角函数的积化和差与和差化积

1、三角函数的积化和差与和差化积由一、课标要求：国利用两角和与差的正弦、余弦公式推导导出积化和差、和差化积公式，但不要求记忆二、知识提要：国三角函数的积化和差公式： 由cos G sin夕二!回11(4+户I+£1口(值一历一p- ysin(cr+ p) 历一COS Ugs #=最33(0：+(1) +cg(Q初.sin 值P= co£(£f-|- m - CCS(OJ-()积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.其中前两sin a;cos 6= sm(£r+ 5) +点口(口一 )1.个公式可合并为一个：.二'三角函数的

2、和差化积公式：sin iT + sin 户= 2smsin of sin = 2 cosCOG C+CO£ =2 COS值十户一 a- jSsin.224+5 acoscos。 cos g = -2 sin值十产,a-jSsin-和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是:B a-其中前两个公式可合并为一个：sin& + sin = =2 sin 2 cos -积化和差公式的推导用了 “解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了 “换元”思 想.只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数

3、后再运用公式化积合一变形也是一种和差化积 .三角函数的和差化积， 可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用 .积化和差与积差化积是一种挛生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降哥公式，然后应用和差化 积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.三、典型例题：由把下列各式化为和或差的形

4、式:111(J2cos(0d - 45* )sin(ce 4*45* j sin凸/&解：)2 cos(生-45° )sin(a + 450 )=antce-45* )*(至+ 45, ) -sm(a - 45s )-(直+ 45卡)=an2ctJan90Q = sin2 + 1工 11 4 cos2asin cd cog ct = - sin 2od + 221n、1 通=sin 2仪 + sin2在 cos 2a = sm 2直 4 an4g44482.求值：sin6 0 sin42 0 sin66 0 sin78 0 .闺解：法一sin6 ° sin42 &#

5、176; sin66 ° sin78-(co$6T 2-H *6一匚。与12T )1 1 1而十35(匚©061-(而 54* sin 18°16 44(如 54* sin 15e16 4-cos 36Q cos720 )sin 54"* sin 120 )=； 16- cos72" )(1 + g£36")-cos72c ) - cos 360 cos720法二sin6 ° sin42 ° sin66 ° sin78 °_ San6° cosS0 cosl20 cos21

6、° cos4802cqs 6 口sin 120 cos 12& cos240 cos48o=2cos6c一血口困。cos 240 cos4804 cos 60si"匿 8§4 匿sin 96"1=8cos6° = 16 g±6° = 16COS COS- + COS 2sin cof十 2cos-；-sin 十 2cos77772元6亦.2汇sin 772 sin 7_ 4冗 .6元.2霍 .Wk _ 4月 2ksin + iinsin + ansn-z_ - sm-z-77777 7.求值：cos24 °

7、2 sl 口亍-sin6 ° - cos72 ° 囹解：原式=(sin66 ° -sin6 ° )-cos72 ° =2cos36 ° sin30 ° -cos72=cos36 ° -cos72 ° =2sin54 ° sin18 ° =2cos36 ° cos722sin 360cos360coS720 sm 144口 1sin 350=2sni36 = 2.求 tan20 ° + 4sin20 ° 的值.上解 原式-血 200+4stn 20°

8、;cos200 _ sin, 200+2sin 400cos 200cos 20"(sin 20” 811141r)+sin 4002sin 30口8510°十3血40口cos 21ycos 20°sin 80°十sin 40* 2 dn 60flcos 200cos 20,1cos 2002一 500+而 gOKl + tanblPtaiilO。) 求值：J1 + sin 100囹2sin 50c + cosio4u 耶巴”T i cos 100 解：原式=Jl + c/lO。2汕50口+卜加1口”后in 1的2cos2 502 2 50口+2皿 4

9、口口V2 cos 502, 2,沏 450Mx5口_ 2V2 c<s 5°-1 - -sm3 24- sin3 S - co? A7,已知 sin(A+B)= $ , sin(A-B)= - 5 ,求值：4上解：原式二1 4 sin 22A- sin1 + cos 2A 22B-21=14 sin 22A- sin1 cos 2 A s 2A 1cos 2 A2B- 4 -2-4=之-sin 2B-2cos2B - cos 2A3412=2=sin(A+B)sin(A B)=$ x( 5)= 258!8.求 sin 2200 +cos2800 +T 3 sin20 0 cos8

10、0 ° 的值.由1- c6s400 1-pc<J2150° 斗， 口 -十十二 Rm W00 - sin 60。)解：原式二 2222昱 刍=1+2 (cos160 ° -cos40 ° )+ 2 sin100 ° -42走 )= 4-sin100 ° sin60 ° + 2 sin100 ° =49.试证：cos2(A-日)+cos 2(B -廿)-2cos(A-B)cos(A-8 )cos(B- 8 )的值与日无关.I雷I证明：cos2(A- § )+cos 2(B -8)-2cos(A-B)cos(A- 炉)cos(B-日)1 + cos (A -26) 1 + gos(3B -29)二- -2cos(A-B)cos(A- - )cos(B9)=1+cos(A-B)cos(A+B-2 u )-2cos(A-B)cos(A-F )cos(B-")=1+cos(A-B)cos(A+B-2' )-2cos(A-曰)cos(B-二)=1+cos(A-B)cos(A+B-2 3)-cos(A+B-2 不)-cos(A-B)=1- cos