故障的概率。试利用中心极限定理， 求至少有一台彩电出故障的概率。（用（用)(x 表示）表示） 设设 X 为为100台彩电中出故障的台数，台彩电中出故障的台数，则则, )02. 0 , 100( BX47解解 由中心极限定理知由中心极限定理知, , ) ,(npqnpNn )1 . 0| ( pnPn )1 . 0| (pqnnpqnpPn 1)1 . 0(2 pqn95. 0)1 . 0( pqn65. 11 .

33、 0 pqn9 . 0 .66 n2. 在在一一次次试试验验中中事事件件A出出现现的的概概率率为为 0.4，应应至至少少进进行行多多少少次次试试验验，才才能能使使事事件件A出出现现的的频频率率与与概概率率之之差差在在1 . 0 之之间间的的概概率率不不低低于于 0.9 ？ 48解解设设第第i次次射射击击得得分分为为iX, ,则则iX的的分分布布律律为为 iXP67891005. 005. 01 . 03 . 05 . 0,15. 9)( iXE.227. 1)( iXD由中心极限定理，由中心极限定理， 930900 1001 iiXP1)354. 1(2 08.11157 .12210008.

34、1115 iXP19115. 02 3.某射手打靶某射手打靶,得得10分、分、9分、分、8分、分、7分、分、6分的概率分分的概率分别为别为0.5,0.3,0.1,0.05,0.05. 现独立射击现独立射击100次次,求总分在求总分在900分与分与930分之间的概率分之间的概率 .)22.71 ,915( 1001NXii .823. 0 49习题课习题课501、将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷10000次，出现正面次，出现正面5800次，是否次，是否有理由认为这枚硬币不均匀有理由认为这枚硬币不均匀? 解解: 设设X为为10000次试验中出现正面的次数，次试验中出现正面的次数，若硬币是均匀的若硬币是

35、均匀的, 则则 XB(10000, 0.5),505000)1 ( XpnpnpX由由D-LD-L定理定理, , 5800 XP,5000 np,2500 npq近似地近似地，)1 , 0(N)5050005800(1 )16(1 ，0 此概率接近于此概率接近于0，故认为这枚硬币不均匀是合理的，故认为这枚硬币不均匀是合理的 .512、假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布假设生产线组装每件成品的时间服从指数分布,统计资料表明每件成品的组装时间平均为统计资料表明每件成品的组装时间平均为10分钟分钟.设各件产品的组装时间相互独立设各件产品的组装时间相互独立. (1)试求组装试求组装100件成品需

36、要件成品需要15到到20小时的概率；小时的概率； (2)以以95%的概率在的概率在16小时内最多可以组装多少件成品小时内最多可以组装多少件成品? 解解 设第设第i件组装的时间为件组装的时间为Xi分钟分钟,i=1,100. 利用独立同分布中心极限定理利用独立同分布中心极限定理. (1),10)( iXE,10)(2 iXD,100, 2 , 1 i12009001001 iiXP10100101001200101001010010100101009002210012 iiXP5210100101001200101001010010100101009002210012 iiXP)1()2( .81

37、85. 0 (2)(2)100109601001095. 01nnnnXPnii ，)10010960(nn 查表得查表得 ,645. 110010960 nn解得解得,18.81 n故故最多可组装最多可组装81件成品件成品。 53 诸诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大独立同分布，且期望存在，故能使用大数数定律定律, , 解解,9 . 01 . 001 kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有10个编号为个编号为0-9的同样的球的同样的球, 从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码号码.3.问对序列问

38、对序列Xk,能否应用大数定律？能否应用大数定律？，否则否则次取到号码次取到号码第第 001kXk(1)(1)设设k = 1,2, 即即对对Rx , ,一一致致地地有有 .1|1 . 01|lim1 nkknXnP 54(2) 至少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使“0”出现的频率出现的频率在在0.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?设应取球设应取球n次，次，0出现频率为出现频率为， nkkXn11,1 . 0)1(1 nkkXnE，nXnDnkk09. 0)1(1 由中心极限由中心极限定理定理, ,nnXnkk3 . 01 . 01 nXnnkk3 . 01 . 01

39、1 解解近似地近似地，)1 , 0(N5511. 0109. 01 nkkXnP01. 0|1 . 01|1 nkkXnP30|3 . 01 . 01|1nnXnPnkk 1)30(2 nnnXnkk3 . 01 . 01 nXnnkk3 . 01 . 011 近似地近似地，)1 , 0(N，95. 0 ，975. 0)30( n，96. 130 n查表得查表得.3458 n56(3) 用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100次抽取中次抽取中, 数码数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率之间的概率.在在100次抽取中次抽取中, 数码数码“0”出现次数为出现次数为， 1001k

40、kX由中心极限定理由中心极限定理, 100110011001)()(kkkkkkXDXEX3101001 kkX即即E(Xk)=0.1, D(Xk)=0.09,解解近似地近似地，)1 , 0(N近似地近似地，)1 , 0(N57即在即在100次抽取中，数码次抽取中，数码“0”出现次数在出现次数在7和和13之间的概率为之间的概率为0.6826. 1001137kkXP131011001 kkXP1)1(2 3101001 kkX近似地近似地，)1 , 0(N.6826. 0 58END59习题选解习题选解60解解(1) 由由题题设设知知，)2 . 0100(，BX，即即 X 的的分分布布为为 8. 某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗户占户占20%，设，设X表示在随机抽查的表示在随机抽查的100个索赔户中因被个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数。盗向保险公司索赔的户数。（1