与代数相关的分类讨论问题

1、与代数相关的分类讨论问题一、考点聚焦分类讨论涉及全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。 (1).实数的分类。(2).绝对值、算术根(3).各类函数的自变量取值范围(4).函数的增减性： (5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。(6).三角形的分类、四边形的分类二、热点分析热点1：与数与式有关的分类讨论【例1】化简：x-1 热点2：与方程有关的分类讨论【例2】解方程：（a-2）x=b-1 分析：对于方程ax=b，一般要对字母a

2、,b进行分类讨论 当a0时方程有惟一解x=;当a=0,b=0时，方程有无数个解； 当a=0,b0时，方程无解试解关于x的方程热点3：与函数及图象有关的分类讨论【例3】 设一次函数的图象不经过第一象限，求a的取值范围。 解：由题意得：（1） 当，即时，一次函数变形为，其图象只经过第二、四象限。（2） 当且，即时，一次函数的图象只经过第二、三、四象限。综上所述，a的取值范围是。注：当时，函数变形为，虽然它的图象不经过第一象限，但它不是一次函数，所以不合题意。【例4】比较一次函数与二次函数的函数值y1与y2的大小。解：根据题意，联立方程组，得 解这个方程组，得，一次函数与二次函数的图象的交点坐标为（

3、0，0）和（4，8）。 在同一直角坐标系中画出一次函数与二次函 数的图象，如右图所示。 o 4 x（1）当或时，； （2）当时，； （3）当时，；（4）当时，。综上所述，当时，；当时，；当时，。小结：函数图象的位置与函数值的大小有密切的关系，在同一平面直角坐标系中，函数图象位于上方，对应点的纵坐标较大，对应的函数值也较大。因此，分类的关键是正确地确定两个函数图象的交点坐标。图9【例5】（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为M(1,-4).（1）求出图象与轴的交点A,B的坐标； （2）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新

4、的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.【变式】就的取值范围，讨论.直线与此图象有公共点的个数【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，所以 令解之得.A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）(2) 在二次函数的图象上存在点P，使设则，又,图1二次函数的最小值为-4，.当时，.故P点坐标为（-2，5）或（4，5）7分（3）如图1，当直线经过A点时，可得8分 当直线经过B点时，可得由图可知符合题意的的取值范围为三、重点巩固1.一等腰三角形的两边长分别为5和10，则此等腰三角形的周长为A.20或25 B.20 C.25 D.以上都不对2.设a、b为实数，

5、则下列四个命题中正确的有_个.若a+b=0，则|a|=|b| 若|a|+|b|=0，则a=b=0 若a2+b2=0，则a=b=0 若|a+b|=0，则a=b=0A.1 B.2 C.3 D.43.直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点，点C在x轴上，且ABC为等腰三角形，则满足条件的点C最多有_个.A.4 B.3 C.2 D.14.O中，AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是A.42° B.138° C.84° D.42°或138° 二、填空题6.已知|x|=3，|y|=2，且x·y<0，则x+y的值等于_.7. 若(x2

6、x1)1，则x_8.已知两圆的半径分别是5 cm和6 cm，且两圆相切，则圆心距是_.9.已知O的直径为14 cm，弦AB=10 cm，点P为AB上一点，OP=5 cm，则AP的长为_ cm.10.用16 cm长的铁丝弯成一个矩形，用18 cm长的铁丝弯成一个有一条边长为5 cm的等腰三角形，如果矩形的面积与等腰三角形的面积相等，则矩形的边长为_.三、解答题11. 一次函数y=kx+b，当3xl时，对应的y值为ly9， 求kb的值12.某水果品公司急需汽车，但又无力购买.公司经理想租一辆，一出租公司的出租条件为：每百千米租费110元；一个体出租司机的条件为：每月租800元工资，另外每百千米付1

7、0元油费.那么该水果品公司租哪家合算？13. .抛物线经过点A (1，0) 求b的值； 设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内的点如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长14.在一次国际象棋比赛中，每个选手都要与其他选手比赛一局.评分规则是：每局赢者记2分，输者记0分，如果平局，每个选手每人各记1分.现在恰好有四个同学统计了比赛中全部选手得分总和，他们的结果分别是：1 979、1 980、1 984、1 985，经核实确定有一位同学统计无误.通过以上数据，你能计算出这次比赛中共有多少名选手参加吗？请试试看！【备课资源】1、某公司销售一

8、种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w内（元）（利润 = 销售额成本广告费）若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10a40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x2 元的附加费，设月利润为w外（元）（利润 = 销售额成本附加费）（1）当x = 1000时，y = 元/件，w内

9、0;= 元；（2）分别求出w内，w外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？参考公式：抛物线的顶点坐标是2、在直角坐标系中，二次函数的图像经过点和点（1）求这条二次函数的函数关系式（3分）（2）如图，在边长一定的矩形中，点在轴右侧沿抛物线滑动，在滑动过程中轴，在的下方当点在轴上时，落在轴上求边的长（2分）当矩形在滑动过程中被轴分成两部分的面积比为，求点的坐标（5分）xy

10、O（A）CDB【答案详解】1答案：C提示：腰可能是5，也可能为10，但又要考虑三角形的构成条件.2答案：C提示：根据绝对值的性质.3答案：A提示：分四种情况.如下图.4答案：D提示：弦所对的圆周角有两种情况二、填空题6答案：1或-1提示：|x|=3，|y|=2，所以x=±3，y=±2,再由x·y<0确定x+y.7答案：-5提示：的值为零时，分子为0，所以x=±5，但分母不能为0.8答案：11 cm或1 cm提示：两圆相切，包括外切和内切.9答案：4或6提示：点P为AB上一点，P可能靠近A，也可能靠近B.10答案：3，5或2，6提示：若以5 cm的边

11、为底边时，则等腰三角形的面积为15 cm2.若以5 cm的边为腰时，则等腰三角形的面积为12 cm2.设矩形的一边长为x cm，则另一边为(8-x) cm,根据题意，得x(8-x)=15或x(8-x)=12，解方程x(8-x)=15，得x1=3，x2=5.解方程x(8-x)=12，得x3=2，x4=6.当矩形面积为15 cm2时，一边为3 cm，另一边为5 cm；当矩形面积为12 cm2时，一边为2 cm，另一边为6 cm.11解：6或1412答案：（1）当行驶里程为8百千米时，两家公司一样合算;（2）当行驶里程大于8百千米时，个体公司合算;（3）当行驶里程小于8百千米时，出租公司合算.提示：

12、根据题意，列出两家公司的费用与行驶里程之间的函数关系式，然后再根据不等关系比较两家公司的费用大小.13答案： b=0 PQ=4或PQ=214答案：有45名选手.提示：设有n名选手，则得分总数必为偶数.2·=1 984无整数解.由2·=1 980,解得n1=45，n2=-44（舍去）.【备课资源详解】1、解：（1）140 57500；（2）w内 = x（y -20）- 62500 = x2130 x，w外 = x2（150）x（3）当x = = 6500时，w内最大；分由题意得 ， 解得a1 = 30，a2 = 270（不合题意，舍去）所以 a = 30 （4）当x  = 5000时，w内 = 337500， w外 =若w内 w外，则a32.5；若w内 = w外，则a = 32.5；若w内 w外，则a32.5所以，当10