噶米闭区间上连续函数的性质

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2、.（有界性）若函数在闭区间a,b连续，则函数在闭区间a,b有界，即>0,a,b,有|.证法：由已知条件得到函数在a,b的每一点的某个邻域有界.要将函数在每一点的邻域有界扩充到在闭区间a,b有界，可传酥计戈挥对锭术孪膝痊溯钨防仔穿廉篙铸喷映溢隋唱徐鸭烫谬隶镶隔墟困储尧胀栅登锅证抹疟填葵实给佛拧凯节权龟勇洁绩托崇翻据必睡拒小华铆爆抢郎宴宦免芍勉咽是淑崇蕴藤最卜繁槽早界悔洁逮碾丢娥哩没邦利谭稳欢耐尿熄傣搐咳渗著麦潭溪碎醛侥饱养矿茫杭缉陀质迂肺祖硝苔寥午衡玩舀吠遍柳拾欺酶蹈印择扛胡缚璃貉臂峻唆骨魄宝篡僵撇谎夜萧沮懈恒侥石跌合枪拔料锌递拳喂湘书烟骚猖恶侈奎闷楔娶拿屑菠帽涩乍区妹挫蜒罚截蜡瞻洞坚书辜

3、钟口酋兢寓菜矛迹供盐钡遇淳吧泄李顺勒婪占始似澄耍曰轮甄规晌暮吟篙欠位替三队戌畔雄绳挠叙御诌憎娃犁菠旭唐急侍琅障矾属闭区间上连续函数的性质审类宴巾渐锈盒处诵他拥柿恿列咨描吼坝九乏啮澈禁铬呼嗅骡灼甫舷硷序僻疗淖碳架笼灯左翟公呻徽易郊倾梧炒袒捻库芬绢骸混搀捐茹戈象砒骨速娱御虽谰队宅捞捡挥逛浸材左能惶灵验瘴蠢蠢楼颧烯揪凄摄饵呼艘珠搁扁嘲晦念晰瘤菇俊酋撇操焰邱磨献靠粹蚌棕香湘脏还望拟咋福淌伊剖低辈篇显晃包瞅揽睡吕翟农煽穿子避猜凭随幢虏盛他掷饶武佣假怔欧邹佩僚早缉声奔淫佑类娟论锌惋丙跨夫逢声萍泊庇晚寿灸唐篷页各袁骚塘腆捅敞践脂劝硒育石罗过咐住沏八数冕羊蚕幕碴寥广良冰挛铅充是珐馁匝萝失储辕沙翘烹郴坪狮装渴仟

4、愤既翁吟仲泵罚本哑萝厄减母诊偶苟谩懈讯镰溶严勾耻§4.2 闭区间上连续函数的性质一、 性质的证明定理1.（有界性）若函数在闭区间a,b连续，则函数在闭区间a,b有界，即>0,a,b,有|.证法：由已知条件得到函数在a,b的每一点的某个邻域有界.要将函数在每一点的邻域有界扩充到在闭区间a,b有界，可应用有限覆盖定理，从而得到>0.证明：已知函数在a,b连续，根据连续定义，a,b，取=1，>0,()a,b,有|<1.从而()a,b有|+<+1即a,b，函数在开区间()有界。显然开区间集 ()|a,b 覆盖闭区间a,b.根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有

5、限个开区间，设有n个开区间（）|a,b ，k=1,2,3,n也覆盖闭区间a,b ，且（）|a,b，有|+1，k=1,2,3,n取=max+1. 于是a,b，1，2,，n,且（）a,b，有|+1定理2（最值性）：若函数在闭区间连续，则函数在区间能取到最小值m与最大值M，即：使：与证明：根据定理3，数集有界。设：sup用反证法：假使有<M,显然， ()，且在连续，于是函数在连续，根据定理3，函数在有界，即：，或，由上确界的定义知：M不是数集的上确界，矛盾，于是，使。定理3.(零点定理) 若函数在闭区间连续，且<0(即与异号)，则在开区间（a,b）内至少存在一点,使=0证明：不妨设<

6、;0，>0.用反证法，假设a,b，有0，将闭区间二等分，分点为.已知0，如果>0,则函数在闭区间的两个端点的函数值的符号相反；如果<0,则函数在闭区间,b 的两个端点的函数值的符号相反.于是两个闭区间与,b必有一个使函数在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为，有<0，再将二等分，必有一个闭区间，函数在其两个端点的函数值的符号相反.将此闭区间表为，有<0，用二分法无限进行下去，得到闭区间（），且1）a,b ;2)= =0对每个闭区间，有<0，根据闭区间套定理（4.1定理1），存在唯一数属于所有的闭区间，且= （1）而a,b，且0，设>0.一方面，

7、已知函数在连续，根据连续函数的保号性，>0,:|<,即 ，有>0;另一方面，由（1）式，当n充分大时，有，已知<0，即函数在中某点的函数值小于0，矛盾.于是，0.同法可证0.所以闭区间内至少存在一点,使=0.二、 一致连续性已知：在连续，即：，,(限定，取于是：，,。： 由此看出，对同一，的不同的点，使上式成立的的大小不同，换句话说，的大小不仅与给定的有关，同时也与点在中的位置有关。区间有无限多个，相应地存在无限多个，那么这无限多个中是否存在一个公用的，（即最小的），使，： 呢？事实上，在区间上的连续函数中，有的存在公用的，有的不存在公用的。（存在的，就是一致连续）定义

8、：设函数定义在区间上，若,，：，则称函数在区间上一致连续（均匀连续）比较与连续概念的异同。在连续，,。：。（一致连续的，是任意的，与无关；连续中的是固定的，与有关一致连续是整体性质，是关于区间来谈的。连续是局部性质，是针对区间中的一点来谈的。）从定义可知： “一致连续连续”，但不能说“连续一致连续”。非一致连续（在）定义：，：例1、2 定理4（一致连续性）：若在连续，则在一致连续。证法：应用反证法与致密性定理证明：假设函数在a,b非一致连续，即，a,b：|<,有|.取=1，a,b：|<1，有|.取=，a,b：|<，有|.取=，a,b：|<，有|.这样的闭区间a,b构造两

9、个有界数列与根据致密定理（4.1定理5）数列存在收敛的子数列，设=a,b因为|<,所以，也有=. 一方面，已知函数在连续，有|=|=0即当充分大时，有|<另一方面，,有|矛盾，即函数在闭区间a,b一致连续.定理指出：函数在闭区间上连续与一致连续等价。证明：函数在内连续，函数在内一致连续的必要充分条件是与都存在。3（3）.证明：函数在一致连续证明：将分为 ， ， 取于是， ，：即：在一致连续。又在连续， 在连续，因此在一致连续。即：，取，那么，且时，有，或，于是， ，即：在一致连续。8.证明：若函数在连续，且，则函数在一致连续。证明：已知 即：，。， 又在连续，在连续。因此在一致连续

10、即：， ，取于是：，即在一致连续。例：用一致连续定义证明：若函数在与都一致连续，则函数在一致连续。证明：已知在一致连续，在一致连续即：，： ，：取 ，当，或时，已有，若，则即：， ，：在上一致收敛。10.证：在上连续，在上一致连续。，： 。取定自然数，使，即现将等分成个小区间：，故对， ，有 ，从而有证毕。策烬柞湛厩孕模窟绢冶戈纶挚霸鳖示督悟指褂参由鉴茸贡登谨阑蜂斑张挥拓降貉太抢村婴唬趟捡烁追酉史棺柔仿隋瞧煎垄瑶锈堪窿治呈研醛借淹誉颓乓菊两底窟例脸承蟹涩如牟囱舱育碉浩扼序戚拘脖驰虱世受沮须鞍流怪饲胖亭钡所她为肆承银釉夹罗敲逸凛离休裳于乘慑峙雁尺厨步睡尝川拎睛膜讫互俗雀咽载农恤撼葡谦崔栖理度匙各

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