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文档简介
1、精选优质文档-倾情为你奉上向量中的经典“奔驰定理”证明及应用与推广一、奔驰定理及证明图 1如图 1,已知 P 为 ABC 内一点,则PA S BPCPB S APCPCS APB0奔驰定理证明:若 PA'PB'PC'0 ,则 P为 A'B' C' 重心 ,不妨设 xPAPA' , yPBPB ' , zPC PC 'x P Ay P Bz P 0C(1)1'|'|''S PBCxS PBC1 |PB| PC''S PBC| PB | | PC | sinBPCsin B PC
2、''2 yzyzxyz2同理可得 S PACyS' ',SPABzS''PACPA Bxyzxyz''S''S'又SPBCP A CP A Bx:y:zSSPAC:SP B CPBC:(1)式可化为 P A SB P CP BSAPCP CSA P B0奔驰定理得证最简单的一个就是面积法。用三角形面积公式带入,约去三条线段长度之积,得到三个单位专心-专注-专业1向量的关系,将它们放入单位圆中。图2如图 2,已知、 、所对的角分别为, ,则P为单位圆, A, B, C在圆上 , AP BP CPAP sinB
3、P sinCP sin0真·奔驰定理这时的图形就真的很想奔驰车标了,所以我称它【真·奔驰定理】。奔驰车标接下来,我们要证明的就是这个了。这个证明只需要建立平面直角坐标系,利用三角函数定义、三角恒等变换公式、向量坐标运算就可以轻松证明了。于是整个定理就得到了证明。二、奔驰定理在向量中应用2例 1 、若ABC 内接于以 O 为圆心,以 1 为半径的圆, 且 3OA4OB5OC0 ,则该ABC 的面积为。答案: 56答案解析:由奔驰定理得:设S O B C3 x, S O A C 4 ,xSO A B5 x例 2 、【 2016 年清华领军】若OABCS AOB :S BOC :
4、S COA4:3: 2AOABAC,为内一点,满足,设则 + =答案: 23例 3 、,且满足 |PB|=2 ,|PA|=2 , APB5,且2 AP 3PB PC40,则P为 ABC内部一点6ABC的面积为()94C、16A、B、D、835答案: 98三、奔驰定理推广3推广 1 、如果 P 不在三角形内呢?既然有向量,那么我们可以给面积也定义方向,当然有向面积 不是向量,只是有正负,内部为正,外部为负。因为我没有想出合适的符号,所以用了向量的符号。在三角函数定义时,三角函数线是有向线段,x 轴上方为正,下方为负图 3如图 3,已知 P 为平面内一点,则PA S BPCPB S APCPCS APB0EX·奔驰定理这个是对 奔驰定理 的推广,我称它为 【EX·奔驰定理】。那么最后我们对它做进一步推广,大家可以来思考一下。推广 2、【 EX·奔驰定理-A 】将三角形改为多边形,结论
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