西安邮电大学矩阵论期末真题试题4

1、西安邮电大学研究生课程考试试题第9页共5页西安邮电大学研究生课程考试试题(一 学年第一学期)课程名称矩阵论B卷专业年级考试时间(分钟)120分钟一、计算题1设4维线性空间V的两组基()：e1,e2,e3, 34和()：1(2,1, 1,1), 2(0,3,1,0), 3(5,3,2,1), 4(6,6,1,3)求(1)由基()到基()的过渡矩阵C(2)元素(X1, X2, X3 ,x4)在基()下的坐标(10分)2已知R3的线性变换T(X1,X2,X3)(0, X1,X2),求T2的值域与核的基与维数(10分)1 i3 已知A i 0i 1i1，求 |A|m1,Mlm ,Mf,|A1,M2,|

2、A0（12 分）4 已知A031042,求A的QR分解.（12分）2125 应用Gerschgori n定理FB离A0 111 3 1的特征值，并根据实矩阵特征值的性质改1 1 10进所得出的结果.(12分)12 211 111 ,求 A2 112（12 分）、证明题1已知忖m是Cnn上的矩阵范数,S是n阶可逆矩阵，对于任意A Cnn,规定IIA |s 1AS|m,证明I?是Cnn上的一种矩阵范数。(12分)2设A,B都是正定矩阵，证明AB的特征值都大于零.（12分）3设 A Cmn,证明 A O AHA O.（8 分）西安邮电大学研究生课程考试试题标准答案及评分标准（ 一学年第一学期）课程名

3、称矩阵论B卷专业年级考试时间（分钟）120分钟、计算题1 (1)1 2e1e2 e3 e4，2 3e2 备,5e13e22e3 e4, 4 6e16e2 e3 3e4(3分)于是由基（）到基（）的过渡矩阵为C2111031053216613(2分)(2分)（2）元素（X1, X2, X3,X4）在基（）下的坐标为(3分)元素（X1, X2,X3,X4）在基（）下的坐标为2 解：由 T (xi,x2,x3) T (T (x1 , x2, X3 ) T(0,Xi,X2)(0,0, Xi)(2分)可得 R(T2)(0,0,x)x RN(T2)(0,X2,X3)X2,X3 R(4分)因此，dim R(

4、T2)1, R（T2）的一个基为(0,0,1)(2分)_ 2 dim N(T2)2, N（T2）的一个基为(0,1,0),(0,0,1)(2分)3解:AAH32i2i2i212i12AAH2(1)( 2 61)(4分)Am1AmAf(4分)A14解:C10,S1,3 22(4分)(2分)(3分)T13Ac245,s2(2分)0453502545T23T13A（3分）故A QR（T13TT23T）R34450J 535 0（2分）5解：A的3个盖尔圆为:Gi：2,G2：3 2, G3 :10 2（3分）5. 一选取 D diag（1,1,），则 B21DAD 1B的3个盖尔圆为：Gi :5,巳:

5、2525，10（2分）而G1 ,G2,G3都是孤立盖尔圆，因此在盖尔圆因为A为实矩阵,在区间:1.4,1.4 ,6 解：A FGA GH（GGH ）二、证明题1 证：（1）|o|-,G3 :5若A有复特征值则必共腕出现，因此1.6,4.4 , 8,1210 5（3分）G3中各有A的一个特征值（1分）A的三个特征值都为实数，分别中各有A的一个特征值（3分）21 010 111（FHF） 1FHS1OS kA S1（kA）S1224774（6分）11117447（6分）时，S 1AS O 得 IIAI I S 1ASI0 （3 分）（3分） 1A B| 1s 1(A B)S| m 11s 1Asi

6、m |S 1BS(3分)(4) |AB| |S 1(AB)SSASEBS' S1ASmS1BSm(3分)A|是Cnn上的矩阵范数2证:A是正定矩阵则存在酉矩阵U使得U H AU diag （A Udiag( 1, 2, n)U HUdiag(.,.n) diag(. 1 ,. 2, , n) U HPHP这里diag( 1,. 2,(3分)同理,B Vdiag( 1, 2,n)VHVdiag( 1, . 2, . n)diag(.,.n)VHQHQ这里QH diag( 1, 2, . n) V(3分)因此AB PH PQHQ Q 1(PQH )H(PQH)Q ,表明 AB 与(PQH )H (PQ H )相似(3分)而（PQH ）H（PQH ）为正定矩阵，故AB的特征值都大于零3证：:设A:显然(a