空间立体几何讲义全

1、一、基本概念1 .空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示.2 .向量的模：向量的大小叫向量的长度或模.记为 闲，a特别地：规定长度为0的向量为零向量，记作 0 ；模为i的向量叫做单位向量；13 .相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量.4 .负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量.如a的相反向量记为-a.5 .共线与共面向量(1)共线向量：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a / / b.(2)共面向量：平行于同一平面的向量叫做共面向量.(3)定理共线向量定理：对于空间任

2、意两个向量 Lb(b 0),ab的充要条件是存在实数，使得a b.共面向量定理：如果两个向量 a b不共线，则向量7与向量2、b共面的充要条件是存在唯一的有序史书对(x, y),使得p xa yb.6 .注意：零向量的方向是任意的，规定 0与任何向量平行；单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为1 ；方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量；空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量；一般来说，向量不能比较大小.林拈向更t平行间里)表示空Tfi同量的口应网所在的白叱丘邕屿一兴£向邕平行于同一平面国向量-共能量定至共赤堡定理若两

3、个向近.7户榭叫向堂5与何量片.联面o存在畸一的有序玦对以y), 哈嗝空地量基本定累门)定他 如果三个向量之、1、环其面那时空间任一向量%,存在有序潮超任用*+熊(2 rtiti 30、Ai B、立而三口点-对间一点唯存13工一0T三十行序只曲九六 麻片呼*首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量: 首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量2.空间向量的数乘运算(1)实数入与空间向量a的乘积 入a仍是一个向量，称为向量的数乘运算.当入0时，入a与a的方向相同;当入0时，入a与a的方向相反;当入=0寸，入a = 0 .入a®入|?印入a的长

4、度是a的长度的入倍.一条直线i有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行.直线i的方向向量也是所有与i平行的直线的方向向量.2、方向向量的求法：可根据直线l上的任意两点的坐标写出直线l的一个方向向量.Z且,+F*E=1二、空间向量的运算1、加减法(1)空间任意两个向量都是共面的，它们 的加、减法运算类似于平面向量的加减法.= 0A + AB = a + bOB = OAb BA =0A -OB = a - b那法的三角形法则力的平行四边形法则赢诙的三角形法则(2)加法运算律：空间向量的加法满足交换律及结合律.交换律：结合律：(3)推广（2）运算律空间向量的数乘满足分配律及结合律分配律： （a

5、 b） a b （ ）a a b结合律：（a） （ ）a3.空间向量的数量积和坐标运算1 .两个向量的数量积（1）女*3二|仃 131c口户 1二=藐=口刁为T晦向量；!坐标运算q * b =(&2* O3)向量和ab-82+02f 33+03)向量差a *b =（a?劣2，己3*6?）毅富积q，b =a 16+822+836共蛀=*a2=/i>2* 83=/&3 (/ER)垂直白-L 5日2欠甘3g=0夹角上7 I、oifti+ o；fc+ahC0S<m1 /4出+区+亦除+房+公三.直线的方向向量1、直线的方向向量:空间中任意一条直线l的位置可以由l上一个定点A

6、以及一个定方向确定.直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线i的方向向量.注意：3、平面的法向量:由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方向”.如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面a ,则称这个向量垂直于平面，记作n ± a ,如果n ± a ,那么向量n叫做平面a的法向量.注意：法向量一定是非零向量；一个平面a有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行；向量n是平面的法向量，向量 m是与平面平行或在平面内，则有 n?m 0.一个平面a的法向量也是所有与平面a平行的平面的法向量.4、法向量的求法：（1）设：设出平面法

7、向量的坐标为n = （u,v,w）;（2）歹u：根据a?n o,b?n 0,列出方程组；（3）解：把u （或v或w）看作常数，用u （或v或w）表示另外两个量；（4）取：取u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量n的坐标.四、用向量证明平行1,直线三直线平行iA直蔬用£史万向向量分别为口和r 1则由巨量北链笠冬仁冷I田履阂1与I；'重击=彳"三工亘统三干面呻C1）已知两个mF零向量1和G与aft面，苴线的一个万向向量为；，则由其面向量定理可邮W或庄口&0存在虐个有序冥战（X, y）庾；=工彳-1（2）由其面向堂宾支可以霖,如第A民心点不共然.刚

8、点上施平面A0讷的充婆条件是，存在一对有序实配”门宜向赎 些式疝成色3,平面弓平面半行设平面4融法向旗福为丁熙函E口与pS台特厅阻存使"寸气五、用向量证明垂直【1）线线垂直：谩直线I、I2的工向向量分别为r、6,01卜_1_1一日_L喳=口：2 2） 面垂亘；设巨陆I的方向向跑为2平面Q的挂向枇力卜只LL口c以由纬一位圭白臼判定定理.只要硼已知宜珪的方向向童舄平面内两个不共线区型垂直一 EE 垂 SU明函个平面住法向革亭自，艮晒上平面的法声掌由面面垂亘的判定定理可修 2赛证明一卜匕面内的一篡直其的人面向里和一-1福内的两条杓交直或的右向向里叁亘，一选择题(共11 小题)1 已知直线l

9、 的一般方程式为x+y+1=0 ，则 l 的一个方向向量为()A. (1,1) B. (1 , T) C. (1,2) D. (1 , - 2)2 .已知等差数列an的前n项和为Sn,且S2=11 , S5=50 ,则过点P (n,小)和Q (n+2 , an+2)( n C N )的直线的一个万向向量的坐标可以是()A. (T,- 3) B. (1,-3)C. (1,1) D. (1,T)3 .若直线11, 12的方向向量分别为=(2, 4, - 4) , = (-6, 9, 6),则()A. 11 / 12 B. 1山2C . 11与12相交但不垂直D .以上均不正确4 .直线a, b的方

10、向向量分别为二(1,-2,-2),=(-2,-3,2),则2与 b 的位置关系是()A.平行 B.重合 C.垂直 D.夹角等于5 .若 A(0,2,),B(1,- 1,),C(-2,1,)是平面 a 内的三点，设平面a的法向量=(x, y, z),则x: y: z=()A. 2: 3: (-4) B. 1: 1: 1 C. -: 1: 1 D. 3: 2: 46 .已知=(1 , 5, - 2) , = (3, 1 , z),若，=(x 1 , y, 3),且 BP，平面ABC ,则实数x、y、z分别为()A. , - , 4 B. , - , 4 C. , - 2, 4 D. 4, , -

11、157 .若直线1的方向向量为，平面 a的法向量为，能使1/ a的是()A. = (1, 0, 0) , = ( - 2, 0, 0) B. = (1, 3, 5) , = (1, 0, 1 )C. = (0, 2, 1) , = (1,0, 1) D . = (1, -1,3) , = (0,3,1)8 .设，在上的投影为，在x轴上的投影为2,且，则为（）A. （2, 14） B. C. D. （2, 8）9 .如图，在正方体 ABCD - AiBiCiDi中，P为对角线BDi的三等分点，P到 各顶点的距离的不同取值有（）A. 3个 B.4个 C. 5个 D.6个10 .已知直二面角 a T

12、 - B ,点 A C a , AC，l, C 为垂足，B p , BD ±l, D为垂足，若AB=2 , AC=BD=i ,贝U D至U平面ABC的距离等于（）A. B. C. D. iii .在正四棱柱ABCD - AiBiCiDi中，顶点Bi到对角线BD i和到平面AiBCD i 的距离分别为h和d ,则下列命题中正确的是（）A.若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为（0, i）B.若侧棱的长小于底面的边长，则的取值范围为C.若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为D.若侧棱的长大于底面的边长，则的取值范围为二.填空题（共i2小题）15 .如图，在棱长为2的正方体ABCD -

13、 AiBiCiDi中，E为BC的中点，点P 在线段DiE上，点P到直线CCi的距离的最小值为 .16 .若，,贝 =.17 .已知A （i , 2, - i）关于面xOz的对称点为B,则=.18 .如图，在三棱锥D - ABC中，已知AB=AD=2 , BC=i ,贝U CD=.19 .如图，在四棱锥 S-ABCD中，底面 ABCD为矩形，SD，底面ABCD ,AD= , DC=SD=2，点 M 在侧棱 SC 上，/ ABM=60° .若以 DA, DC, DS, 分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则M的坐标 为.20 .如图，为一个正方体截下的一角 P

14、-ABC, |PA|=a , |PB|=b , |PC|=c , 建立如图坐标系，求 ABC的重心G的坐标.21 .下列关于空间向量的命题中，正确的有 .若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则/;若非零向量，满足，则有/ ;若，是空间的一组基底，且=+,则A, B, C, D四点共面；若向量+, +, +,是空间一组基底，则，也是空间的一组基底.22 .由空间向量二(1 , 2, 3) , = (1 , - 1 , 1 )构成的向量集合 A=|=+k , k ez,则向量的模的最小值为.23 .已知点 A (1 , 2, 1) , B (-2, , 4) , D (1 , 1 , 1)，若=

15、2,则 | 的值是.24 .已知空间四点 A (0, 1,0) ,B(1,0, ) , C (0,0,1), D(1, 1,), 则异面直线AB , CD所成的角的余弦值为.25 .如图ABCD - AiBiCiDi是正方体，BiEi=DiF尸，则BE i与DF i所成角的 余弦值是.26 .已知向量，满足|=2 ,与的夹角为60° ,则在上的投影是 .三.解答题(共9小题)27 .如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4 , AB=6 , BC=3 .(i)证明：BC /平面PDA ;(2)证明：BC ±PD ;(3)求点C到平面PDA的

16、距离.28 .如图，已知四棱锥P-ABCD , PBXAD侧面PAD为边长等于2的正三角 形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为i20° .(I)求点P到平面ABCD的距离，(II)求面APB与面CPB所成二面角的大小.29 .如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PD，平面 ABCD , PD=DC=BC=i , AB=2 , AB / DC , / BCD=90° .(i)求证：PCXBC ;(2)求点A到平面PBC的距离.30 .如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA，平面ABCD , 点E在线段PC上，PC，平面BDE ,设P

17、A=1 , AD=2 .( 1 )求平面BPC 的法向量；(2)求二面角B-PC-A的正切值.31 .如图，在四棱锥 P-ABCD 中，PA，底面 ABCD , AD ±AB , AB / DC , AD=DC=AP=2 ， AB=1 ，点 E 为棱 PC 的中点(I )证明：BE ±DC ;(n)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(m)若F为棱PC上一点，满足BF ±AC ,求二面角F-AB -P的余弦值.32 .如题图，三棱锥 P-ABC 中，PC,平面 ABC, PC=3 , / ACB= . D, E 分别为线段AB ， BC 上的点，且CD=DE=

18、， CE=2EB=2 (I )证明：DE，平面PCD(H)求二面角A-PD-C的余弦值.33 .如图，在三棱台ABC - DEF中，已知平面BCFE，平面ABC , / ACB=90° , BE=EF=FC=1 ， BC=2 ， AC=3 ，(I )求证：BF，平面ACFD ;(II)求二面角B - AD - F的余弦值.34 .如图，在四棱柱ABCD - A1B1C1D1中，侧棱AAi，底面ABCD , AB LAC, AB=1 ， AC=AA 1=2， AD=CD= ，且点 M 和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中点(I )求证：MN /平面ABCD(H)求二面角Di - AC - Bi的正弦值；(m)设E为棱AiBi上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段Ai E 的长35 .如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA，平面ABCD , E为 PD 的中点(I )证明：PB /平面AEC ;(H)设AP=1 , AD=,三棱锥P-ABD的体积V=,求A到平面PBC的距离.20i7 年 i2 月 02 日空