质点运动学 (2)

1、关于质点运动学 (2)第一页，共49页幻灯片第第 二二 章章质质 点点 动动 力力 学学（3 3）动能定律动能定律功能原理功能原理角动量守恒定律角动量守恒定律第二页，共49页幻灯片2-7 2-7 功和功和动动能能Fs (1) (1)功的定义功的定义: :力在位移方向上的分量和该位力在位移方向上的分量和该位移大小的乘积。移大小的乘积。cossFsFWssFW第三页，共49页幻灯片(2)(2)变力的功：变力的功： bazyxbazyxbaabzFyFxFkzj yi xkFjFiFrFWdddddbababaabrFrFrFWdcosddabmOrdFrrFWdd元功元功第四页，共49页幻灯片 例

2、例1 一个人从一个人从10m10m深的井中，把深的井中，把10kg10kg的水匀速地提的水匀速地提上来。由于桶漏水，每升高上来。由于桶漏水，每升高1m1m漏去漏去0.2kg0.2kg的水。问把水从的水。问把水从井的水面提到井口，人所做的功。井的水面提到井口，人所做的功。 F=mg= F=mg=( (MMkyky) ) g g d dW=FW=F d dy=y=( (MMkyky) )g gd dy y 所以所以100ddWWMky g y100100.29.8d882Jyy 解解取一维坐标，以水井水面为原点取一维坐标，以水井水面为原点o o，oyoy轴向上。轴向上。设水在高度设水在高度 y y

3、 处其质量为处其质量为mm，据题意得，据题意得 mm= =MMky ky 其中其中MM=10kg=10kg，k k=0.2kg/m=0.2kg/m，又设拉力为，又设拉力为F F，则有，则有第五页，共49页幻灯片例例2求万有引力的功。求万有引力的功。abmMrdrFrdrrdrrMmGrrMmGrrrMmGWdcosddd222abbarMmGrMmGrrMmGWd2解解第六页，共49页幻灯片abavmvbvrdF222121dddddddabbabababaabmmmrtmrmarFrFWbavvvvvvv定义质点的动能为：定义质点的动能为：221vmEk，则：，则： 质点动能定理质点动能定理

4、 合外力对质点所做的功等于质点动合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。能的增量。kakbabEEW第七页，共49页幻灯片 解解例例1m=0.1kg的质点沿曲线的质点沿曲线 运动，求在运动，求在t=0s到到t=2s的时间内，作用在该质点的合外力对质的时间内，作用在该质点的合外力对质点所做的功。点所做的功。j titr2353）（，J 202121sm 404 2sm 2 025dd202212102vvvvvmmWttjittr) J (20d5d5ddddd2d5d2033222ttWttrFWi ttrmFj ti ttr或或第八页，共49页幻灯片例例2一链条总长为一链条总长为l，质量为，

5、质量为m，放在桌面上并使之下垂，放在桌面上并使之下垂，下垂的长度为，下垂的长度为a。设链条与桌面的滑动摩擦系数为。设链条与桌面的滑动摩擦系数为，令链条从静止开始运动，则，令链条从静止开始运动，则：（：（1）到链条离开桌）到链条离开桌面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（面的过程中，摩擦力对链条做了多少功？（2）链条离）链条离开桌面时的速率是多少？开桌面时的速率是多少？22)(2)21(d)()(allmgxlxlmgxlxlmgWlxlmgflalaf 解解（1）第九页，共49页幻灯片22222222220202)()(212)(2)(2)(d2102121alallgmlalmglalmgl

6、almgxxlmgWmWWmmWWlaGfGfGvvvvvv（2）对）对链条应用动能定理链条应用动能定理得得第十页，共49页幻灯片 (1)保守力作功与路径无关，只取决于质点始末保守力作功与路径无关，只取决于质点始末位置。因而存在一个由质点位置决定的一个态函数位置。因而存在一个由质点位置决定的一个态函数 U(r) ，这个态函数称之为，这个态函数称之为势能。势能。保守力做功等于势能增量的负值：保守力做功等于势能增量的负值：UWabrMmGrMmGW2-8 2-8 势势 能能第十一页，共49页幻灯片(2)势场中某一点的势能势场中某一点的势能)(d)()()(dababbabaabrUrFrUrUrU

7、rFW设设a点的势能为点的势能为0，则，则abbabrFrFrUdd)(势能零点rrFrUd)(第十二页，共49页幻灯片(3)保守力和势能函数的微分关系保守力和势能函数的微分关系zUFyUFxUFzFyFxFrFUzyxzyx,ddddd )(kzUjyUixUF第十三页，共49页幻灯片UxO由势能曲线可以知道：由势能曲线可以知道：1)、保守力作功等于势能的、保守力作功等于势能的 减少。在一维情况下有减少。在一维情况下有 一元过程：一元过程：)(ddxUxFxxUFd)(d即即 因此，保守力大小等于势能曲线的斜率，因此，保守力大小等于势能曲线的斜率，方向指向势能减少的方向。方向指向势能减少的方

8、向。(4)一维势能曲线一维势能曲线第十四页，共49页幻灯片 2)、可判断质点的运动范围。可判断质点的运动范围。在封闭保守系统中，在封闭保守系统中，作总能量为作总能量为 E 的水平线，与势能曲线相交的点表示的水平线，与势能曲线相交的点表示E= =U，这些位置物体的这些位置物体的Ek=0=0。UXOEkEUA BCDME)(2)(212xUEmxExUxm第十五页，共49页幻灯片UXOEkEUME1M2MN 3)、势能曲线上每一个局部的最低点、势能曲线上每一个局部的最低点( ( “谷谷”) ) 都是稳都是稳定平衡点，势能曲线上每个局部最高点（定平衡点，势能曲线上每个局部最高点（ “峰峰”）都是）都

9、是不稳定平衡点，一旦质点偏离了不稳定平衡点，质点就会不稳定平衡点，一旦质点偏离了不稳定平衡点，质点就会远离而去。因此，势能曲线还能形象地表示出系统的稳定远离而去。因此，势能曲线还能形象地表示出系统的稳定性。性。第十六页，共49页幻灯片kEHHEohUU重力势能重力势能mghU kEEABxoUU弹性势能弹性势能221kxU ErUo0kEkEU引力势能引力势能rMmGU第十七页，共49页幻灯片ro)(rU0r1E3E分子力势能曲线分子力势能曲线2E第十八页，共49页幻灯片例例1一质量为一质量为m的质点，放在半径为的质点，放在半径为R，质量线密度为，质量线密度为 （质量均匀分布）的四分之一的圆周

10、的圆心上，如图所（质量均匀分布）的四分之一的圆周的圆心上，如图所示，则该质点受到该圆周的万有引力及该圆周与质点间示，则该质点受到该圆周的万有引力及该圆周与质点间的万有引力势能为多少的万有引力势能为多少?22/2dcos0dcoscosddd)d(d442222GmRRGmURGmRRGmFFRRGmFFRRGmRMGmFxyx解解4545xyom第十九页，共49页幻灯片例例2已知万有引力势能为已知万有引力势能为rMmGrU)(应用保守力与势能的微分关系，求万有引力。应用保守力与势能的微分关系，求万有引力。 222rzrGMmyUFryrGMmyUFrxrGMmxUFzyx )( 2rrrMmG

11、kzUjyUixUF解一解一在直角坐标系中在直角坐标系中解二解二2ddrMmGrUFr第二十页，共49页幻灯片例例 3 对于弹簧振子，对于弹簧振子，(1) 画出画出U (x) x 曲线，并作一曲线，并作一高度为高度为E的水平线，试说明图上哪段的水平线，试说明图上哪段x范围是振子可范围是振子可以到达的。以到达的。 (2)作作 x x 曲线，并讨论其运动情况。曲线，并讨论其运动情况。E2xoUExox 221kxU 常量222121kxxm解解第二十一页，共49页幻灯片2-92-9能量守恒定律能量守恒定律由动能定理：由动能定理：222122111211ddddkkErfrFErfrF1m2m12f

12、21f2s1s1F2F第二十二页，共49页幻灯片212211122211ddddkkEErfrfrFrFkEWW内力外力系统外力的系统外力的功功系统内力的功系统内力的功系统动能的系统动能的增量增量 质点系的动能定理质点系的动能定理系统的外力和内力作功的总和等系统的外力和内力作功的总和等于系统动能的增量。于系统动能的增量。111211ddkErfrF222122ddkErfrF第二十三页，共49页幻灯片而保守内力作功而保守内力作功：21UUW保守内力设系统从状态设系统从状态1变化到状态变化到状态2 ，由动能定理，由动能定理12kkEEWWW非保守内力保守内力外力)()(1122UEUEWWkk非

13、保守内力外力则则pkUEE叫做系统的叫做系统的机械能。机械能。12EEWW非保守内力外力即即 功能原理功能原理 系统机械能的增量等于外力的系统机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的代数和。功和非保守内力的功的代数和。第二十四页，共49页幻灯片 如果一个系统内只有保守内力做功，或者外如果一个系统内只有保守内力做功，或者外力与非保守内力的总功为零，则机械能的总值保持力与非保守内力的总功为零，则机械能的总值保持不变不变 。pkUE常量常量 12EEWW非保守内力外力功能原理功能原理这一结论称为这一结论称为机械能守恒定律。机械能守恒定律。第二十五页，共49页幻灯片解解 把物体和地球作为系统。摩擦力

14、所作的功把物体和地球作为系统。摩擦力所作的功例例1 在图中，一个质量在图中，一个质量m=2kg的物体从静止开始，沿四的物体从静止开始，沿四分之一的圆周从分之一的圆周从A滑到滑到B。已知圆的半径。已知圆的半径R=4m，物体在，物体在B处的速度处的速度v=6m/s。求摩擦力所作的功。求摩擦力所作的功。 ORABNGfrvJmgRmEEWAB4 .4248 . 9262212122v第二十六页，共49页幻灯片例例2 在图中，一个质量为在图中，一个质量为m的物体从静止开始，沿质量的物体从静止开始，沿质量为为M的四分之一圆弧形槽从的四分之一圆弧形槽从A滑到滑到B。 已知圆的半径为已知圆的半径为R。设所有

15、摩擦都可忽略，。设所有摩擦都可忽略， 求求（1）物体刚离开槽底时，物体刚离开槽底时，物体和槽的速度各是多少？物体和槽的速度各是多少？ （2）在物体从）在物体从A滑到滑到B的的过程中，物体对槽所做的功过程中，物体对槽所做的功W。（。（3）物体到达）物体到达B时对槽时对槽的压力。的压力。解解（1）把物体）把物体m、槽、槽M和地球作为系统，以地面为参和地球作为系统，以地面为参考系。设物体离开槽底时，考系。设物体离开槽底时，物体和槽的速度分别为物体和槽的速度分别为v、V。由机械能守恒定律有由机械能守恒定律有222121MVmmgRv又由水平方向动量守恒定律有又由水平方向动量守恒定律有0VvMm ORA

16、BNGvMm第二十七页，共49页幻灯片（2 2）对）对M，由动能定理可得物体所做功，由动能定理可得物体所做功0212MVWmMgRm2（3 3）当）当m到达到达B点瞬时点瞬时, , M可视为以速度可视为以速度V运动的惯运动的惯 性系。以性系。以M为参考系，为参考系， m到达到达B点时相对于点时相对于M 的速度为的速度为v 。则由。则由v = = v V 可得可得222121MVmmgRv0VvMm解解 ORABNGvMm得得)(222mMMgRmVmMMgRv第二十八页，共49页幻灯片由牛顿定律有由牛顿定律有RmmgN2v所以所以MmgmMmgRmmgN)(22vmgMm)23( MgRmMm

17、MMgRMmmMMgRmmMMgRv)(22)1 ()(22第二十九页，共49页幻灯片例例3质量为质量为 m 和和 M 的两个质点，最初它们相距很远，的两个质点，最初它们相距很远，并处于静止。在引力相互作用下相互趋近，当两质点相并处于静止。在引力相互作用下相互趋近，当两质点相距距 r 时，它们的相对速度为多少？时，它们的相对速度为多少？0vmMV)(2mMrGmV0212122rMmGmMVv)(2mMrGMvrmMGV)(2vv相对解解解得解得第三十页，共49页幻灯片练习练习1用用v0=20m/s的初速度将一质量为的初速度将一质量为m=0.5kg 的物体竖直上抛，所达到的高度的物体竖直上抛，

18、所达到的高度h=16m，则空气，则空气对它的平均阻力是对它的平均阻力是_ _ 。)0()210(20mghmvWfmafmg)(351212N.hmvmghfhva220解法一解法一解法二解法二第三十一页，共49页幻灯片练习练习2测子弹速度的方法如图所示。已知子弹质量测子弹速度的方法如图所示。已知子弹质量m=0.02kg，木块质量，木块质量M=9.98kg，弹簧劲度系数，弹簧劲度系数k=100N/m ，子弹射入木块后，弹簧被压缩了，子弹射入木块后，弹簧被压缩了s=0.10m，求子弹的速度，求子弹的速度v。设木块与平面间摩擦因。设木块与平面间摩擦因数数 =0.2。 gmMfvmMkxfxvmMm

19、v)()(2121)(2121解解第三十二页，共49页幻灯片第三十三页，共49页幻灯片定义力定义力 对参考点对参考点O的力矩为的力矩为 FFrMrFmOFrMr2-102-10角动量角动量（1 1）力矩）力矩第三十四页，共49页幻灯片prLOrvmp vmrL（2 2）动量矩）动量矩( (角动量角动量) )zyxpppzyxkjiprL第三十五页，共49页幻灯片解解(1)力矩力矩FrMmgbrFMsinbPxymO方向：垂直于屏幕向内。方向：垂直于屏幕向内。例例一个质量为一个质量为m的质点从的质点从P点由静止开始沿点由静止开始沿y轴自由下轴自由下落。以原点落。以原点O为参考点，求：为参考点，求

20、：(1)任意时刻作用在任意时刻作用在m上的力矩上的力矩M；(2)任意时刻的角动量任意时刻的角动量L；mgbtmgtbmvbL方向：垂直于屏幕向内。方向：垂直于屏幕向内。PrL(2)角动量角动量第三十六页，共49页幻灯片)dd(ddtrmFrtmFvvtrtrtrtrrtdddddddd)(ddvvvvvvv)(dd)(dd)(ddprtmrtrtmFrvvtLMdd第三十七页，共49页幻灯片jririjijFjiFrOijMjiM 由于质点系的内力矩互相抵消，即由于质点系的内力矩互相抵消，即所以对质点系有所以对质点系有iiMtL外ddiiiiiprLL)(为质点系角动量的矢量和。为质点系角动量

21、的矢量和。0iiM内第三十八页，共49页幻灯片 质点系的角动量守恒定理质点系的角动量守恒定理 对于非封闭的质点对于非封闭的质点系，在合外力矩等于零的条件下，其总角动量保系，在合外力矩等于零的条件下，其总角动量保持恒定。持恒定。0iiM外若若即即0ddiiMtL外iiLL恒矢量。恒矢量。则则第三十九页，共49页幻灯片太太 阳阳近近日日点点远远日日点点例例1 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离是离太阳最近距离是 ，此时它的速，此时它的速率是率是 。它离太阳最远时的速率。它离太阳最远时的速率是是 ，这时它离太阳的距离，这时它离太阳的距离 是多少

22、？是多少？ m1075.8101rs/m1046. 541vs/m1008.922v2r解解 在近日点和远日点时，在近日点和远日点时，2211,vvrr2211rmrmvv根据角动量守恒定理有根据角动量守恒定理有可得可得m1008. 91046. 51075. 824102112vvrrm1026. 512第四十页，共49页幻灯片例例2 在光滑的水平桌面上在光滑的水平桌面上 A 点处放有质量为点处放有质量为 m0的木块的木块，木块与弹簧相连，弹簧的另一端固定在，木块与弹簧相连，弹簧的另一端固定在O 点。其劲度点。其劲度系数为系数为 k，开始时弹簧处于自由长度，开始时弹簧处于自由长度 l0，如图

23、所示。设，如图所示。设有一质量为有一质量为 m 的子弹以速度的子弹以速度 v0沿垂直于沿垂直于OA 方向射入木方向射入木块，并嵌在其中。块，并嵌在其中。 当木块运动到当木块运动到B点时，弹簧长度为点时，弹簧长度为 l（OBOA），试求木块在），试求木块在B点时的速度点时的速度 v 的大小和方向的大小和方向。m0v0mOl0lABv （1）子弹射入木块；（子弹射入木块；（2）子弹和木块一起从）子弹和木块一起从 A点运动到点运动到B点。点。分析：本题可分为分析：本题可分为两个过程两个过程：第四十一页，共49页幻灯片解解 第一过程中，子弹第一过程中，子弹和木块的总动量守恒和木块的总动量守恒100)(vvmmm第二过程中，机械第二过程中，机械能和角动量守恒能和角动量守恒2020210)(21)(21)(21llkmmmmvvsin)()(0010lmmlmmvv；02020202)()(mmllkmmmvv)()(sin020202001mmllkmlmlvvm0v0mOl0lABv 1v第四十二页，共49页幻灯片例例3轻滑轮，猴与物等重，起初系统静止。现在，猴以相对轻滑轮，猴与物等重，起初系统静止。现在，猴以相对绳的速度绳的速度v向上爬。向上爬。 求重物上