2021年成都市中考专题4—几何模型之隐圆问题讲义

1、2021年成都市中考专题4几何模型之隐圆问题【模型讲解】常见的隐圆模型有：（I）动点到泄点的距离为定长：（2）四点共圆；（3）左边对宦角（专题3）等.4例1图例3图AD=AC=ABZADB= ZACB2 ZADB= ZACBZBAC+ZBDC= 180【例题分析】例 1如图，已AB=AC=AD, ZCBD=2ZBDC, ZBAC=44 ,则ZCAD的度数为例2.在矩形ABCD中，已知AB = ICm , BC= 3cm ,现有一根长为ICm的木棒EF紧贴着矩形的边 （即两个端点始终落在矩形的边上），按逆时针方向滑动一周，则木棒EF的中点P在运动过程中所围成的图形的而积为加.例3如图，泄长弦CD

2、在以AB为直径的OO上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP丄于点P,若AB=8,则PM的最大值是。例4.如图，点A与点B的坐标分别是（1, 0）, （5, 0）,点P是该直角坐标系内的一个动点.（1）使ZAPB=30的点P有个；（2）若点P在y轴上，且ZAPB=30 ,求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，ZAPB是否存在最大值？若存在，求点P的坐标：若不存在，请说 明理由.Ay【巩固训练】1如图1，矩形ABCD中，AB = 2, AD = 3,点E、F分别AD. DC边上的点，且EF = 2,点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA + PG的最小

3、值为图2AB = 49 AD = 6, E是AB边的中点,F是线段BC边上的动点，将EBF沿EF所在直线折叠得到ZkEBT,连接BtD9则BT）的最小值是3在平而直角坐标系中，点A的坐标为（10）,点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一 点，且AC = 2.设tanZBOC = ?,则山的取值范围是.4 如图 3,在 RtABC 中，ZC = 90o , AC = 6, BC = 8 ,点 F 在边 AC 上，并且 CF = 2,点 E 为 边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点Q落在点P处，则点P到边AB距离的最小值图35如图4,四边形ABCD中,IiDCIlAB , BC = I

4、, AB = AC = AD = 2 则BD的长为&如图 5,在四边形ABCD 中，AB=AC=AD9 若ZBAC=25 , ZCAD = 75 ,贝IJZBDC=ZDBC=7.足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好.如图6的正方形网格中，点A, B, C, D, E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在（）A点CB点D或点EC 线段DE （异于端点）上一点D 线段CD （异于端点）上一点图8&如图7,已知AB是。O的直径，P0是OO的弦，Po与AB不平行，R是PQ的中点,作PS丄PQAB9 QTLAB.垂足分别为S、T（Sm 并且ZSRT=6

5、0 ,则 的值等于.AB9.如图 8,若 PA=PB. ZAPB=2ZACB. AC 与 PB 交于点 D,且 PB=49 PD=3,则 AD DC=.10在平面直角坐标系中，已知点A（4, 0）、B（-6, 0）,点C是）,轴上的一个动点，当ZBCA =45。时，点C的坐标为11 如图9, RIZXABC中，ZC=90% AC=3, BC= 4,点D在AB边上，点E是BC边上一点（不 与点B、C重合），且DA=DE,则AD的取值范围是X图10图912. 如图10,在平而直角坐标系的第一象限内有一点B,坐标为（2,加）过点B作AB丄y轴，BC丄X轴，垂足分别为A、C,若点P在线段AB上滑动（点

6、P可以与点A、B重合），发现使得AOPC=45的位置有两个，则加的取值范围为13. 在锐角 ABC中,AB = 4,BC=5, ZACB=45,将ZSBC绕点B按逆时针方向旋转得到厶A,B,C（1）如图11-1.当点C在线段CA的延长线上时，求ZCCIAI的度数：（2）如图11-2,连接A儿，CG若ZiAB人的而积为4,求ACBG的而积；（3）如图11-3,点E为线段AB中点，点P是线段Ae上的动点，在AABC绕点B按逆时针方向 旋转过程中，点P的对应点是点几，求线段长度的最大值与最小值.图图 11-38314. 如图，抛物线y= 一扌一二+ 3与入轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴

7、交于点3 4C. （1）求点A. B的坐标：（2）若直线/过点E （4, O）, M为直线/上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形 有且只有三个时，求直线/的解析式.315. 如图，直线y=-x3与轴、y轴分别交于B、A两点，点P是线段OB上的一动点，若能4在斜边AB上找到一点G使ZoCP=90 ,设点P的坐标为（加，0）,求加的取值范围.15几何模型之隐圆问题参考答案例1.【解答】解：9:AB=AC=AD,B, C, D在以A为圆心，AB为半径的圆上，ZCAD=2上CBD, ZBAC=2ZBDC, ZCBD=2ZBDC, ZBAC=44 ,：.ZCAD=IZBAC=88故答案为：88

8、例2【解答】解：如图所示：由题意根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得出P到B点距离始终为1则木棒EF的中点P在运动过程中的轨迹为分别以A , B, C, D为圆心，1。为半径的弧， 2故所围成的图形的而积为：矩形而积-4个扇形面积=6-4x22二L = 6-初必360B故答案为：6-兀例3.【解答】解：连接CO, MO, ZCPo=ZCMO=90 ,.c, M, O, P,四点共圆，且Co为直径（E为圆心），连接PM,则PM为C）E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以 PM=CO=4 时 PM 最大即 PMnar=4.例4【解答】解：（1）以AB为边,在第一象限内作等边三角形ABG

9、以点C为圆心，ACe为半径作G）G交y轴于点戸、Pi.在优弧AP1B 任取一点P,如图1,则ZAPB=IZACB= i60 =302 2使ZAPB=30的点P有无数个.故答案为：无数.(2)当点P在y轴的正半轴上时，过点C作CG丄AB,垂足为G,如图1.Y点 A (1, 0),点 B (5, 0), OA= 1, OB=S.AB=4.T 点 C 为圆心，CG丄AB. ：.AG=BG=-AB=2.2OG=OA+AG=3.V AABC是等边三角形，/.AC=BC=AB=4 CG= AC2-AG2=42-22=23点C的坐标为(3, 23).过点C作CD丄y轴，垂足为D,连接CP2,如图1, T 点

10、 C 的坐标为(3, 23), CD=3, OD=23VP1. A 是G)C 与 y 轴的交点,A ZAPiB=ZAPIB=30 .:CP2=CA=A9 CD=3,DP2=42-32=7.点 C 为圆心，CD丄PR, P1D=P2D=Vt AP2(0, 23-7). Pl (0, 23+V).当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：PXO, - 23-T). PA (0 -2)综上所述：满足条件的点P的坐标有：(0, 23-7) (0, 23+7). (0, - 23-T) (0, 3+T)（3）当过点A. B的OE与y轴相切于点P时，ZAPB最大理由：可证：吩Z例当ZW最大时，ZAEH最大.由

11、SinZ仙诗得：当AE最小即PE最小时，ZAEH最大.所以当圆与y轴相切时，ZAPB最大. 当点P在y轴的正半轴上时，连接EA,作EH丄X轴，垂足为H,如图2.VQE与y轴相切于点P、：.PE丄OP.：EH丄AB, OP丄OH, ZEPO= ZPOH= ZEHO=9X 四边形 OPEH 是矩形：.OP=EH. PE=OH= 3. ：.EA = 3.V ZEHA=90 , AH=2, EA=3,-EH= EA2-AH2=32-22=忑OP=5 ：.P （0, 5）. 当点p ZAMBV ZAPB=ZANB. ：. ZAPB ZAMB若点P在y轴的负半轴上，同理可证得：ZAPB ZAMB综上所述：

12、当点P在y轴上移动时，ZAPB有最大值, 此时点P的坐标为（O, 5）和（0, -5）.【巩固训练】答案AfE共线时时，此时BT）的1解：VEF = 2,点G 为 EF 的中点,. DG = If.G是以Z）为圆心，以1为半径的圆弧上的点，作A关于BC的对称点A ,连接A,交BC于P ,交以D为圆心，以1为半径的圆于G , 11 PA + PG的值最小，最小值为AG的长；V AB = 2 , AD = 3, AA, = 4 , /. AfD = 5 ,： A,G=AtD-DG = 5- =4 :/. PA + PG的最小值为4；故答案为4.2.解：如图所示点F在以E为圆心EA为半径的圆上运动，

13、当D、BJ值最小,根据折叠的性质，EBF = EBtF ,EBt丄BfF , EBf = EB ,.E是AB边的中点，AB = A . AE = EBJ2, AD = 6 ,.Df = 62+2f = 210 ,D=210-23.解：C在以A为圆心，以2为半径作圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，ZBoC最 小，AC = 2, OA = 3,由勾股泄理得：OC = ,VZBoA = ZACO = 90 ,.OC +ZAOC = 90o , ZCAO + AAOC = 90 ,：.ZBOC = ZOAC 9tan ZBOC = tan ZOAC = = ,AC 2随着C的移动，ZBOC越

14、来越大，.c在第一象限，.-.C不到X轴点，即 ZBoC - 12）.综上所述，点C坐标为（0, 12）或（0,-12）.故答案为：（0, 12）或（0, - 12）.VVC.,By E、 BE、 SlOyAX、答图211. 【解答】解：VRtZMBC 中，ZC=90o , AC=S9 BC=4,=AC2+bc2=5,以D为圆心，AD的长为半径画G）D, 如图b当G）D与BC相切时，DE丄BC时，设 AD=9 贝IJ DE=AD=X, BD=AB-AD=5 - x.V ZBED=ZC=90 , ZB 是公共角，： BDEsBAC、：.翌即E=K,解得：X= 1.ABAC 538 如图2,当G）

15、D与BC相交时，若交点为B或C,则D=Xw=：.AD的取值范帀是8 2SIl團212. 【解答】解:如图3中，在X轴上方作AOKG使得AOKC是以OC为斜边的等腰直角三角形，作KE丄AB于E.TOC=2,：0K=KC=近、当EK= fC=3.以K为圆心，KC为半径的圆与AB相切，此时川=BC=l+2 在 AB 上只有一个点 P 满足ZoPC=LZoKC=45 ,2当BK=近时,在AB上恰好有两个点P满足ZOPC=ZOKC=45Q2此时 m=BC=2,综上所述，满足条件的也的值的范用为2nl + 故答案为2nl+213. 【解答解:(1)由旋转的性质可得:ZAlClB=ZACB=450 , BC

16、=Bex ZCCiB= CB=45 , ZCCS = ZCC/+ZACB=45 +45 =90 (2) V2MBCABCb：.BA=BAI, BC=BCX ZABC= ZAIBC,F的切线这样的切线有2 条连接FM,过M作MN丄X轴于点MVA ( -4, O), B (2, O),：.F ( - h O), G)F 半径 FM=FB=3又TE (4, 0),AFE=5,在 RtAMEF 中，2=4 SinZMFE= , CoSZMFE=5旦. 在 RlAFMN 中，MN=MFsinZMFE=3X = , FN=5 55MFcosZMFE=3 .则 ON=-.5 55M点坐标为( )直线 / 过 M (, ), E (4, 0),55设直线/的解析式为y=kx+b,则有Irj 12Cl 3 T