理论力学@5点的一般运动和刚体的基本运动

1、第5章点的一般运动和刚体的基本运动5.1 主要内容5.1.1 点的运动的表示法研究如何描述一个几何点（即动点）在空间运动的规律。物体的运动是相对于某一参照物而言，离开参照物，无法确定物体在空间的位置。这一特点称为运动的相对性。通常以地球为参照系。在同一参照系上，可以建立不同的坐标系来描述物体的位置及其随时间的变化。如本章讨论的各种坐标系。点的运动方程描述动点在空间的几何位置随时间的变化规律。对于不同的坐标系， 将有不同的形式。1 .矢量式r = r t其中r是点的矢径。此式主要用于理论推导。2 .直角坐标形式一用于轨迹未知的情形建立直角坐标系 Oxyz ,动点M的位置由其在坐标系中的 x, y

2、, z坐标确定。 x=xt = fi t , y=yt - f2 t , z = zt =f3 t上式亦可看作点的运动轨迹的参数方程。如果消去时间参数t,即可得到轨迹的曲线方程，它是下列两空间柱面方程的交线。'- x, y =0' y,z =03 .弧坐标形式（自然法）一用于轨迹已知的情形在轨迹上建立弧坐标系，以 s为弧坐标。s = s t = f t点的速度是个矢量，它反映点的运动的快慢和方向。点的加速度是个矢量，它反映速度大小和方向随时间的变化率。1 .矢径法d rd v d2 rv =r, a = r - rdtdt dt22 .直角坐标法vxvyvzdx dT dy d

3、r d z dr=x=y >=zaxayazdvx ""dr dvy ""drd vz ""drd2x一 dt2_d2 y一 dt2d2 z=x!=y >,=zv = xi + yj + zk , a = xi + yj + zkv = v'x2 + y2 + z2 , a = xx2 + y2 + 23 .弧坐标法dsd vv =x=sx=v r a_ =p=sp = a _ rdtdt=an n2van = - nn Daba =aT +an +ab切向加速度a7只反映速度大小随时间的变化，法向加速度an只反映

4、速度方向随时间的变化。a 丁 v > 0 ：加速运动aT v < 0 ：减速运动几种特殊运动(1)直线运动an =0,: 一(2)圆周运动P =常数(圆的半径)(3)匀速运动a三0V(4)匀变速运动a.=常数V5.1.2 刚体的基本运动刚体的平行移动和定轴转动称为刚体的基本运动。是刚体运动的最简单形态，刚体的复杂运动均可分解成若干基本运动的合成。刚体平动的特点是：刚体上各点的轨迹形状、速度及加速度相同。因此，只要求得刚体上任一点的运动，就可得知其它各点的运动，从而确定整体运动。 刚体绕定轴转动用角坐标中确定定轴转动刚体的位置。运动方程:=f (t) = :(t)角速度d :. .c

5、o = =9dt角加速度dt转动刚体上各点的速度分布v = R转动刚体上各点加速度分布a 二 R ；an = R . 2R为点到转轴的距离。 矢量表示法k-k定轴转动刚体上各点速度 v及。为缶在z轴上的投影;名为E在z轴上的投影。a的计算:v - r ar，) va T = s x r ,切向加速度；an =8 " 法向加速度。a - a v : a n其中r为由转动轴上任一点引向该点的矢径。5.2 基本要求1掌握描述运动的矢径法、直角坐标法和弧坐标法，能求点的运动轨迹，能熟练地求解 与点的速度和加速度有关的问题。2熟悉刚体平动和定轴转动的特征。能正确判断作平动的刚体和定轴转动的刚体

6、3能熟练地求解与定轴转动刚体的角速度、角加速度以及刚体内各点的速度和加速度有 关的问题。熟悉角速度、角加速度及刚体内各点速度和加速度的矢量表示法。5.3 重点讨论三种方法描述同一点的运动，其结果应该是一样的。如果将矢径法中的矢量r、v、a用解析式表示，就是坐标法；矢量 v、a在自然轴上的投影，就得出自然法中的速度与加速度。直角坐标系与自然轴系都是三轴相互垂直的坐标系。直角坐标系是固定在参考体上，可用来确定每一瞬时动点的位置。自然轴系是随动点一起运动的直角轴系（切向轴、法向轴n及副法向轴b）,因此，不能用自然轴系确定动点的位置。自然法以已知轨迹为前提，用弧 坐标来建立点的运动方程，以确定动点每一

7、瞬时在轨迹上的位置。用直角坐标法求速度和加速度是将三个坐标分别对时间取一阶和二阶导数，得到速度和加速度在三轴上的投影，然后再求它的大小和方向。用自然法求速度，则将弧坐标对时间取 一阶导数，就得到速度的大小和方向。自然法中的加速度，物理概念清楚，和 分别反映了速度大小和速度方向改变的快慢程度。在点的运动学中，问题的类型一般分为三类。1 .已知运动方程，求轨迹、速度、加速度运动量。这类问题首先要建立点的运动方程， 通过求导数运算计算速度和加速度。2 .已知动点的速度或加速度的变化规律，求运动方程。这类问题可通过积分运算求得运动方程，积分常数由运动的初始条件确定。3 .综合问题。给出用直角坐标法表示

8、的点的运动方程，需求点沿轨迹的运动方程，点的切向加速度、法向加速度、全加速度及点的曲率半径等。这类问题表明，可用不同的方法 描述同一点的运动问题。在刚体的基本运动中，首先要判断刚体作何种运动（平动或定轴转动），然后根据刚体的运动选用相应的方法。对于平动刚体的问题，可归结为点的运动学问题；对于定轴转动刚体的问题，可归结为两类问题。1 .给出刚体转动方程，依次对时间求导数，得到刚体的角速度、角加速度，并求出刚 体上任一点的速度、加速度。2 .给出转动刚体的角加速度，经过积分运算，求刚体的转动方程，但需给出初始条件。5.4 例题分析例5-1 已知小环由静止从 A开始沿轨迹运动。 CD = DE。在A

9、B段，加速度为a = g, 在BCE段，切向加速度a7 = gcos中；求 小环在C、D两处的速度和加速度。解在 AB 段，由 a =v=vdva=gdt dsVBR作积分0 vdv = ° gds图5-1得Vb = 2 gR在BCE段，由dv vdva = 一 = = g cos -dt Rd :v.:作积分vdv = gRcos d :- vb0 1得v2 =vB +2gRsin 中在C点处，邛=，vC =2J乐，2_n CnaC = 二4g, ac =0, ac ac 4gR3 2在 D 点处，中=4 砥Vd =1.848、gR, aD2-g, aD =(2+/2)g, aD

10、=(aD) +(aD) =3.487 go例5-2 A处抛一石刚能过仓库，取重力加速度 g = 10m/s2;求l为多大可使初速度 vo最小？不计空气阻力。解石块的运动方程为x = tv0 cos u1 12y =tv0 sin ? - gt2消去t得轨迹方程y =xtan【-gy x2(1 tan21)2V2将B、C两点坐标代入，分别得1 g 22 -20 =ltani yl2(1 tan2 f(1)2 V220 =(l 40)tan1-1-g(l 40)2(1 tan2 u)(2)3 v2115由式（1）、（2）消去（1+tan2Q）得,.40 21tan u =20(40 1)1由式（1

11、）式（2）,得v2 = g(l20) tan 二1tan 二将式（3）代入上式，令dv0 dl=0,得 l2 + 401 800 = 0解得1 = 14.64m时最小例5-3 半径为r的车轮在直线轨道上滚动 而不滑动，如图5-3示。已知轮心A的速度u是 常量，求轮缘上一点 M的轨迹、速度、加速度 和轨迹的曲率半径。解：取Oxy坐标系如图示。令t =0时，M点 位于坐标原点 O,轮心A位于Oy轴的A0点。设 在t瞬时，轮心和M点位于图示位置。由于轮只 滚不滑图5-3又M点的x、y坐标都是角中的函数OC 二英二AoA 二ut:MCutrrx =OB =OC BC =OC -r sin ：y =MB

12、 =AC -AE =r -r cos :将式（a）、式（b）代入式（c）、（d）x =ut -r sin Ut ruty = r -r cos 一 r这就是M点的运动方程。消去时间参量 t,得M点的轨迹方程yx y 2r - y = r arccos ! 1 - r这就是旋轮线或摆线方程。(a)(b)(c)(d)(e)(f)式（e）、式（f）对时间求一阶导数得速度的投影u utvx = u 1-cos rvy = u sin rM点的速度的大小和方程余弦为/22vxvy 虫ut 22 utut1cos-_ sin =2usin 2rcos v, i =X=sinU=sin/=v 2r 2MEM

13、D(g)(h)(i)vycos v, j =DEMD. axcos a, i = a= sin =sin :rMEMA(j)cos a ,j a=cos - = cos = rMAutcos cos 2r 2 可见，速度v恒通过车轮的最高点 D。式（g）、式（h）对时间求一阶导数得加速度的投影2dvxu utax =sin dtrrdvyu2uta y =二cos dtrrM点的加速度的大小和方向余弦为 2a=Ja2 +aj =幺=常量"r可见，加速度a恒通过车轮中心 A。式（i）对时间求一阶导数，得 M点的切向加速度(k)2dv uuta = 一 二 一 cos 一dtr2r式（j

14、）、式（k）代入式（5-21）,得M点的法向加速度 2,22 u . utan - a 一a = sin r 2r由式（5-20）得轨迹在 M点处的曲率半径v2utP = = 4r sin an2r由此可见，当4=冗(对应轨迹的最高点)，曲率半径最大，Pmax=4r, v = 2u(t) ra=_u-(J)；当里=0或2n 时(M点在轨道上)，曲率半径最小，Pmin=0, v=0, rr2a =()-轨迹在这里是两段连续旋轮线的连接点一一不连续的尖端点。 rAB杆始终例5-4 已知 OA = 1.5m, AB = 0.8m。机构从=0开始匀速转动，运动中铅垂，B端速度Vb = 0.05m/s;

15、求 解 AB杆平动，vA =vB1=t = t rad30B点的坐标为x =OA cos中y =OAsinq -AB转动方程中=f ( t)和点B的轨迹。Va 1 一=0.05m/s , 缶 = = rad/s , OA 30图5-4消去中，得其轨迹方程为2一一 22 一x +(y+0.8) =1.5 (圆)例 5-5 已知 中=b sin。t, OiA = O2B = l, AB = O1O2,轮 2的半径为2；求 t= s时，轮2的角速度02和角加速度口2。 2 解 刚体ACB平动，D点是轮2上与轮B啮合的点, 其速度为vD =vA =l =lb，cos，t2加速度为aD =aa = l

16、_ -lb 2 s i n t, aD = -D上当 t = s 时，Vd =0, aD =0, aD = -b 02 图5-5所以二 2aDlb 2一 2r2例5-6 已知上题机构从静止开始运动，轮2的角加速度 的为恒量；求 曲柄OA的转动规律。解 参照上题的分析，得 A点的切向加速度和 O1A杆的角加速度aA = ： D = 2r2,aAr2-二二- 2ll积分得OiA的角加速度和转动方程tr ,?,?' ： -dt =1 2t02l5.5习题解答本章中 5-1 ; 5-2 ; 5-3 ; 5-4 ; 5-7; 5-11 ; 5-12 ; 5-13 ; 5-14 题解答略。5-5

17、动点A和B在同一笛卡尔坐标系中的运动方程分别为J 工22 2xA tXb =t2_ 4yA =2tyB =2t其中x、y以cm计，t以s计，试求：（1）两点的运动轨迹；（2）两点相遇的时刻；（3）相 遇时A、B点的速度、加速度。2, 2j,Xa =tXb =t、. 22解：（1）由«消去t,即得动点的轨迹：yA =2xA; yB = 2xB ；2- 4yA =2tJ yB =2t（2）令两方程组中Xa =Xb； yA = yB ,得到两点相遇的时刻为t= 1 s；(3)求速度。A 点的速度，Vax = =1 , vAy=dyA=4t, VA= 4.13 cm/s； dty dtd x

18、Bd yB3B点的速度,vBx =2t, vBy =8t , vb= 8.25 cm/s。dtdt（4）求加速度。d2 Xa _ _A点的加速度，3aX = 2 =0 , dt-、士、d2 Xb 八B点的加速度，aBx =2- =2 , dtaAyaByd2 yA2沪=4 , aA = 4 cm/s ；dt2湃=24t2, aB = 24cm/s2odt5-6 已知动点的运动方程为x=t2q, y=2t,求其轨迹及t=1 s时的速度、加速度，并分别求切向、法向加速度及曲率半径。x及y的单位为m, t的单位为Sox =t -t解：（1）由J消去t,即得动点的轨迹:y =2t（2）求速度与加速度。

19、dxVx = l =2t 1, vydty2 - 2y - 4x = 0"二2dtv = v2+ vj = J4t2 -4t +5 ,Vxv |t4= 2.24m/s , cos(v, i) = = 0.45 一v切向加速度,法向加速度,axdvxdvydtdt2=0 , a = ax = 2m/sdva 二 dt4t 一 2.4t2 - 4t 5t=1s时，a/= 0.894m/s222an=：；a -a当t =1s时曲率半径an = ,22 -0.8942 =1.789 m/s2an1.7895-8 如题58图所示，摇杆机构的滑杆 AB以匀速u向上运动，试建立摇杆 OC上点 一

20、兀 .一C的运动方程，并求此点在中=z的速度大小。假定初始瞬时 中=0,摇杆长OC = a,距离OD = l。解：如图示坐标系,点 C的坐标为,点A的坐标为,X =ly = l tan = ut=arctg utl动点C的运动方程为,xC = al / l2 u2t2题5-8图、yC = aut/5 2 +u2t2用弧坐标表布点C的运动方程，则有s = a = a arctan utl当中=二时，t 4dsvcudt= au/215-9 曲柄OA长r,在平面内绕 。轴转动，如题1259图所示。杆AB通过固定于点N的套筒与曲柄 OA较接于点A。设中=gt,杆AB长l = 2r,试求点B的运动方程

21、、速度和加速度。解：如图建立直接坐标系 xoy,由已知条件得到,B点的运动方程为,.c . txB = r cos l cos ? - r cos t 2r sin 2tyB = rsin t -l cos 二-r sin - t - 2r cos 2B点的速度为，dxB.,tvBx = -r sin t r cosdt2题5-9图d yB-t=r ' cos t r sin dt2B点的加速度为，,22.d xB2r：-.taBx =F一' cos t sin dt222.22.d yB 2, r-taBy =-2 = 8 sint+cos-。dt225-10 如题5 10图

22、所示，OA和OiB两杆分别绕。和Oi轴转动，用十字形滑块 D将 两杆连接。在运动过程中，两杆保持相交成直角。已知： OOi = I, z AOOi = = kt,其中k 为常数。求滑块D的速度和相对于OA的速度。(a)(b)题5-10图解：(1)如题5-10图(b)建立直接坐标系xoy,则D点的运动方程为,x = l cosktcoskt = l cos2 kty = l cosktsin ktsin2kt2vx =-2lk coskt sin kt = -lk sin 2kt dt二 Vy = dy = 1 2k cos2kt = lk cos2kt.y dt 2得到滑块D的速度，VD =

23、Vx Vy = 1k用自然坐标法，点 D的轨迹是圆弧，运动方程和速度为s = R1 - akt, vD = s = ak(2)以。为原点，OA为坐标轴建立动坐标系 Ox', 点D在Ox轴的坐标和速度为x = l coskt xD = l cos kt所以相对于OA的速度，dxv d= vr =二-lk sin ktdtvd和v d的方向如图所示。5-15 物体作定轴转动的运动方程为 中=4t3t2 (邛以rad计，t以s计)。试求此物体内, 转动半径r = 0.5 m的一点，在t0= 0与t1 = 1 s的速度和加速度的大小， 并问物体在哪一瞬时 改变转向？解：(1)由定轴转动的运动方

24、程 中=4t 3t2,得到定轴转动物体的角速度与角加速度，8=4-6t , 6 = -6。(2)速度和加速度的大小速度，v =rco =23t ,加速度，an =rco2 =8 24t+36t2； at=rs = 3。t0= 0 时，速度，v0=2 m/s,加速度，an=8m/s2； aT = -3m/s2, a°= 8.54 m/s2t1= 1 s 时，速度，v1=1m/s,力口速度，an =20m/s2； aT= -3m/s2, a=20.2m/s2(3)物体改变转向时，co=46t=0,由此得到t=0.667 s。5-16 搅拌机如题516图所示，已知 OiA=O2B=R, O

25、iO2=AB,杆OiA以不变转速 n r/min 。试分析题5-16图解：由于构件BAM作平移，所以M点的轨迹与A相同A的轨迹、速度、加速度为,n2冗Va 二60c n冗CR =RcnaA = 0,aA3022=n- R i n2t R,60.30M的轨迹M的速度y2Rn冗30M的加速度aM2 2Rn冗9005-17 某飞轮绕固定轴 O转动的过程中，轮缘上任一点的全加速度与其转动半径的夹 角恒为a= 60 口。当运动开始时，其转角 %为零,角速度为«0,求飞轮的转动方程及其角速度与转角间的关系。解：由于有,a-n- = tan60 , adtd 3.2 二出- -0dtln(1 -

26、.3 t),3,- = e1 - 3 0t解出， =ln35-18 当起动陀螺罗盘时，其转子的角加速度从零开始与时间成正比地增大。经过5min后，转子的角速度8=600n rad/s。试求转子在这段时间内转过多少转? 解：由条件得到，名=kt,其中k为比例常数。由 do = ktdt,得8=12 =12,2150对上式积分得到 中=二t3, N = t3450900代入条件解出转子在这段时间内转过 N = 30 000转。60 口,5-19 OA杆长L=1m。在题5-19图所示瞬时杆端 A点的全加速度a与杆成6角。6= a=20m/s2。求该瞬时OA杆的角速度和角加速度。解：由于有，an =

27、tan60C,a即 at = asin60' = L名，an =acos60'= L82叮".一_军k '联立解出，E=10j3 1/s2 6=J10 1/s。k题5-19图5-20 如图所示，曲柄 CB以匀角速度CO。绕C轴转动，其转动方程为平=飙3通过滑块B带动摇杆OA绕O转动，设OC=h, CB=r,求摇杆的转动方 程。解：以C为原点，x、y轴分别如图示，则对于 B:x = r sin 邛y = r cos邛在图示中,tanursinh - r cos1-arctanr sin :h - r cos又 中=80t摇杆的转动方程为，rsin，0t1A =arctgh - r cos，0t题5-20图5-21一木板放在两个半径 r = 0.25 m的传输鼓轮上面。在题5-21图所示瞬时，木板具有不变的加速度 a= 0.5 m/s2,方向向右;同时，鼓轮边缘上的点具有一大小为3 m/s2的加2ar速度。如果木板在鼓轮上无滑动，试求此木板的速度。解：